2027届新高考数学热点精准复习等差数列及其前n项和

2027届新高考数学热点精准复习等差数列及其前n项和1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.课标要求1.等差数列的概念(1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式:an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项:由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时___叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝__________.同一个常数Aa+b

a1+(n-1)d

(n-m)dak+al=am+an

md常用结论与微点提醒1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值;若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性:当d>0时，{an}是递增数列;当d<0时，{an}是递减数列;当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(

)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(

)(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√√××2.(人教A选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝____________.

6

3.(北师大选修二P19练习T2改编)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，则S17＝____________.

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4.(苏教选修一P151T6改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝100，S16＝392，则S24＝____________.

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例1(1)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(

)A.－20 B.－15C.－10 D.－5B考点一等差数列基本量的求解由S3＝3a2＝6，S5＝5a3＝－5，得a2＝2，a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15.

C

C

感悟提升1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.训练1(1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(

)A.-20 B.-18 C.16 D.18C

BC

例2(1)(多选)(2026·合肥质检)若数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的是(

)A.数列2a1，2a2，2a3，…，2an，…为等差数列B.数列a2，a4，a6，…，a2n，…为等差数列C.数列{anan＋1}为等差数列D.数列{an＋an＋1}为等差数列ABD考点二等差数列的判定与证明A中，因为{an}为等差数列，所以设an－an－1＝d(d为常数)，又2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2d，所以数列{2an}也为等差数列，故A正确;B中，a2n－a2n－2＝2d，所以数列{a2n}为等差数列，故B正确;C中，anan＋1－an－1an＝2dan，不是常数，故{anan＋1}不是等差数列，故C错误;D中，an＋an＋1－(an－1＋an)＝2d，所以数列{an＋an＋1}为等差数列，故D正确.(2)(2026·汉中模拟节选)设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*.证明:数列{an＋an＋1}是等差数列.∵2Sn－an＝n2，∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝(n－1)2，两式相减得2Sn－an－(2Sn－1－an－1)＝n2－(n－1)2＝2n－1，又∵2Sn－an－(2Sn－1－an－1)＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，∴an＋an－1＝2n－1，故(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2，且a2＋a1＝3，∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列.感悟提升1.等差数列的判定与证明的常用方法:(1)定义(作差)法:对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数⇔{an}为等差数列;(2)等差中项法:2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列;(3)通项公式法:an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}为等差数列;(4)前n项和公式法:Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列.2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可.

(2)求数列{an}的通项公式.

角度1

项的性质例3(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝____________.

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考点三等差数列的性质及应用角度2

和的性质例4(1)(2026·长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为(

)A.0 B.3C.6 D.12A因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列.又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，所以6＋S12－6＝S6－6＋6－S6，所以S12＝0.故选A.

3

角度3

和的最值例5等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大?

法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大.感悟提升1.项的性质:在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质:在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1);(2)S2n－1＝(2n－1)an;(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.感悟提升3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法:(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值;(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练3(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝288，S9＝162，则S6＝(

)A.18 B.36C.54 D.72D因为等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，令S3＝x，S6＝y，即x，y－x，162－y，288－162成等差数列，则x＋(162－y)＝2(y－x)，(y－x)＋(288－162)＝2(162－y)，即x＋54＝y，x＋198＝3y，解得S6＝y＝72.

D

C

C因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝4.2.(2026·合肥调研)已知等差数列{an}的前8项和为48，a2＋a3＝4，则{an}的公差为(

)A.1 B.2 C.4 D.8B

3.(2026·浙江名校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11(a5＋2)，则a11－a5＝(

)A.4 B.8C.10 D.12D

D

D

6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(

)A.48 B.112C.80 D.114C当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7;当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以当n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，所以{|an|}的前12项和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋a6＋…＋a12)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋a12)＝2S4－S12＝2(－16＋32)－(－144＋96)＝80.7.(2026·秦皇岛模拟)在等差数列{an}中，若a8＝1，3a6＋2a4＝a2，则{a3n－1}的前8项和为(

)A.26 B.50C.－2 D.－6A

ACD

9.(2026·茂名模拟)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，记数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(

)A.数列{an}的公差为2B.Sn取最小值时，n＝6C.S4＝S7D.数列{|an|}的前10项和为50AD设{an}的公差为d，∵a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2，∴2a1＋3d＝－12，2a1＋10d＝2，解得d