角的平分线的性质 暑假预习-人教版数学八年级上册

12.3角平分线的性质

【预习知识】

一、角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分NADB,点P是CI)上一点,且PE1AD于点E,PF1BD于点F,则PE=PF.

二、角的平分线的逆定理

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,则PD平分NADB

三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

(1)以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于，交0B于E.

(2)分别以D、E为圆心，大于'DE的长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点

2

C.

(3)画射线0C.

射线0C即为所求.

【典例】

一、单选题

1.如图，三条公路把4B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角

形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建

在（）

A.在AC、6c两边高线的交点处B.在2A、28两内角平分线的交点处

C.在AC、两边中线的交点处D.在AC、4c两边垂直平分线的交点处

2.如图人。是N8AC的平分线，石尸〃AC交A8于点E,交人。于点F,Nl=3（）。，ZBAD

的度数（）

A.20°B,30°C.60°D.120°

3.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D,ZABC=50°,ZACB=

70°,则NCDE的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.120°

4.如图，AB"3,Zl=70°,FG平分/EFD,则N2的度数是（）

二

J

—D

A.30°EL35°C.40°D.70°

5.如图，在RtAiA8c中，/48C的平分线8。交AC于点O,过点。作OE/A8交A8

于a点E.若C0=9cm,则点。到人8的距离是（）

B匕--------0C

A.9cmEh6cmC.4.5cmD.女m

6.如图，在XBC中，ZC=90°,AP是角平分线，AC=4,PC=2,则尸到AB的

距离是（）

CPH

A.2B.3C.4D.5

7.AO是Rt2\A8C的角平分线，若48=4,80=3,则点。到AC距离为（）

B

A.3B.4C.5D.6

8.如图，403=7()。，点C是NA08内一点。。_1_。4于点。，CE工OB于点、E.且

CD=CE,则NOOC的度数是()

oEB

A.30°B.35°C.40°D.45°

9.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺

就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线。8,另一把直尺压住射线OA并

且与第•把直尺交于点尸，小明说：“射线OP就是4OA的角平分线.”他这样做的依据

A.角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

B.角平分线上的点到角两边的距离相等.

C.三角形三个内角的平分线交于同一个点.

D.三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等.

10.如图，△4BC的两个外角的平分线相交于点P,贝J下列结论正确的是（）

A.8尸平分/APCB.8。平分NA8CC.BA=BCD.PA=PC

11.庆阳市是传统的中药材生产区，优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕

育了丰富的中药植物资源和优良品种，素有“天然药库”“中药之乡”的美称.如图，三条

公路把八、仄C三个盛产中药材的村庄连成一个三角形区域，此地区决定在这个三侑

形区域内修建一个中药材批发市场，要使批发市场到三条公路的距离相等，则这个批发

市场应建在（）

A.三角形的三条中线的交点处B.三角形的三条角平分线的交点处

C.三角形的三条高的交点处D.以上位置都不对

12.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要

使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（）

A,三角形三条边的垂直平分线的交点处B.三角形三条角平分线的交点处

C.三角形三条高的交点处D.以上位置都不对

13.如图，在二ABC中，是它的角平分线，48=8cm,AC=6cm,S^ABD:S^ACD=

)

A.16：9B.9：IC.3：4D.4：3

14.用尺规作一个角的平分线的示意图如图，能说明ZAOC=NBOC的依据是（）

A.SSSB.SAS

C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等

15.如图，在ABC中，？890?,以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，4C于

点。，E,再分别以。，七为圆心，大于;力E的长分别为半径画弧，两弧交于点F,

作射线4•交8C于点C,若BG=3,47=10,则,MCG的面积为（）

C.20D.50

16.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，其中说明△CQ力且△CO'。的

依据是（）

BB

D,

O'

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

17.已知N498,求作射线OP,使。0平分NAOB作法的合理顺序是（）

①作射线OP：②在射线。4、OB上，分别截取。。、OE,使0。=0£③分别以点。

和点七为圆心、大于线段DE长的一半为半径作圆弧，在N4OB内，两弧交于点P.

