2026年中考数学：三角形专项训练（含答案）

2026年中考数学：三角形专题训练

一.选择题（共10小题）

1.（2025•德惠市校级二模）如图，将三角形纸片48c按下面四种方式折叠，则力。是△ZSC的高的

2.（2025♦邯郸模拟）如图，点力，B,C,O均在正方形网格的格点上，比线段4。短的是（）

A.线段力8B.线段4CC.线段BCD.线段CD

3.（2025•英德市一模）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木莺”.后

来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示

的“风筝”图案中，AB=AD、/B=4D、BC=DE.则可以直接判定（）

A.^AEG^/\ABCB.AAEG公AACFC.△ABFdADCD./XABC^^ADE

4.（2025•浙江模拟）如图，在四边形18CO中，ZABC=ZADC=90°,对角线力。和8。交于点E,

若力E=4,CE=2,则8。长的最小值为（）

A.6B.4V2C.4D.2企

5.（2025•西安校级三模）如图，直线a〃爪等边△力4c的顶点C在直线方上，若Nl=38°,则N2

的度数为（）

A.142°B.128°C.98°D.92°

6.（2025•鹿城区校级一模）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并

拼出一个新图形如图所示，若EF=l,GH=3则正方形48。。的周长为（）

7.（2025•海口一模）已知等腰三角形的周长为30c”?，则底边长y（cw）与腰长xCem）的函数关系

式是（）

A.y=30-2x(7.5<x<15)B.y=2x-30(7.5<JT<15)

C.y=15-1x(x<15)D.y=-15(x>7.5)

8.(2025•碑林区校级二模)如图，△力8c中，M是8c的中点，4D平分NB4C,于点。,

若48=4,AC=6,则MQ等于()

9.（2025•杭州模拟）如图，在四边形48CO中，对角线4cL8。，且4C=3,BD=4,点E,厂分别

是边AB,CQ的中点，则E尸的长度是（）

10.（2025•南昌模拟）如图，△48C是等边三角形，分别以力和C点为圆心，一定的长度为半径画

弧，两弧交于M,N两点，连接MM交力。于点。，又以C为圆心，以CO的长度为半径画弧交

8。的延长线于£点，连接EQ并延长交于点E经过此操作后，下列结论错误的是（）

二.填空题（共6小题）

11.（2025•泗阳县一模）如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点力、B、C、力均在正方形网格

格点上.图中/8+/。=

B

12.（2025•浦东新区校级三模）如图，点。是菱形力8CQ的对称中心，连接。4、08,OA=4,OB

=6,）为过点。的一条直线，点2、尸分别在力。、6C上，则图中阴影部分的面枳为.

13.（2025•汇川区二模）如图,Rt△49c中，AC=6,8C=8,则其内部五个小直角三角形的周长之

和为.

14.（2025•齐齐哈尔四模）如图，在三角形44c中，以点力为圆心画弧，交线段4C于点£和点八

分别以点石，尸为圆心，以大于^£小的长为半径画弧，两弧交于点M，直线力〃交线段8c于点力.若

15.（2025•孝义市三模）如图，在四边形48CO中，AB=BC,ACLCD,8D平分N4DC,AC与BD

相交于点£，若CD=3,4c=4,则线段的长为.

D

16.（2025•济宁校级二模）如图，〃个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Mi，"2，

MJ,…M〃为边刈的,B2B3,用员，…，8遇〃+|的中点，△4]C].W的面积为Si,△&（72M2的面积

为S2,…△8〃CnM〃的面积为S”，则Sio=.

17.（2025•永寿县校级模拟）如图，在△48。和△OEC中，NB=/E,/BCE=/DCA,AB=DE.>R

ilE：BC=EC.

18.（2025•鹿城区校级一模）如图，在等边△48C中，点。、E分别是边8C、4C上的点，力。与8E

交于点足CQ=4,ZBEA=ZBAD+ZC.

