初中数学 解直角三角形跨学科 解析版

解直角三角形跨学科综合

I.数学小组研究如下问题：东莞市地处北纬约23。的纬度上，求北纬23。纬线的长度，小组成员杳阅相关资

料，得到如下信息：

信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图，赤道半径0A约为6400千米，弦、BC“OA,以BC为直径的圆的周长就是北纬23c纬线的长

度.(参考数据：7T«3.14,sin23°«0.39,cos23"«0.92,tan230®0.42)

根据以上信息，北纬23。纬线的长度约是()

A.52900千米B.16000千米C.37000千米D.42000千米

【答案】C

【解析】如图，作OH1BC于H,；.BH=CH=^BC,•:OA//BC,:.乙B=Z,AOB=23°,:.cosB=

cos23°=粉，•••08、6400千米，•••BH右6400x0.92=5888（千米），•••8C=28/7=11776（千米），二以

9C为直径的圆的周长=7ix11776~3.14x11776=36976.64~37000（千米）..••北纬23。纬线的长度约是

37000千米.故选C.

数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44。，求北纬44。纬线的长度.小组成员查阅了相关资料，得

到三条信息:

（1）在地球仪上，与南、北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线.

（2）如图，。。是经过南、北极的圆，地球半径。力约为6400km,弦BC"OA,过点。作。K18。卜点K,连

接08.若N408=44。，则以BK为半径的圆的周长是北纬44。纬线的长度.

（3）参考数据：t取3,sin440=0.69,cos44°=0.72.

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为6G7。4,4406=44。，

所以=/.AOB=44°（）（填推理依据

）.

因为OKA.BC,所以4BKO=90。，

OB=OA=6400.

BK=OBx（填“sinB”或“cosB”）.

所以北纬44。的纬线长C=2n-BK

=2x3x6400%（填相应的三角函数值）

«（km）.（结果取整数）

【答案】解:两直线平行，内错角相解cosB;0.72;27648.

口利1斤】略

3.

第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4口至20口在北京和张家口举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、

4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个

滑雪大跳台（图1）,它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图2是其示意图，已知：助滑坡

道4尸=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到8D的距离为40米，HG//BC,^AFH=W,乙EFG=

25°,乙ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离（结果保留整数）.

(参考数据：sin40°«0.64,cos40°«0.77,tan400«0.84,sin25°«0.42,cos25°«0.91,tan250«

0.47,sin36°«0.59,cos36°«081,tan36°«0.73)

图I图2

【答案】如图，过点E作EN点N,交HGJ：点M,则四边形BHMN是矩形,

•••HG//BC,

Z.AHF==90°,Z.EGF=乙ECB=36°,HG1EN.

在孔△?1”/中，Z.AFH=40°,A『=50米，

:.AH=AF-s\nz.AFH«50x0.64=32(米).

设MG=%米，则FM=(7-x)米.

在Rt△EMG中，EM=MG-tanzEGM=MG-tan36°«0.73%米，

在At△FEM中，EM=FM•tanzFFM=FM-tan250*0.47(7-x)米，

•••0.73x=0.47(7—x),•••x«2.7,

••.EM«2.0米，

:./B=AH+EN-EM=32+40-2.0=70(米).

答：此大跳台最高点力距地面8。的距离约是70米.

【解析】见答案

4.

“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉.如图，握力器弹

簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm,即PQ=3czn.开始训练时，将担簧的端点Q

调到点8处，此时弹簧长PB=4cm,弹力大小是100N,经过一段时间的锻炼，他手部的力量大大提高，

需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到。处，使弹力大小变为300N,已知4PBC=120。，求8C的长.(

注：弹簧的弹力与形变成正比，即r二上必，k是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹

簧的长度为与，在外力作用下，弹簧的长度为％,则△%=%-与)

【答案】如图，由题意知为o=3cm,当x=4cm时，F=100/V,100=Ar(4-3),解得k=

100/V/cm.:.F=1004%.当尸=300N时，300=100x(PC-3),:.PC=6cm.由题意得NP/IB=900,

乙PBC=120°,AZ.PBA=60°.,:PB=4cm,:.AB=PB•COSLPBA=4XCOS60°=2(cm),PA=PB-

sin^PBA=4xsin600=2\f3(cm).:.AC=y/PC2-PA2=2<6(cm).:.BC=AC-AB=(2x/~6-

2)cm,即BC的长是(2，^一2)c7n.

5.

圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为

“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日

影便会投影在圭面匕圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是

•个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭8C，已知该市冬至正午太阳高度角（即乙48C）

为37。，夏至正午太阳高度角（即乙4DC）为84。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即03的长）为4米.求：

会夏至

冬至正午阳光

（1”8力。的度数;

（2）表4c的长（结果保留小数点后一位；参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75,

tan84°«9.5).

【答案】(1)47°

(2)3.3米

【解析】1.略

2.略

6.

小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验.他先将平面镜放在平面上，如

图，川一束与平面成30。角的光线照射平面镜上的4处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点.他

不改变）匕线的角度，原地将平面镜转动了7.5。角，即ziPAP，=7.5。，使光影落在C点正上方的。点，测得

CD=10cm.求平面镜放置点与墙面的距离48.（参考数据：百«1.73）

\D

【答案】解：由题意得：^DAB=37.5°+7.5°=45°.

设｛8=xcm,则。8=xcm,

在At△ABC中，4018=30°,

vtanZ-CAB=黑，

AB

:.BC=AB-tanz.CAB=yx>

vCD=BD-BC,

V3re

x——无=10,

:.x=23.65.

因此，平面镜放置点与墙面的距离力8是23.65cm.

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考

题型.

设/18=xcm,则。8=xcm,根据CZ）=BD—BC,构建方程求解即可.

7.