A.①②③B.②®@C.②③①D.③②①

二、填空题

18.如图，在“中，ZACB=90°.以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A8,

AC于点M,N,再分别以点“，N为圆心，大于^MV的长为半径画弧，两弧在ABC

4|0

的内部相交于点儿作射线AP交边8c于点。，若CD=:,△A8O的面积为:，则线

33

段A3的长为

19.如图，40是的角平分线，DEJ.AB于点E,8c=36,DE=4,AC=8,

则A8的长是

20.如图，在./8C中，ZC=90°,AO平分NC48,8c=7,BD=4,则点。到A8

的距离是,

B

D

21.如图，在ABC中，AO是N84C的平分线，过点D分别作AB，AC的垂线，垂

足分别为点E,F,若DE=5,则。/的长为.

22.如图，中，ZC=90°,/ABC的平分线8。交AC于。，若CO=4cm,

则点D到A3的距离DE是cm.

23.如图，射线。。平分NMON,点P是射线0。上一点，且尸4LQN于点A,若以=3,

则点P到射线OM的距离等于.

24.如下图，0P平分NMQV，办_LON于点A,点。是射线。力上的一个动点，若PA=2,

。4=3,则PQ长的最小值为.

Qt

o

25.如图，CQ_LAA,BELAC,垂足分别为。、E,BE、。。相交于点。，且。4平

分/朋C,0D=2,则。E=.

26.用用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明NA0C=N80C的依

据是（填写：SSS或SAS或ASA或AAS）.

27.如图，在埼△ABC中，乙4二90。，乙4BC的平分线BO交AC于点。，OE_L8C于E,

AD=3fDC=4,则。£=.

三、解答题

28.完成下面的解答过程，并填上适当的理由.

已知：如图，DE〃BC,BD平分NABC,所平分/AED.

求证：EF//BD.

A

解：VDE//BC(已知)

/.ZABC=ZAED(①).

*/BD平分/ABC,E/平分NAED,

AZ\=-ZABC,Z2=-ZAED.

22

，N1=_②__(③).

AEF//BD(④).

29.已知NAO8,用尺规作/AO8的平分线OC.

30.用尺规作图法作NAOB的角平分线.(请填空，图上保留作图痕迹即可)

已知：ZAOB.

求作：/408的角平分线.

作法：

⑴以点。为圆心，为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.

(2)分别以点为圆心，为半径画弧，两弧在2408的内部交于点C

(3)画射线OC,则即为所求.

31.把两个同样大小的含30。角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的

Rt/\ABC和RtAABD，设"是AO与BC的交点,则这时MC的长度就等于点M到AB

的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.

D

32.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZCAD=ZBAD,于E,点户在边AC上.

(I)求证：DC=DEx

(2)若AC=4,AB=5,且△ABC的面枳等于6,求。E的长.

参考答案：

1.B

【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交广一点，并且这一点到三条边的距离相等即可

选择.

【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在NA、-3两内角平分线的交点处.

故选:B.

【点睛】本题考查三角形口勺角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并

且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键.

2.B

【分析】先根据平行线的性质得到4%C=30L再根据角平分线即可得到NBA。的度数.

【详解】尸〃AC,Zl=30°

zmc=3（）°

•••AO是N/3AC的平分线

工NBAO=NDAC=30°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角平分线及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关

键.

3.B

【分析】根据角平分线的定义求出NFCB和NEBC的度数，再根据三角形的外角性质即可

求出.

【详解】〈BE、CF是△ABC的角平分线,BE、CF相交于D,ZABC=50°,ZACB=70°,

・•・ZEBC=-ZABC=25°,ZFCB=-ZACB=35°,

22

/.ZCDE=ZEBC+ZFCB=25o+35°=60°.

故选B.

【点睛】本题考查三角形的角平分线定义和三角形的外角性质.

4.B

【分析】由A8〃CO,Zl=70°,可得出NE»N1=7O。，再由角平分线的定义即可得出N2

的度数.

【详解】解：・・・/W〃CO,Zl=70°,

/.Zfcr/9=zi=7ou.

又•：FG平分NEFD,

AZ2=yZ£：ro=35°.

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，是基础题.

5.A

【分析】根据角平分线的性质，角平分线I.的点到角两边的距离相等，即可求解.

【详解】:鸟。平分NA8C,DEJ.AB,ACJ.BC,

DC=DE=9,

:•点、D到A3的距离是9cm.

故选：A.

【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质.

6.A

【分析】过尸作于。，根据角平分线的性质得到PO=尸C,即可求出点。到边A8

的距离.

【详解】解：过。作于。，

,/ZC=90°,

:.PDLAB.