（1）求证：BD=CE；

（2）求8E・E"的值.

19.（2025•从江县校级二模）如图，在△N8C中，4C8=90°,CA=CB,点尸是线段8。上的一

个动点，过点笈作笈•月产交4尸的延长线于点。，射线夕。交直线月。于点石，连接S.

（1）若点P不与端点8，C重合，求证：/CBE=/CAP；

（2）求证：DA=D8+&0C；

（3）若点尸在线段8C的延长线上时，用等式表示线段D/l,DB,。。之间的数量关系并说明理

由.

A

20.（2025•黑龙江一模）在△力4C中，AB=AC,。是4c上一点，AE=AD,NDAE=NB4C,连接

CE,DE.

（1）当NB4C=90°时，如图①，线段8。，CD,力上之间的数量关系是；

（2）当/B4C=60。时，如图②，当N加C=120°时，如图③，分别写出线段8。，CD,DE

之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明.

21.（2025•江汉区模拟）已知等边三角形月8。中，D,£分别是在边力C,AB上,且CD=n4E.

AD3

（1）如图1，若〃=1,—=-»CE,BD交于点、F.

AC5

①求证：AABD^ABCE；

rp

②求蒜的值；

Dr

DE

（2）如图2,若〃=2,直接写出的最小值_____________________.

DIJ

22.（2025•永寿县校级模拟）句题提出

（1）如图①，在等边△ABC中，AC=4,。为4c边上一点，则/。的最小值

为;

问题探究

(2)如图②，在△XBC中，Z5=60°,AC=6,40为△N3C的中线，过点。作。及L/C于点

E,当QE取得最大值时，求△48。的面积；

问题解决

(3)宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城

市”.如图③，某开发商计划在废弃铁轨力。上改造一个三角形火车主题公园4AC,为了满足群众

拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知NB4C=120°,AD=\^m,BD=3CD.问

是否存在符合要求的△月5C?若存在，请求山△月8c面积的最人值；若不存在，请说明理由.

图①图②图③

23.(2025•前进区校级二模)旋转是几何图形运动中的一种重要变换.通常与全等二角形等数学知识

相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如卜.探究：如图1,

△力4c和△QMN均为等腰直角三角形，NBAC=NMDN=90。,点。为8c中点，4DMN绕点、

。旋转，连接4"、CM在旋转过程中，易证(不需要证明).

(1)当点股、N在△力8c内且C、M、N三点共线时，如图2,线段4"、CM、QM之间有怎样

的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

(2)当点M、N在△彳8C外且。、M.N三点共线时，如图3,猜想力M、CM、0M之间的数量

关系，直接写出结论，不需要证明.

24.(2025•朝阳区校级三模)【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了•个问题：如图①，在等腰

直角△力4C中，NBAC=90：AB=AC=4.D、£分别是边/也、力C上的两个动点，AD=CE.连

结BE、CD,试探究8E+CD的最小值.

【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用8、E、F三点线,

将上述问题解决.

【问题解决】如图②，过C点作CF〃力8,且。尸=/IC,连结E氏在【问题呈现】的条件下，完

成下列问题：

(1)证明：△ACD9ACFE.

(2)8E+CQ的最小值为.

【方法运用】如图③，在菱形力8c。中，AB=3,ZD=60°,E、尸分别是边力4、力C上的两个

动点，AE=CF.连结CE,贝ljBQCE的最小值为.

【拓展迁移】如图④，在等边△力8。中，CQ是高，点E在线段C。上，点尸在边力。上，CE=

AF,连结力E,BF,若力8=2遮，则力石+8”的最小值为___________

上I”：工DA

BCBC萨---黑/BAC

图①图②图③图④

2026年中考数学：三角形专题训练

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DADBCCADCc

一.选择题（共10小题）

1.（2025•德惠市校级二模）如图，将三角形纸片4AC按下面四种方式折叠，则/。是△/SC的高的

是（）

【解答】解：选项。中的幺。是△48C的高,

故选：D.