风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我省多地结合自身地理优势架设风力发电机利用风能

发电.王芳和李华假期去大理巍山游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想

知道风力发电机塔架的高度.如图，王芳站在坡度i=，壬1,坡面长307n的斜坡8c的底部匚点测得C点与塔

底。点的距离为25m,此时，李华在坡顶8点测得轮毂力点的仰角a=38。，请根据测量结果帮他们计算风

力发电机塔架AD的高度.（结果精确到0.1m,参考数据sin38。八0.62,cos38°«0.79,tan38°«0.78,

1.41,73«1.73）

【答案】过8点分别作CD、40的垂线，垂足分别为E、F,

则BE=DF,BF=ED,

在At△BCE中，i=/3:1,

:.tanzFCE=y/~3,

:.乙BCE=60°,

又BC=30(m),

---BE=RC-sin600=30x竽=15c15x1.73=2S.9S(m),

EC=BC-cos60°=30xi=15(加)，

vCD=25(m).

:.ED=EC+CD=15+25=40〔m),

:.BF=ED=40(m),

在尸中，Z-ABF=38°,

:.AF=BF-tan^ABF=40x0.78=31.2(m),

:.AD=AF+FD31.2+25.95=57.15«57.2(m),

答：塔架高度力。约为57.2m.

【解析】【分析】过8点分别作C。、力。的垂线，垂足分别为£、F,根据坡度的定义求出BE,可求FG,根

据正弦的定义求出A凡再根据线段的和差关系计算即可求解.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题

的关键.

8.

小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部

安装一平面镜MN,MN与墙面A8所成的角4MN8=118。，厂房高H5=8m,房顶4M与水平地面平行，

小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面卜.最沅处。到他的距离C0是多少？（结果精确到

0.1m,参考数据：sm34°=056,tan34°«0.67,tan560之1.48）

【答案】如图，连接MC,过点M作HMJ.NM,由题意，得

Z.DMC=2Z.CMH,Z.MCD=Z.HMN=90°,AB=MC=8m,AB//MC,

:.乙CMN=180。-ZMNB=180°-118°=62°,

:.“MH=乙HMN-乙CMN=28>,

ALDMC=2乙CMH=56°.

在Rt△CMD中，CD=CM•tan56°«8x1,48«11.8(m),

・・•能看到的水平地面上最远处。到他的距离CD约为11.8m.

【解析】见答案

9.

光伏发电场景的示意图如图1所示，EF为吸热塔，在地平线EG上的点8,8,处各安装定日镜(介绍见图2).绕

各中心点(44)旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到认吸热器点F处.已知AB=AlBr=1m.

EB=8m,EB'=在点力观测点F的仰角为45°.

吸太阳光线

热

器

\、定日镜

W/、\c

吸热塔端浦，

期物工上羽5%%吻”2曲切今当么炭学7乃万;Z

/<卜;//,(;

图1

定日镜

由支架、平面镜等组成,支架与镜

而交点为中心点.支架与地平线垂

直中喟/平面镜

/［支架

—I地平线

图2

(1)求点尸的高度EF;

(2)设匕。/18=%4。卬e=/?,则a与/?满足怎样的数量关系?

【答案】（1）如图，连接并延长，交EF于点、”.则四边形均为矩

形,,•.HE=AB=/VB'=l〃?,H/\=EB=8"i,HA'=EB'=8y/l"i•由题意知/HAF=45°,，Z.HFA=45°,

“尸=*4=8〃?,.・.石产=，/7+，石=8+1=9。〃）.，点产的高度EF为9m.

吸

热

器

⑵由光的反射的性质可知/EAD=ZM4C/E477=NMVC.「/OAB=a,.•.4C4A'=zD4止90°-。,，

N/VMC=NE4O=45°+90°-a=135°-a,，zMA/\'=zMAC+zC/l/1,=135o-a+90o-a=225°-2a.v

tan^HA'F-F^-,A4"A'F=30°.「乙D'A'B'=。，：.4D4”=90°/,.・.乙必'心180°-24必'£>'=180>-2(30°+90°-

AHo8v33

3)=2£-60。,二乙HA'N=^FA'N+乙HA'F=2B-600+30°=26-30°:：AM//A'N,：.NM/VT+NN/VA=180°,.・.225°-2a+2%

30°=180°,.-.a-/?=7.5°.

【解析】1.见答案

2.见答案

10.

地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托色尼利用太阳光测量出了地球子午线的周长.某数学小组

的成员根据其中的原理展开了“探求地球周长”的实践活动.

如图①，某日正午，小红在8地（与太阳直射点力在同一子午线上）测得太阳光与木棍的

任务1夹角为a,则/力。8=________,若测得48之间的弧长为［，则地球子午线的周长为

_________.（用含a，，的代数式表示）

如图②，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分

任务2别为a,0,则乙8。。=_________,若测得BC之间的弧长为1,则地球子午线的周长为

________.（用含%/?,［的代数式表示）

如图③，日落时，身高为人的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一

瞬间，按下秒表开始计时.同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停

任务3

止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了/PQH=。，请据此计算出地

球的半径与周长.（用含力，。的代数式表示）

任务3：地球的半径为辛喀，周长为誓萼.

1—cost/1—cos8

【解析】略

11.

实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向

下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管，AB=30cm,BE=\AB,试管倾斜角a为

10°.

A

高缰酸钾蓬松的棉花团

(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度;

(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长8M交CN的延长线于点F,且MN1CF(点C、。、N、F在i条直

线上)，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,/.ABM=145°,求线段DN的长度.(参考数据:sinlO0®

0.17,coslO°。0.98,tanl0°«0.18)

【答案】【详解】(1)解：过点为作EGl/lC于点G,如下图,

,:AB=30cm,BE=-AB,

•J

;BE=10cm,A