,:AP是角平分线

・•・AP平分NC44,

,PD=PC,

•・•PC=2,

PD=2,

・••点P到边A8的距离是2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问

题的关键.

7.A

【分析］如图所示，过点。作OE1AC于E,根据角平分线的性质得到。£=。8=3原可得

到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作OE上AC于£,

丁AO是RtAiABC的角平分线，DB±AB,DEA.AC,

/.DE=DI3=3,

・••点D到AC距离为3,

故选A.

li

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟知角平分线上的点到角的两

边的距离相等是解题的关健.

8.B

【分析】根据角平分线的判定定理可得0C平分/408,再计算角度.

【详解】解：^CDIOA,CEA.OB,CD=CE,

・•・OC平分NA08,

/OOC」ZAOB=35。，

2

故选C.

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上.

9.A

【分析】如图，过点P作庄_LAO于E点，PF上30于F点,则PE=P尸,然后根据角平

分线的性质定理的逆定理可判断OP平分NA08,从而可对各选项进行判断.

【详解】解：如图，过点。作正J_A。于七点，PF工BO于F点,

OhB

•・•两把长方形直尺完全相同，

，PE=PF,

・・・0P平分NAO8（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故诜：A.

【点睛】本题考查了作图•基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了

全等三角形的性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质.

10.B

【分析】过点尸分别作PDA.BA交BA延长线于点尸EJ_8C交BC延长线于点E,PFLAC

于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解.

【详解】解：如图，过点。分别作H）_L8A交延长线于点D,尸EJ_8C交延长线于

点、E,PF工AC于点F,

•••△AAC的两个外角的平分线相交于点P,

：.PD=PF,PE=PF,

:・PD=PE,

工点P在NA8C的角平分线上，即8尸平分NA8C

故选：B

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边

距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键.

11.B

【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解.

【详解】解：•・•角平分上的点到角两边的距离相等，且批发市场到三条公路的距离相等，

・•・这个批发市场应建在三角形的三条角平分线的交点处.

故选：B

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，热练掌握角平分上的点到角两边的距离相等

是解题的关键.

12.B

【分析】根据三角形的内心的定义和性质即可求解..

【详解】解：•・•角平分线上的点到角两动的距离相等，

，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在三角形三条角平分线的交点处,

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形的内心，理解和掌握三角形内心的定义和性质是解题的关键.

13.D

【分析】利用角平分线的性质，可得出△A6O的边A8上的高与.AC。的AC上的高相等，

根据三角形的面枳公式，却可得出△43。丐,A8的面积之比等于对应边之比.

【详解】解：・・・A。是的角平分线，

:.设△48。的边48上的高与..ACD的AC上的高分别为力%,

:.=hz,

力与，48的面积之比=4凡AC=8：6=4：3,

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，热练掌握三角形角平分线的

性质是解题的关键.

14.A

【分析】如图所示，连接MC，NC,利用SSS证明△CQVt△COM,即可证明

ZAOC=ZBOC.

【详解】解：如图所示，连接MCNC,

由作图方法可知QN=QM,CN=CM,

又'：oc=oc,

・•・△CON/MOM(SSS),

：・4NOC=NMOC,HPZAOC=ZBOC,

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知

识是解颍的关键.

15.B

【分析】过点G作G，_LAC于点”，根据题意可得，NG为NB4C的角平分线，根据角平

分线上的点到两边的距离相等，即可得出GH=BG=3,即可求解.

【详解】解：过点G作GH_LAC于点从

〈AG平分N8AC,?B90?,GH1AC,

:.GH=BG=3,

：.SVACO=；ACGH=；xl0x3=15,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了用平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图和角平分

线上的点到两边的距离相等.

16.A

【分析】由作图可知OC=O'U,00=0'。'，CD=CD\即得出利用“SSS”证明

△CO。g△C'W.

【详解】根据作图可知OC=O'C,OD=OP，CD=CD\

・•.△CO£>dCOO(SSS).

故选A.

【点睛】本题考查作图一角平分线，三角形全等的判定和性质.掌握三角形全等的判定条件

是解题关键.

17.C

【分析】根据角平分线的作法排序即可得到答案.

【详解】解：角平分线的作法是：在Q4和0B上分别截取。。，0E,使OD=OE,

分别以为圆心，大于;的长为半径作弧，

在/A。“内，两弧交于P,作射线0P,故其顺序为②③①.

故选：C.

