北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二）高三数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二）高三数学一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合A=0,1，A∪B=−1,0,1,2，则(

)A.−1∈B B.−1∉B C.2∈A∩B D.2∉B2.复数21+i的虚部是．A.−2 B.−1 C.1 D.23.下列函数中，定义域和值域相同的是(

)A.fx=x B.fx=4.已知单位向量a,b满足a−b=1，则a与A.30° B.60° C.120° D.150°5.已知圆x2+y2−2x−3=0的圆心为C，斜率为33的直线l与该圆相切且与xA.3 B.2 C.236.在1+1x2x−13的展开式中，A.−3 B.−1 C.1 D.37.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线E右支上一点，线段MA.22 B.2 C.8.已知函数fx=asinx+cos2xa>0，x∈0,2πA.a=12，fx有2个零点 B.a=12，fx有3个零点

C.a=2，fx有2个零点 9.已知定义域为R的函数fx满足∀x∈R，f−x=fx.若fx在区间0,+∞上单调递增，则“fxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知曲线E:x4+yA.曲线E上的任意一点P在圆x−12+y−12=1的内部

B.曲线E上的任意一点P在圆x−12+y−12=1的外部

C.曲线E上存在点P二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.不等式2x<14的解集是

．12.已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S2，S4成等差数列，a1=113.已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则ω=

；若将函数fx的图象向右平移π314.随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)上运动，每步只能向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单位.该机器人从O0,0出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达P2,2，则它的总能耗为

个单位；再从P2,2出发运动到Q100,100，那么它从P到Q的所有路径中，总能耗的最小值为

个单位．15.已知P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面及其内部的点，直线AP①满足条件的点P有无数个；②点P的轨迹是一段圆弧；③线段BP长度的最大值为2；④三棱锥P−BB1C其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2+(1)求∠B；(2)若a=43，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在，求条件①：b=条件②：sinA−C条件③：BA⋅注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，E为(1)求证：F为A1(2)若M是棱CC1上一点，且直线AM与平面BCE所成角的正弦值为5318.某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评分(满分为100分)，得到如下频率分布表．综合得分频数频率0,30ab30,60600.660,10030c(1)求n,b的值；(2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为30,60和60,100的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设X为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求X的分布列和数学期望；(3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案：方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分；方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在0,30的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在30,60的员工人均综合得分提高20分．用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？(结论不要求证明)19.已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知A为椭圆E的左顶点，M，N为椭圆E上两个不同的动点(均不与点A重合)，且满足直线AM与直线AN的斜率之积为54.求证：直线MN20.已知函数fx=x−1ln(1)若f′1−f1(2)若f′x存在最大值，求a(3)设f′x在x=1处取得最大值.直线l是曲线y=fx在点Pt,ftt>1处的切线，且与y轴交于点Q，O为坐标原点.是否存在点P，使△OPQ的面积为21.已知无穷正整数数列an，满足：①an<an+1n∈N∗；②对于任意正整数(1)判断下列无穷数列，是否具有性质Ψ．①a②b(2)对于任意具有性质Ψ的数列cn，记di=(3)若数列an具有性质Ψ，证明：集合M=i∈N参考答案1.A

2.B

3.A

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.B

10.C

11.(−∞,−2)

12.3

13.2

；；x=0/答案不唯一，满足x=k114.9 ；441

15.①③④

16.解：(1)解：因为a2由余弦定理得cosB=因为B∈(0,π)，可得B=π(2)解：选择条件①：b=3由正弦定理asinA=因为sinA=2>1，所以这样的▵ABC选择条件②，因为A+B+C=π，且B=π所以A+C=π−π6=由sinA−C=1，可得因为A∈(0,π),C∈(0,π)，所以5π6−2C=π2由正弦定理asinA=设AC边上的高为h，可得▵ABC的面积为S=12ac因为A=2π3,B=C=又因为b=4，可得c=4，所以h=4选择条件③：由BA⋅根据向量的数量积的公式，可得BA⋅BC=因为B=π6且a=43，所以由余弦定理b2可得b2=(4设AC边上的高为h，可得▵ABC的面积为S=12ac所以h=4