2.（2025•邯郸模拟）如图，点力,B,C,。均在正方形网格的格点上，比线段短的是（)

A.线段B.线段C.线段8cD.线段CO

【解答】解：设每个小正方形的边长为1,则8。=3,

由勾股定理得，AB=V224-22=2V2,AC=Vl2+32=A/'TO=BC,CD=V32+42=5,

・•・比线段短的是线段力B,

故选：力.

3.（2025•英德市一模）据史书记载，最早的风笔是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木莺”.后

来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示

的“风筝”图案中,AB=AD./R=/D、2。=。/?.则可以有接判定（）

A.A4EG丝AABCB.AAEG^AACFC.△ABF/AADCD.△ABC/AADE

【解答】解：根据三角形全等的判定定理可得，

在和△力QE中,

BC=DE

乙B=乙D»

AB=AD

•••△ABC/AADE（SAS）.

故选：D.

4.（2025•浙江模拟）如图，在四边形力8CZ）中，ZABC=ZADC=90°,对角线力。和8。交于点E,

若力£=4,CE=2,则4。长的最小值为（）

D

A.6D.46C.4D.2\/2

【解答】解：如图，ZABC=ZADC=90<>,

・••取/IC的中点即圆心O,当弦8。J_4c时，8。取到最小值.

•・"=4,CE=2,

AC—6,

：・OB=（）C=3,

：.OE=OC~CE=3-2=1,

在Rtao£5中，由勾股定理得，

BE=^OB2-OE2=，32-12=我=2VL

：.BD=2BE=4V2,

即BD长的最小值为4vL

故选：B.

5.（2025•西安校级三模）如图，直线。〃爪等边的顶点C在直线力上，若Nl=38°,则N2

的度数为（）

A.142°B.128°C.98°D.92°

【解答】解：设直线。与48交于点。，与4c交于点E,如图所示:

A

VZl=38n,

・・・N4OE=N1=38°,

•・•△/«。为等边三角形，

AZJ=60°,

•・•NAEF为丛ADE的一个外角,

AZAEF=ZADE+ZA=3S°+60°=98°,

•・•直线a〃瓦

：.Z2=ZAEF=9S°.

故选：C.

6.（2025•鹿城区校级一模）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并

拼出一个新图形如图所示，若EF=1，G〃=7,则正方形力8c。的周长为（）

【解答】解：设每个三角形的长直角边为短直角边为b,

・意可得，

：・AB=y/a2+b2=A/42+32=5,

・•・正方形ABCD的周长为4力8=4X5=20,

故选：C.

7.（2025•海口一模）己知等腰三角形的周长为30o〃，则底边长y（cm）与腰长工（。〃）的函数关系

式是()

A.尸30-2x(7.5<x<15)B.y=2x-30(7.5<x<15)

C.y=15-1x(x<15)D.y=1x-15(x>7.5)

【解答】解：由条件可得y=30-2x,

A30-2¥>0,

：.x<\5,

，2x>3()-2x,

，x>7.5,

/.7.5<x<15,

故选：A.

8.(2025•碑林区校级二模)如图，△45。中,M是8C的中点，4。平分N84C,BDLAD于点、D,

若48=4,AC=6,则A/Q等于()

C.2D.1

【解答】解：延长8。交4c于凡

在△408和△4。“中

/-BAD=乙HAD

AD=AD,

zADB=^ADH

:.AADB@4ADH(,ASA)

；"H=4B=4,BD=DH,

：.HC=AC-4H=6-4=2,

•:BD=DH,BM=MC,

・・・DM是的中位线，

i

：,DM=^HC=1,

故选；D.

