江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1−i6，则z=(

)A.2 B.2i C.−2 D.−2i2.若向量OA=(1,−2)，OB=(1,−1)，则AB=A.(−2,3) B.(0,1) C.(−1,2) D.(2,−3)3.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为(

)

A.5 B.3 C.24.如图，在▵ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且AE=2ED，若AB=a，AC=b，则BE用A.−12a−13b B.5.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知B=30∘,c=23,b=2A.60∘ B.30∘ C.6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥表面积为(

)A.43 B.16π9 C.47.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，且a−2b=5，当|z|取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=6,AB⋅AD=6，动点P在边BC上，则PAA.[−6,−2] B.[−2,10] C.[−2,6] D.[−6,10]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i是虚数单位，复数z1=1−2i,z2A.z1的共轭复数为1+2i B.z1=z2

C.z110.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在AB,CD,EF,GH这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是(

)

A.直线EF和直线CD B.直线AB和直线CD

C.直线EF和直线GH D.直线AB和直线EF11.一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽500m，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为10km/h，河水的流速大小为2km/h，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是A.当小船以北偏西60∘方向航行时，小船实际航向垂直河岸

B.当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为226km/h

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=11+i+m是纯虚数，则实数m=

13.如图，点D､E分别是直角三角形ABC的边AB､AC上的点，斜边AC与扇形的弧DE⌢相切，已知AC=4,BC=2，则阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体的体积为

．14.记▵ABC的面积为S，▵ABC的外接圆半径为1，且2S=sin2A+cos2B−cos四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a=(4,2)(1)求与a垂直的单位向量的坐标；(2)若b=(1,−1)，求a与a+516.(本小题15分)已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C(1)求证：四点M,N,A(2)若沿着平面MNA①请判断几何体MND−C1A1D②求截得的两部分的体积之比．17.(本小题15分)如图，设Ox、Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye(1)计算OP的大小；(2)设A1,3、Bm,−2，若A、B、P三点共线，求实数(3)设OQ=e1+18.(本小题17分)已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，b=2，3(1)求B；(2)若▵ABC的面积为3①求▵ABC的周长；②如图，若D,E为线段BC上(不含端点)的两个动点，∠DAE=60∘，求AD19.(本小题17分)某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶M,N之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下：(1)方案一：无人机沿水平方向在A,B两点观测塔顶，A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图)，若在A处测得塔顶M,N的俯角分别为α1=60∘,β1=30∘，在B处测得塔顶M,N的俯角分别为α2=45

(2)方案二：在与两塔基底P,Q同一水平面内选取测量点O，在点O处分别测得塔顶M,N的仰角为α=60∘,β=30∘(i)假设塔高MP=h1,NQ=h2(ii)为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶M距水平地面的高度h为例．兴趣小组在水平地面内选取点A,B,C，在点A,B,C测得塔顶M的仰角分别为θ1,θ2,θ3.若点B是线段AC的中点，AC=a，试用参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.C

6.B

7.D

8.D

9.ABD

10.BC

11.BCD

12.−12

13.214.1215.解：(1)设该单位向量为

m=(x,y)

，显然

x∴由题意得

a⊥m

，

a=4,2

，则

解得

x=55

，

y=−255

则

m

的坐标是

55,−255(2)∵

a+5b=(9,−3)∴

|a+5b|=9∴

cos<a∵

<a∴

a

与

a+5b

的夹角的值为

π

16.解：(1)连接AC，由正方体的性质可知：AA∴四边形AA1C又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN//AC，且MN=1∴MN//A1C1，(2)①几何体MND−C由四点M,N,A1,故可延长A1N、C1M使得A1又A1N⊂平面A1D1且平面A1D1D∩平面故A1N、D1由M，N分别是CD，AD的中点，则DNA1D故▵NDM与▵A又由正方体性质可得平面NDM//平面A1故几何体MND−C②=1V正方体ABCD−A1则V棱台MND−即两部分的体积比为717

17.解：(1)由平面向量数量积的定义可得e1由题意可得OP=2所以OP=(2)由题意可得OA=e1又因为OP=2e1+4e又A、B、P三点共线，则存在实数λ使得AB=λ即m−1e由平面向量基本定理得m−1=λ−5=λ，解得m=−4，所以实数m的值−4(3)因为OQ=e1OP⋅所以cos∠POQ=又0∘<∠POQ<180所以S▵OPQ

18.解：(1)由正弦定理可得：3在▵ABC中，sinA=所以3所以3因为在▵ABC中，0∘<C<180所以3sinB=因为0∘<B<180(2)①因为S▵ABC所以ac=4因为b2所以a2又a2所以a+c=2所以周长为2②由a+c=23+2，得c=2可得：a2解得：a=2或2所以a=2c=2如图可知：∠BAC>∠DAE=60所以a>b=2，故a=23，由正弦定理可得：2所以∠BAC=120∘，设∠CAE=θ，其中0则∠AEC=150∘−θ在△ACE中，由正弦定理可得ACsin所以AE=AC在▵ACD中，由正弦定理可得ACsin所以AD=AC所以ADAE因为0∘<θ<60所以12

19.解：(1)在

▵ABM

中，由正弦定理得AM=500sin在

▵ABN

中，由正弦定理得

AN=500sin由余弦定理得

MN==5005−523≈5000.67≈500×0.82=410m

．

(2)(i)如图1，在

▵POM

中，

在

▵QON