17.解：(1)因为平面ABC//平面A1B1C1，且平面ABC∩平面BCE=AC则AC//EF，且AC//A1C又因为E为A1B1的中点，所以F(2)以A为坐标原点，AB,AC,AA1为则A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，A10,0,2设M0,2,a，0≤a≤2可得AM=0,2,a，BE=设平面BCE的法向量为n=x,y,z令x=2，则y=2,z=1，可得n=因为直线AM与平面BCE所成角的正弦值为5则n⋅AMn⋅AM所以CMC

18.解：(1)因为在30,60内频数为60，频率为0.6，则n=60且在60,100内频数为30，则c=30则在0,30内频数为a=100−60−30=10，频率b=10(2)因为综合得分为30,60和60,100的人数比为60:30=2:1，则在综合得分为30,60内抽取人数为6×22+1=4，在综合得分为60,100可知随机变量X的可能值为0，1，2，则有：PX=0=C42所以X的分布列为X012P281X的期望为EX(3)方案一：该公司员工的人均综合得分15×0.1+45×0.6+80×0.3+10=62.5；方案二：该公司员工的人均综合得分20×0.1+65×0.6+80×0.3=65；因为62.5<65，所以应选择方案二．

19.解：(1)由题意可得：e=ca=32，所以椭圆E的标准方程为x2(2)由题意可知：A−2,0，直线MN设直线MN:y=kx+m，Mx1,联立方程y=kx+mx24+y则Δ=64k2m则x1+x因为kAM整理可得4k即4k整理可得m2−5km+6k2=0若m=2k，则直线MN:y=kx+2k=kx+2过定点A若m=3k，则直线MN:y=kx+3k=kx+3过定点−3,0综上所述：直线MN过定点−3,0．

20.解：(1)由函数fx=x−1则f′1=2a，因为f′1−f1=1，可得(2)函数fx=x−1lnx+ax令φx=令gx①当2a=0时，即a=0时，gx=x+1>0在即φ′x>0在(0,+∞)上恒成立；所以f′x在(0,+∞)②当2a>0时，即a>0时，二次函数gx且对称轴x=−14a<0，g0=1>0即φ′x>0在(0,+∞)上恒成立；则f′x在(0,+∞)③当2a<0时，即a<0时，f′x在g由二次函数gx的图象开口向下，对称轴x=−因为g0=1>0，所以存在x0当x∈(0,x0)时，gx>0，即φ′当x∈(x0,+∞)时，gx<0，即φ′所以f′x在x=综上可得，实数a的取值范围为(−∞,0)．(3)由(1)知φx=f′因为f′x在x=1处取得最大值，则x=1是φ即x=1是φ′x=0的根，则φ′1把a=−1代入得fx=x−1则曲线y=fx在点P(t,f(t))处的切线方程为y−f令x=0，可得yQ又因为ft可得y=tln在△OPQ中，O为原点，P(t,f(t)),Q(0,y所以S▵OPQ当t>1时，yQ=t可得h′t当t>1时，h′t>0，ht在(1,+∞)即yQ>0，所以因为△OPQ的面积为14，可得12t(设Ft=t设Gt=3t令mt=6t2−2t−1,t>1所以mt>m1=3>0，可得G′t所以Gt可得F′t>0，所以Ft所以Ft所以Ft=0在(1,+∞)上无解，即不存在t的值，使得△OPQ的面积为

21.解：(1)①当an=2n−1时，显然an又因为an=2n−1，所以从而a1前an个正奇数的和为an2故数列an=2n−1具有性质②当an=2n时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取而a12=4所以a1不满足性质Ψ中的条件②，故数列an=2(2)由数列cn具有性质Ψ，得c因此d1所以d1+d(3)设数列en满足e由题知ai<ai+1，得假设en中满足e