9.（2025•杭州模拟）如图，在四边形48C。中，对角线/1C_L8Q,且/1C=3,BD=4,点£,“分别

是边AB,CO的中点，则£尸的长度是（)

5

ciD.2

【解答】解：取力。的中点"，连接A7七，A/R

•・•£、/分别是48和C。的中点,

••・EM是△4的中位线，尸M是△4OC的中位线,

MF//AC,ME=^D,MF=^/1C,

UBD,

•・・ZC=3,80=4,

3

：,ME=2,MF=^,

：.EF=VME2+MF2=1.

故选：C.

10.（2025•南昌模拟）如图，△XBC是等边三角形，分别以力和C点为圆心，i定的长度为半径画

弧，两弧交于M,N两点，连接A/M交4C于点。，又以C为圆心，以CQ的长度为半径画弧交

8c的延长线于七点，连接EO并延长交44于点E经过此操作后，下列结论错误的是（)

B.ZBEF=30°

C.CD=DFD.BE=2BF

【解答】解；根据作图可得，MV垂直平分线段XC,

由条件可知8Q_LXC,3。平分N/出。，点。是<C中点，

:.BD是线段AC的垂直平分线，

・，WV与4。重复，

:・MN平分4ABC,故彳选项正确，不符合题意；

由条件可知NCOE+NC£7)=N4CB=60°,ZCDE=/CED,

/.ZC£D=30°,即/5M=3(T,故3选项正确，不符合题息；

•・•点。是4c的中点，

：.CD=ADt

VZJ=60°,NADF=NCDE=3()°,

：,ZAFD=\S0°-ZA-ZJDF=I8O°-60°-30°=90°,

在RtA/O厂中，力力是斜边，力/是直角边，

：.AD>DF,

：.CD>DF,故C选项错误，符合题意；

VZAFD=90a,

：.ZBFE=90°,且N8E/=30°,

・••在RtZiAE/中，BE=2BF,故。选项正确，不符合题意；

故选：C.

二.填空题(共6小题)

11.(2025•泗阳县一模)如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点力、B、C、。均在正方形网格

格点上.图中N8+NQ=45°.

【解答】解：如图，在△力BC和△。4E中,

AC=DE

Z.ACB=乙DEA,

BC=AE

:•△ABgLDAE(SAS),

[NB=/DAE,

•；NDCE=ND4E+/ADC=45°,

AZ5IZJDC=45°,

故答案为：45.

12.（2025•浦东新区校级三模）如图，点。是菱形力8c。的对称中心，连接。1、OB,OA=4,OB

=6,石尸为过点。的一条直线，点上、产分别在BC上,则图中阴影部分的面积为12.

【解答】解：连接OC、OD,

•・•点O是菱形ABCD的对称中心，

:・AC工BD,。是4c与8。的交点,

.•・。0=力。=4,DO=BO=6,

，力。=8,BD=\2,

，：EF为过点O的一条直线，

:.四边形ABFE的面积=四边形CDEF的面积=:菱形ABCD的面积，

•・•菱形力4co的面积=2x40X80=48,

，四边形ABFE的面积=/x48=24,

•・•阴影部分的面积=四边形ABFE的面积-S^BO,SMBO=IXAOXBO=\2,

・•・阴影部分的面积=24・12=12,

故答案为：12.

13.（2025•汇川区二模）如图，Rt△力8c中，AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之

和为24

c

【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的,

VJC=6,BC=8,

：.AB=7AR+8c2=1（）,

由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△力AC直角边重合，

・•・内部四个小直角三角形的周长等于直角△/AC的周长，

，内部四个小直角三角形的周长为：AB+AC+BC=10+6+8=24.

故答案为：24.

14.（2025•齐齐哈尔四模）如图，在三角形48C中，以点力为圆心画弧，交线段BC于点£和点八

分别以点£尸为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M,宜线4W交线段BC于点、。.若

1V73

cosC=AB=5,AC=3,则在）的长为_力一_.

【解答】解：由题意得：ADLBC,

/.ZADC=ZADB=90°,

在Rta/CO中，cosC=*,AC=3,

/.C£)=JC*cosC=3x*=1.5,

_o

：.AD=>JAC2-CD2=掾百，

在Rtz^/8。中，AB=5,

:・BD=yjAB2-AD2=苧，

故答案为：—.

15.（2025•孝义市三模）如图，在四边形/18C。中，AB=BC,AC1CD,8D平分4QC,AC与BD

相交于点七，若。=3,AC=4,则线段4E的长为_字_.

【解答】解：作£L_L“1于点L则/4£=90°，

*：AC±CD,8=3,/C=4,

：・NACD=90°,

：,DA=VCD24-AC2=V32+42=5,

•••8。平分N/4OC,彳C与3。相交于点E,且ECJ_OC,ELIDA,

:・EC=EL,ZADC=2ZCDE,

.../,、s_EL_CD_3

•sinNGW="而=w

：.EC=EL=^AE,

3

：,AE+^AE=4,

J

解得AE=I，

353

A£C=1x^=^,

作4〃_L£M于点H,8/LLZ)C交。C的延长线于点R则乙”〃?=/"=9()°,BH=BF,

在RtAABH和RtACBF中，

(AB=CB

iBH=BF'

：.Rt^ABH^Rl^CBF(HL),

・•・/BAH=ZBCF,

•；NBCD+NBCF=180°,

；・NBCD+NB4H=180°,

AZADC+ZABC=360°-(ZBCD+ZBAH)=180°,

・•・2NCQE+N44C=180"

•:AB=BC,

；・ABAE=/BCE,

.•.2Z£?/i£+ZJZ?C=180°,

:.2ZBAE+NABC=2ZCDE+NABC,

:,NBAE=/CDE,

・•・^ABE=NAED-NBAE=NAED-/CDE=NECO=90°,

BEFCnI

=tanZ5/l£，=tanZCDE=赤=多=2，

:・AB=2BE,

•：AE="〃2+BE?=J(28E)2+BE2=爬BE=1,

・•・"£=亨，

故答案为：T.

16.（2025•济宁校级二模）如图，〃个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Mi，“2，

M3,…M”为边BTB2,B2B3,B3B4,…，&即H的中点,Zk61clm的面积为S],2M2的面积

.*.Si=/xB£xB〔Mi=^-x1xj=i,

1133

=X=XX=

^△BiC]Af22Bi'ix^1^22^241

SABIG%=/x81clx81M3=/xlx5=W，

1177

=2xBiQx81M4=1X1X'=4,

x

=2xBrMn=2x1x―—=——，

由平行线性质可得△8〃G1M?sZ\8iCiM〃，

22?

-S^BnCnMn-S9]C]M"=(f^)=(号T)2=(2T^T)

Hnr2n-l_1

即又：丁-二矿铲

•F=4(2n-l)f

=

；・当〃=10时，S10=4(2^10^1)

故答案为：士.

76

三.解答题(共8小题)

17.(2025•永寿县校级模拟)如图，在。和△QEC中，NB=NE,ZBCE=ZDCA,/1B=DE.求

证：BC=EC.

【解答】证明：♦：NBCE=NDCA,

ZBCE+ZACE=ZDCA+ZACE,

:・/ACB=NDCE,

在△/BC和△O£C中，

^ACB=Z.DCE

乙B=Z-E,

AB=DE

:.△ABgADEC(AAS),

:・BC=EC.

18.(2025•鹿城区校级一模)如图，在等边△力8C中，点。、E分别是边BC、4C上的点，AD与BE

交于点产，CD=4,NBEA=NBAD+NC.

(1)求证：BD=CE；

(2)求88•即的值.

八

【解答】(1)证明：•・•△IBC为等边三角形，

:・AB=BC,ZABC=ZC=60a,

■:ZBEA=ZBAD+ZC=NCBE+NC,

:・NBAD=NCBE,

在和△8CE中，

Z-BAD=乙CBE

AB=BC,

Z.ABD=Z.C

:(4%).

