2027届新高考数学热点精准复习数列中的奇偶项、子数列问题

2027届新高考数学热点精准复习数列中的奇偶项、子数列问题1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.2.子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化.题型分析

题型一奇偶项问题

(2)记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.

(2)证明:当n>5时，Tn>Sn.

感悟提升1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和;2.对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.训练1已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn(Sn－n2)＝n3－nSn.(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

题型二子数列问题

依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n.(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.

感悟提升两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数;一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定.训练2(2026·广州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5＝a7，a3＝－2.(1)求数列{an}的通项公式;

(2)将数列{an}与{5－3n}的公共项从大到小排列得到数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.

角度2

增减项问题例4(2026·芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，则an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4＝2a1，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项是2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.

感悟提升1.对于增项问题注意两点:(1)新的数列是如何构成的、与原数列有什么关系;(2)新数列的项数是多少，其中有多少项是原数列中的项，有多少项是新增加的.2.解决减项问题的关键是明确被减掉的项是以何种规律去掉的，共多少项，保留的数列有多少项.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n，当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝n(n∈N*).∵数列{an}，{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2＋(n－1)·2n＋1，∴当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2＋(n－2)·2n，两式相减，得anbn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，a1b1＝2＋(1－1)×21＋1＝2＝1×21，满足上式，∴anbn＝n·2n(n∈N*)，∴bn＝2n(n∈N*).(2)若数列{an}中去掉和数列{bn}中相同的项后，余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，且数列{cn}的前n项和为Tn，求T100.

1.(2026·浙江名校协作体联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求{an}的通项公式;由Sn＝2an－2，可得a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2，则an＝2an－1，则数列{an}是首项和公比均为2的等比数列，则an＝2n.(2)在{an}相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列{bn}的前2n项和T2n.

2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a4＝12，S4＝20.(1)求数列{an}的通项公式;设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，即数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*).

3.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数.(1)求r的值;

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，且a1＝1也适合该式，故an＝2n－1是等比数列，即r＝－1满足题意.所以r＝－1.(2)设bn＝2(1＋log2an)，若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值.

4.(2026·福州质检)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2.(1)求{an}和{bn}的通项公式;设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn