安徽滁州市定远县2025-2026学年高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽滁州市定远县2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知n∈N∗，则n+2021⋅A.An+20265 B.Cn+20265 C.2.下列求导运算正确的是(

)A.ex+2′=ex B.x3.某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)=t2+4lnt，则该质点在t=2A.8 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.4 m/s4.下列等式中成立的是(

)A.An3=n−3An2 B.5.如图，若关闭最少的开关使小灯泡发光，则不同的方法有

A.5种 B.6种 C.8种 D.10种6.已知函数fx的导函数为f′x，若fx=x3A.−4 B.0 C.23 D.7.二项式定理，又称牛顿二项式定理.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，1+xα=1+α1!⋅x+αα−12!⋅x2+⋯+αα−1⋯α−k+1k!⋅A.3.9375 B.3.9675 C.3.9875 D.4.00758.近年随着“双减”政策的实施，国家对体育教育越来越重视．某中学响应号召，开设了“跳绳”“立定跳远”“跳高”“跑步”四门训练课程，要求学生初中阶段3学年中必须将四门训练课程学完，每位同学每学年最多选3门，则每位同学的不同选学课程的方式有(

)A.56种 B.78种 C.96种 D.120种二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知2x−1xn的展开式中各二项式系数之和为64A.n=6 B.常数项为160

C.含x2项的系数为240 D.二项式系数最大的项为第310.1654年法国数学家帕斯卡独立发明了下面的一个无穷方阵(只给出了方阵的前5行前6列的部分数字)，西方称之为帕斯卡三角，可以看出，从此方阵左上方切下一个等腰三角形(虚线部分)恰为杨辉三角，帕斯卡这一发明比我国杨辉晚了400年左右．记方阵中第i行第j列的数字为ai,j，认真观察方阵，下列结论正确的是

A.ai,j=aj,i B.ai,j=11.已知函数f(x)=−x3+ax2+a2x+3(a<0)有3个零点xA.x1x2x3不是定值

B.a<−33

C.∃a<0，使得曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.1+C65+C713.已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若f−1=3，且fx+xf′x14.设fn=5n+Cn15n−1+Cn四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx(1)求fx在x=(2)已知gx=fx+16.(本小题15分)已知2x+1x−1(1)分别求a2(2)求a1+217.(本小题15分)(1)将6个不同的小球放入编号分别为1、2、3的三个不同盒子．若要使每个盒子的球数不小于它的编号数，则共有多少种不同的放法？(2)有编号为1、2、3、4的四个不同的盒子，编号为1、2、3、4的四个不同的球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里．若每盒放一个球，且恰好只有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种不同的放法？(3)求方程x1+x218.(本小题17分)已知函数f(x)=ln 2x−ax，(1)若a=2，求f(x)的最值；(2)若方程f(x)=0在(0,3e)上有两个实数根，求实数a的取值范围；(3)若a=1，证明：f(x)<ex19.(本小题17分)已知函数fx(1)当a=0时，求fx(2)若fx≥1恒成立，求实数(3)证明：k=2nlnk参考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.D

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.C202713.1314.0

15.解：(1)由fx=sin所以f′π又fπ所以fx在x=π6处的切线方程为y=(2)因为gx则g′x易知x∈0,π时，1−由1+2cosx>0，得0<x<2π由1+2cosx<0，得2π3故gx的单调递增区间为0,2π3

16.解：(1)解：设fx可得f0令x=1，可得f1令x=−1，可得f−1两式相加得a0+a又由a4(2)解：由(1)知：fx可得f′x令x=1，可得f′1又由f′x=2x−1所以a1

17.解：(1)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有C61C52C33=60种不同的放法．

(2)每盒放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则1、2、3、4号盒子里对应的球编号可能为1，3，4，2;1，4，2，3;2，3，1，4;2，4，3，1;3，2，4，1;3，1，2，4;4，1，3，2;4，2，1，3，共8种不同放法．

(也可以先选择编号匹配的盒子(有4种选择)，然后剩余三个盒子完全错排(有2种方法)，故总共有4×2=8种.)

(3)将x1，x2，x3，x4看作4个不同盒子，8分成8个1，8个1看作8个相同的小球，

8个小球一字排开，它们之间形成7个空挡18.(1)解：若a=2，则f(x)=ln2x−2x，其定义域为(0,+∞)，

f′(x)=1x−2=1−2xx，

所以当x∈(0,12)时，f′(x)>0，f(x)单调递增;

当x∈(12,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以f(x)的最大值为f(12)=−1，无最小值．

(2)解：由f(x)=0，x∈(0,3e)，得a=ln2xx，

所以f(x)=0在(0,3e)上有两个实数根，

等价于曲线g(x)=ln2xx与直线y=a在(0,3e)上有两个不同的交点．

又g′(x)=1−ln2xx2，令g′(x)=0，解得x=e2，

所以当0<x<e2时，g′(x)>0，当e2<x<3e时，g′(x)<0，

所以g(x)在(0,e2)上单调递增，在(e2,3e)上单调递减．

又g(e2)=2e，g(3e)=ln6e3e，

当x→0+时，g(x)→−∞，当x→+∞时，g(x)→0+，其大致图象如图所示．

由题意知，实数a的取值范围为(ln6e3e,2e).

(3)证明：若a=1，f(x)=ln2x−x，

要证f(x)<ex−x−1，即证ex−ln2x−1>0．

令19.解：(1)当a=0时，函数fx=−lnf′x所以当x∈0,1时f′x<0，当x∈所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞所以fx在x=1处取得极小值，无极大值，且极小值为f所以，fx的极小值为2(2)当x>0时，fx≥1恒成立等价于令hx=e令φx=ln当