：.BD=CE；

(2)解：•••△力4。为等边三角形，

：.AC=BC,

由(1)知，BD=CE,

：.AE=CD=4,

'：2BA"4CBE,

:.AAFE=ZABF+ZBAD=/ABF+/CBE=/ABC,

/.ZAFE=60°=/BAE,

又：ZAEB=ZAEF,

:.△ABESAFAE,

*BEAE

••~~，

AEEF

:.BE・EF=AE?,

:・BE・EF=\6.

19.(2025•从江县校级二模)如图，在△NBC中，N4C8=90°,CA=CB,点P是线段BC上的一

个动点，过点8作8O_L4尸交XP的延长线于点。，射线8。交直线力C于点E,连接CD.

(1)若点P不与端点8,C重合，求证：/CBE=/CAP；

(2)求证：DA=DB+V2DC；

(3)若点尸在线段AC的延长线上时，用等式表示线段D/1,DB,QC之间的数量关系并说明理

由.

【解答】（1）证明：・・・8D_L4H

，408=90°,

VZACB=90°,

JZACB=ZADB,

•・•/APC=NBPD,

工NCBE=NC4P；

（2）证明：如图I,

图1

作。尸_1。力交力。于巴

,NDCP=90°,

VZACB=90°,

・•・ZACB=ZDCP,

；・ZACB-/PCF=ZDCP-4PCF,

・•・NACF=NPCD,

由（1）知NC4E=NC/4P,

又,：AC=BC,

:.△AFC4ABDC（ASA）,

:,CF=CD,AF=BD

：,DF=丘DC,

：,AD=AF+DF=DB+企。C；

(3)解：DB=DA+V2DC.如图2,

图2

作CF1.CD交B。于F,

同理(2)得，

ZACD=ZBCF,ZDAC=ZBCE,

•:AC=BC,

：.AACD^AACF(ASA),

:,CD=CF,DA=FB

:.DF=五DC,

:.DB=FB+DF=DA+aDC.

20.(2025•黑龙江一模)在△48。中，AB=AC,。是8C上一点，AE=AD,/DAE=NB4C,连接

CE,DE.

(1)当N84C=90°时，如图①，线段CD,OE之间的数量关系是BD2+CD2=DE2；

(2)当N8/C=60°时，如图②，当N8力。=120°时，如图③，分别写出线段8。，CD,DE

之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明.

在△A4C中，AB=AC,N84C=90°,

•••△/BC是等腰直角三角形,

；・NB=/ACB=45°,

•：/DAE=NBAC,

；・ZBAD+ZDAC=NDAC+NCAE,

:・/BAD=NCAE,

在△4和△OE中，

AB=AC

乙BAD=NCAE，

AD=AE

:•△BADqACAE(SAS),

.\Z5=ZJCE=45°,BD=CE,

A^DCE=ZACB+ZACE=90a,

在RlZkOCE中，由勾股定理得：CE2+CD2=DE2,

:.BD2+CD2=DE2；

(2)在图2中，线段40,CD,DE的数量关系是：BD2-CD2+BD*CD=DE2,证明如下:

过点E作EHJ.BC交BC的延长线于点〃，如图②所示：

图②

在△/4C中，AB=AC,N8/1C=60°,

•••△/4C是等边三角形，

：・/B=N4CB=60°,

同(1)可证明：AB/ID匕ACAE,

：.ZB=ZACE=60°,BD=CE,

AZDCE=ZACB+ZACE=\20°,

AZ£C//=180°-NDCE=60°,

■:EHIBC

・••在RlZXEC”中，NCEH=9G0-Z£CH=30°,

:.CH=*E=3BD,

・•・DH=CD+CH=CD+jBD,

由勾股定理得：EH=y/CE2-CH2=^BD2-(^BD)2=^-BD,

在RL^QC”中，由勾股定理得：DH2+EH2=DE2,

/.(CD+15D)2+(苧喇2=DE2,

整理得：BD2+CD2+BD^CD=DE2；

在图3中，线段。，CD,的数量关系是：DD2ICD2BD・CD=DE?,证明如下:

