重庆市北碚区某中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年重庆市北倍区江北中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

I.若属K在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<1B.x>1C.x>-1D.x<-1

2.下列根式中，不是最简二次根式的是()

A.710C.<6D.72

3.用配方法解一元二次方程/-6%+8=0配方后得到的方程是()

A.(X+6)2=28B.(x-6)2=28C.(x+3)2=1D.(%-3)2=1

4.如图，点〃在△4BC的边4C上，要判断△力BPs△4CB,添加一个条件，不

正确的是（）

A.LABP=ZCB.Z.APB=/.ABC

北=旭

ABACD强普

5.如图，△ABC与△DE/位似，点。是它们的位似中心，且相似比为1：2,则△力BC与△/）£1?的周长之比

是（）

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

6.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24〃?长的围栏围成一个面积为40血2的矩形

场地•设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（）

A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40

C.2x(24-2x)=40D.2x(24—x)=40

7.如图，△ABC中，Z-B=90°,BC=2AB,则cosA=()

A.、£

2/5

8.若关于x的一元二次方程（a4-2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为（

B.-2C.2或一2

9.如图，正方形力BCO的边长为4,点E为48的中点，点方在力。上，EF1EC,Dc

则尸的面积为（）

口ACE，一y/\

AEB

D.4

10.将代数式7层+2记为A,代数式2m-1记为B,现进行如下慢作：记%=A+B,%=A-B,u2=ux+

%，v2=u1-v1iu3=u2+v2:%=%一%…以此类推.下列说法：

①〃6=8m2+16；

②若〃，〃为正整数，如为整数，则或或；

?v2nm=l25

③美于用的方程3%-2%+2=0（"为正整数）只有2个实数根.

其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

A

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。入

11.计算：I（-7尸=-./\

12.若2x2-8=0,则％=.

13.如图，D、£分别在△ABC边48、4c上，若DE//BC,AD=2DB,DE=4,则/\

8c的长为—.BC

14.若mV2，3vm+1,且，〃为整数，则小的值为一.

15.如图，已知等腰直角三角形ABC,点D为BC边上一点，连接AD,将aABD

沿,44折叠得△48E,连接C£交4。于点尸.若力DICE,且BC=6,则：

(1)8。的长为—；/

Br-.C

⑵券的值为一.

16.任意一个三位数M,如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十

位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”.例如：M=234,囚为2+4=3x2所以234是“双倍

快乐数”.则最小的“双倍快乐数”为—；若可=a%c是一个“双倍快乐数”，且使关于x的一元二次方程

Q7+2以+c=0有两个相等的实数根，设尸(N)=*p若F(N)+N能被6整除，则所有满足条件的N

有一个.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小颍8分)

解方程：2x2-2%-3=0.

18.(本小题8分)

计算：

(1)/484-^-J1x/l2+724；

(2)(371+V^)(3\<2-x<3)-(1-75)2.

19.(本小题10分)

为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生

的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于6()分(成绩得分用x表示，共分成

四组：A60<x<70；B.70<x<80；C.80<x<90；D,90<x<100),下面给出了部分信息：

七年级20名学生的竞赛成绩为:66,67,68,68,75,83,84,86,86,87,87,87,87,89,95,95,

96,98,98,100.

八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81,82,83,84,86,88.七、八年级所抽学生的竞赛成绩统

计表

年级七年级八年级

平均数8585

中位数86a

众数b91

根据以上信息，解答下列问题:

(1)上述图表中a=»b=,m=；

(2)根据以上数据分析•，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出

一条理由即可)；

(3)该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加

此次安全知识竞赛成绩优秀Q>90)的学生人数一共是多少？

八年级所小浮生竞赛成绩统计图

20.(本小题10分)

如图，在△力BC中，zC=90%AC=6,BC=8,

(1)尺规作图：作线段/也垂直平分线，交4B于点E,交直线力。于点长

(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)在(1)的条件下，求£尸的长度.

解：=90°,AK

AB=飞4c2+叱=J62+82=10

♦••E/垂直平分线段48,、

.・.AE=EB=^1AB=5,Z.AEF=90。，c

LACB=®______.

vZi4=

:△AEFs②,

5_EF

6=T

EF=@.

21.（本小题10分）

先化简，再求代数式（1一2）+学的值，其中％=2sin45o-tan45。.

22.（本小题10分）

已知关于x的一元二次方程d-2mx+m2-1=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根.

（2）若△A8C为等腰三角形，AB=3cm,另外两条边是方程的根，求△A8c的周长.

23.（本小题10分）

某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该

商品卜分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平

均增长率不变.

（1）求二、三这两个月的月平均增长率；

（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1兀，销售量增加5

件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

24.（本小题10分）

某公园设置如图所示4、B、C、O四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，8在力的正东方向，C在.B

的正北方向，。在力的北偏东30。方向且在C的北偏西45。方向，OC=2j2千米，千米.

（1）求48的长度；（结果保留根号）

（2）小江和小北分别从。、4打卡点同时出发，小江以2km"的速度从。打卡点沿力方向步行至4打卡

点，小北以4km/力的速度从力打卡点沿4-8方向跑步至8打卡点，请通过计算说明，小江出发多少千米

后恰好与小北相距千米？

（结果保留小数点后两位，参考数据：1.41,«1.73）

北

西干东

南

25.（本小题10分）

如图，在△4BC中，Z.ACB=90\CD1AB,垂足为D.