【点睛】本题考查尺规作务-角平分线，掌握角平分线的作图依据是解题的关键.

18.5

【分析】先根据尺规作图描述得出4。为/8AC的角平分线，再根据角平分线的性质得到点

。到48的距离OE=5,进而求出三角形的面积.

【详解】由作法得A。平分N8AC,

如图所示，过点。作OE/A8于E・・・NAC4=90。，

根据角平分线的性质，得

4

DC=DE=—,

3

.N的面积=QE=gx=与.

JAB=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用.

19.10

【分析】过点。作。产1AC于F,然后利用角平分线的性质得到。石=。产=4,然后利用二ABC

的面积公式列式计算即可得解.

【详解】解：过点。作OF/AC于F,

：A。是A3C的角平分线，DEJ.AB于点、E,

/.DE=DF=4,

A5=-xABx4+ix«x4=36,

-八22

解得A3=10.

故答案为：10.

【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质.

20.3

【分析】先求出CD=8C-8D=7-4=3,由角平分线上的点到角的两边距离相等可得

DH=DC=3,即可得到点。到A5的距离.

【详解】解：过点。作于点从

VBC=7,8£>=4,

：・CD=BC-BD=7-4=3,

,/ZC=90°,

,DCLAC,

*/A。平分NC48,

・•・DH=DC=3,

・••点。到A8的距离是3,

故答案为；3

【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题

的关键.

21.5

【分析】根据角平分线的性质定理求解即可.

【详解】•・•AO是NB4C的平分线，DEJ.AB,DF1AC,

/.DF=DE=5.

故答案为：5.

【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理.

22.4

【分析】根据角平分线的性质得出即可求出点。到AA的距离.

【详解】解：的平分线8。交AC于点。，NC=90。，DE1AB,

DE=CD=4cm,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质，熟练运用它求解.

23.3

【分析】根据角平分线的性质、点到直线的距离解答即可.

【详解】解：作PK工OM于K,

,?0P平分NMON,PA±ON,PKA.OM,

PK=PA=3,

；・P到OM的距离为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解

题的关键.

24.2

【分析】根据题意点。是射线0M上的一个动点，要求的最小值，需要找出满足题意的

点Q,根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ

垂直OM,此时的尸。最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得%=PQ,

利用已知的PA的值即可求出尸。的最小值.

【详解】解：过点P作PQ_LOM,垂足为。，则PQ为最短距离，

,：OP平分4MoN,PA1ON,PQLOM,

:.PA=PQ=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

25.2

（分析］根据角平分线的性质定理即可知。£==2.

【详解】解：VCD1AB,BE上AC,

：,ODLAB,OE1AC.

YOA平分NRAC,

：.OE=OD=2.

故答案为:2.

【点睛】本题考查角平分线的性质定理.掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关

键.

26.SSS

【分析】根据角平分线的作法可知MO=N。，CO=CO,MC=NC,符合三角形全等的判定方

法中的S3S,可证△OMC小△ONC,即证/AOC=N/3OC.

【详解】解：由作法知M0=M7,CO=CO,MC=NC,

A

C

:.XOMgAONC（SSS）,

，NAOC=NBOC.

故答案为：555.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的-♦般方法有：5SS、S5、

SSA、HL.要在作法中找已知条件.

27.3

【分析】根据角平分线的性质得到。£=AO=3.

【详解】解：・・・乙4:90。，

：.DALBAf

又・・・8。是N/WC的平分线，DELBC,

：.DE=AD,

•・・4Z>3,

：.DE-3r

故答案为：3.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题

的关键.

28.两直线平行，同位角相等Z2等量代换同位角相等，两直线平行

【分析】先分析角的位置关系，根据平行线的性质及判定定理，即可写出答案.

【详解】证明：VDE//BC（已知），

AZABC=ZAED（两直线平行，同位角相等）.

平分/48C,E尸平分一AE。，

/.Z1=-ZABC,Z2=-ZAED.

22

AZ1=Z2（等量代换）.

：.EF//BD（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：两直线平行，司位角相等；Z2；等量代换同位角相等，两直线平行.

【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），及平行线的判定方法（同

位角相等，两直线平行）.牢记平行线的性质和判定方法是解题的关键.

29.见解析

【分析】以点。为圆心，以任意长为半径画弧，与边3、0B分别相交于点M、N,再以

点M、N为圆心，以大于长为半径