北京市朝阳区北京中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区北京中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合M=x∣x2−6x−7<0,N=A.0,1,2 B.−1,0,1 C.0,1 D.1,22.命题“∃x∈R，使得x−2≤3”的否定为(

)A.∃x∉R，x−2>3 B.∀x∉R，都有x−2>3

C.∃x∈R，x−2>3 D.3.某班学生的考试成绩中，数学优秀的占320，语文优秀的占110，两门都优秀的占120，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是A.110 B.15 C.134.已知a,b,c∈R，则下列结论中正确的是(

)A.若ac<bc，则a<b B.若a>b，则a3>b3

C.若a>b，则ac25.“a∈−4,4”是“不等式x2+ax+4<0的解集为空集”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有(

)A.36种 B.42种 C.48种 D.52种7.x3−x4=a1A.15 B.16 C.80 D.818.设maxa,b表示a与b的最大值，若x，y都是正数，z=maxx+4y,4x+A.2 B.4 C.8 D.169.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f’(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)A.函数y=f(x)⋅ex的最大值为1 B.函数y=f(x)⋅ex

的

最小值为1

C.函数y=f(x)ex的最大值为110.当集合S是R的子集且S的元素个数有限，称S的所有元素之和为S的“厚度”.集合−1,0,2,3,5,7,9的全部非空子集的厚度之和为(

)A.3200 B.1600 C.1550 D.800二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.二项式(x+2x)6的展开式中的常数项是

12.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的60%，优质率为70%，乙品牌的优质率为80%.从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为

．13.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为______.(用数字作答)14.已知函数y=fx的定义域为R，f′x为其导函数，函数y=f′x的图象如图所示，且f−2=1，f3=1，则不等式f15.已知函数fx=lnxx,x>0x2+2x,x≤016.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线C：y2=x3−2x+2的一部分，给出下列四个结论：

①点(1,1)在C上；

②在(1,1)处C的切线，其与C的交点的横纵坐标均为整数；

③若C在x轴上方的部分为函数f(x)的图象，则x=63是f(x)的极小值点；

④C在y轴左边的部分到坐标原点O的距离均大于2三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在1,f(2)若14是fx的极大值点，证明此时f18.(本小题14分)

某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表(单位：人)车型低收入群体(收入<20万元/年)中收入群体(收入20万元−50万元/年)高收入群体(收入>50万元/年)愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意EV502040403020PHEV254540403515假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率．

(1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率p；

(2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动(EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为pA，试比较p和pA19.(本小题14分)已知椭圆E：x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P−4,−3作斜率为k且不经过焦点F的直线l，直线l与椭圆E交于不同两点A，B，直线AF，BF与y轴正半轴分别交于点M，N.求证：∠MFO+∠NFO的值为定值．20.(本小题14分)已知函数f(x)=xe(1)求f(x)的最小值;(2)求证：f(x)≥2ex−e;(3)设g(x)=f(x−1)−2x−1x+3，已知g(x)<0，求21.(本小题14分)已知S是由x1，x2，…，xn(n∈N∗,n≥2)这n个数构成的所有排列组成的集合，例如，若x1=5，x2=7，则S=5,7,7,5.定义：①A(1)若xi=i(i=1,2,3)，写出集合(2)若xi=i(i=1,2,3,⋅⋅⋅,n)，且ai(3)若xi∈m,m+1，m∈N，A，B，C∈S，求证：dA,B，dA,C参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.B

7.A

8.B

9.C

10.B

11.160．

12.0.74

13.12

14.−2,3

15.a=0/a∈16.①③④

17.解：(1)当a=1时，函数fx=x+ln则f1所以曲线y=fx在1,f1处的切线方程为即3x−2y−3=0．(2)函数fx=x+lnf′x若14是fx的极大值点，则f′14=0当a=5时，fxf′x令f′x>0，则0<x<12令f′x<0，则12所以fx在0,14上单调递增，在1所以14是f所以fx在x=4处取得极小值，极小值为f

18.(1)35

(2)XX0123p1723E(X)=85

19.【详解】(1)因为椭圆E：x2a2+y又a=2c，所以a=2，所以b2所以椭圆E的方程为x2(2)证明：设直线l的方程为y+3=k(x+4),A(x联立y=k(x+4)−33x2+4y又Δ=(32k2−24k且x设M(0,m),N(0,n)，则有m1所以mn===8即OMOF又∠MFO,∠NFO∈0,π2所以∠MFO+∠NFO的值为定值．

20.解：(1)由题得f′(x)=e令f′(x)=0得到x=−1，在−∞,−1上，f′(x)<0，所以在−∞,−1上fx在−1,+∞上，f′(x)>0，所以在−1,+∞上fx所以f(x)的最小值为f−1(2)由f(x)≥2ex−e得到xe令mx=xe令hx=e令h′x=0得到在−∞,−2上，h′(x)<0，所以在−∞,−2上hx在−2,+∞上，h′(x)>0，所以在−2,+∞上hx由h1=e+e−2e=0，且当x→−∞时，当x<1时，hx<0，即m′x<0，所以在当x>1时，hx>0，即m′x>0，所以在所以mx即xex−2ex+e≥0(3)由题得g(x)=f(x−1)−2x−1x+3=则g′(x)=xe令n(x)=xex−1+n′(x)在0,+∞单调递增，n′(1)=0，所以在0,1上，n′x<0，在1,+∞上，所以x=1时，函数n(x)=xex−1+所以g′x≥0，所以函数gx在0,+∞所以当x∈0,1时，gx<0成立，当x∈当x<0时，x−1ex−1′因此x−1ex−1>−1e综上得到：x∈0,1

21.解：(1)S={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2)}．(2)①当n为偶数时：d(A,B)=aA=a1,a2,⋯,a将所有这样的整数对交换位置变为(m+1,m)组成B=b此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么d(A,B)=n2×2=n，则d(A,B)②当n为奇数时：假设d(A,B)=a1−b1则b1=2,b2=1或3，若b所以d(A,B)=a将A=a1,共中含有n−12−1个整数对(m,m+1)，m=2k,2≤k≤n−1将所有这样的整数对交换位置变为(3,1,2)．此时每一个整数对(m,m+1)中对应数字之差均为1，整数组中对应数字之差为1，1，2，因此d(A,B)=n−1则d(A,B)的最小值为n+1．(3)设d(A,B)=k,d(A,C)