(1)如图1,若力D=4,BD=5,求力。的长；

(2)如图2,尸为线段C0上一点，连接力b并延长至点£,使土AEB=90°,连接CE.求证：^,EAB=zECfi；

(3)如图3,△力8c是直角三角形，N4C8=90°,AC=2,BC=2>[6,平面内一点。，满足4。=4C,连接

CQ并延长至点E,且乙CEB=CCBD,当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长.

图I图2的

参考答案

一、选择题

I.C

2.B

3.D

4.Z1

5.A

6.A

7.D

8.A

9.C

10.5

二、填空题

11.7

12,±2

13.4

14.3

15.2;3

16,111；3

三、解答题

17.解：这里a=2,b=-2,c=-3,

•••△=(-2)2-4x2x(-3)=28>0,

_2±2/7

Ax=-4-，

1+771-/7

AX1=-2-'%2=-2'

18.解：(1)原式=V48+3-12+2/6

=4-V6+2y/~6

=4+-/6；

(2)原式=18-3-(1-2/5+5)

=18-3-6+2^

=9+2x^5.

19.解：（1）,.•从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛，

八年级4组的人数为20x10%=2（人），8组的人数为20x20%=4（人），C组的人数有6人，

O

:•八年级D组有20-2-4-6=8（人），则m%=云x100%=40%,

:.m=40,

.••中位数落在C组，是第10,11位同学成绩的平均数，即。=竽=85,

•••七年级20名学生的竞赛成绩为:66,67,68,68,75,83,84,86,86,87,87,87,87,89,95,95,

96,98,98,100,

•••出现次数最多的是87,

:.b=87,

故答案为:85,87,40：

（2）八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，

•••七年级的众数小于八年级的众数，

.••八年级学生的安全知识竞赛成绩较好；

（3）样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀（%>90）的学生人数6人，八年级安全知识竞赛成绩优秀（4>90）

的学生人数8人，

1600x4+1000x磊=480+400=880（人），

••.该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀。>90）的学生人数一共约是880人.

20.解：（1）图形如图所示:

(2)ZC=90°,

AB=VAC24-BC2=,62+82=10.

EF垂直平分线段

:.AE=EB=^AB=5,Z,AEF=90°,

Z.ACB=Z.AEF.

vZ.A=Z.A,

:•△AEfsxACB,

AE_EF^AE__EF_

~AC~~BCy而一正'

一5=一EF,

68

20

T-

故答案为:乙4",△4CB,然,黑

OCD

3)."-1

21.解：(1

x+2)'x+2

x+2-3%+2

"x+2(x+l)(x—1)

x—1x+2

-x+2(x+1)(%-1)

i

=A+T，

当％=2sin450-tan45°=2x苧-l=^-l时，原式=7T=苧.

22.[1)证明：由题意得，4=(一2m)2-4x1x(zn2-l)=4>0,

•••方程有两个不相等的实数根；

(2)解：原方程整理得：

[x-(m+l)][x-(m-1)]=0,

解得修=m+1,x2=m-1,

当?n+l=3时，解得m=2,m-1=2-1=1,

此时等腰三角形三边分别为1,3,3,

此时能构成三角形，

1+3+3=7(cm),

.•.△4BC的周长为7。〃：

当矶一1=3时，解得m=4,m+1=4+1=5,

此时等腰三角形三边分别为3,3,5,

此时能构成三角形，

5+3+3=11(cm),

.•.△ABC的周长为11cm；

综上可知，△力8C的周长为7cm或11cm.

23.解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x,根据题意可得:

256(1+x)2=400,

解得：=1,&=一氯不合题意舍去).

答：二、三这两个月的月平均增长率为25%：

(2)设当商品降价机元时，商品获利425()元，根据题意可得：

(40-25-m)(400+5m)=4250,

解得：巾］=5,皿2=-70(不合题意舍去).

答：当商品降价5元时，商品获利4250元.

24.解：(1)过Z)作DHJL4B十〃，过C作CE1DH十E,

•••匹边形4CE〃是矩形，

:.BC=EH=1千米，CE=BH,

根据题意得，LDAH=90°-30°=60°,ZDCE=90°-45°=45°,而=千米，

.・.CE=DE=苧x2VI=2（千米），

:.BH=CE=2千米，DH=DE^-EH=2+1=3（千米），

丝=tanZ-DAH=tan60°=\/~3,

AH

AH=4==6（千米）,

AB=BH^AH=（2+千米；

（2）如图，设出发x小时后，小江到达点“，小北到达点N,他们之间的距离MN=2/I千米,

连接MM,过点也作MFI4B于点尸，

由(1)可得40=篇=2斤千米，

.•.力M=49—。”=(2，1-2%)千米，F在N左边,

vZ.MAF=60°,

AF=AM-cos60°=(73-%)千米，MF=AM-sin60°=(3-千米,

北

:.FN=AN-AF=4x-(VI-x)=(5%-V3)千米,

在"△MWV中，MF?+FN2=MN2,

•••(3-V3x)2+(5x-V^)2=(273)2,