过点E作£〃_LBC于点儿如图③所示：

图③

在△力4。中，AB=AC.N8/1C=12()°,

：,ZB=ZACB=^(80°-ZBAC)=30°,

同(1)可证明：ABADgACAE,

：,ZB=ZACE=3()°,BD=CE,

:./DCE=NACB+/ACE=60°,

•:EHIBC,

・••在RtAECH中./CEH=9。。-ZDC/?=30°.

；・CH=#E=3BD,

：.DH=CD-CH=CD-知，

由勾股定理得：EII=VCE2-CH2=加2_（加）2=*D,

在Rt△。£〃中，由勾股定理得：DH2+EH2=DE2,

:.（CD-^BDY+（孚80）2=DE"

整理得：BD2+CD2-BD*CD=DE1.

21.（2025•江汉区模拟）已知等边三角形A8C中，D,E分别是在边4C,48上，且8=〃力£

AD3

（1）如图1,若〃=1,—=-，CE,BD交于点F.

AC5

①求证：AABD/4BCE；

rp

②求右的值：

br

DE1

（2）如图2,若〃=2,直接写出二7的最小值.

A.A

【解答】(1)①证明：•••△/出。是等边三角形，

；・4B=BC,N4=N/JBC=N4CB=60°,

•・・〃=1,且CO=/HE,

:・CD=AE,

•:AD=AC-CD,BE=AB-AE,

:.AD=RR.

•:在AABD和△8CE中，

AB=BC

AD=BE，

Z.A=乙ABC

:•△ABD安ABCE(SAS)；

②解：过点C作CG〃/18交8。的延长线于点G.

,:CG〃AB,

:・/G=NABD,ZGCD=ZA=60°；

'：△ABDW44BCE,

：.NABD=NBCE,

：,/G=NBCE；

AD3

'：—=设力。=3X，则AC=5x,

AC5

：.CD=2x,AE=2x,BE=3x；

，：CG〃AB,

:•△CDGsRADB,

•_C_G_C_D_C_G_2_x

'*ABAD,5X3%'

解得CG=竽，

•：4G=4BCE,/GFC=4BFE,

:ACFGSABFE,yiij—=—,

BFBE

代入数据得

BF9

（2）解：过点。作。M〃8c交力8于点M；

：.CD=2AE,

设力E=x,则CC=2x,AC=AB=3x,AD=x,

♦：DM〃BC,△/8C是等边三角形，

・•・△40。是等边三角形，

AM=AD=x,DM=AD=x,BM=2x,

'：4MDE+NBDM=NBDM+NDBC=60°,

，/MDE=NDBC,

,:/DME=/BCD=60°,

MEDM

MDMESXBCD.则

BDBC

*：DM=x,BC=3x,

竺一

~BD~3

DE1

即二的最小值为不

DD3

22.(2025•永寿县校级模拟)诃题提出

(1)如图①，在等边△力中，AC=4,。为8c边上一点，则力。的最小值为_2g_；

问题探究

(2)如图②，在△/4C中，NB=60°,/1C=6,力。为△49C的中线，过点。作。£L力C于点

E,当。E取得最大值时，求△44。的面积；

问题解决

(3)宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城

市”.如图③，某开发商计划在废弃铁轨4。上改造一个三角形火车主题公园48C,为了满足群众

拍照打卡的需求，要求公园占地面枳尽可能的大，已知NB4C=120°,AD=100m,BD=3CD.问

是否存在符合要求的△/18C?若存在，请求出a/lA。面积的最大值；若不存在，请说明理由.

图①图②图③

【解答】解：(1)・.・。为4c边上一点，

・,•当时,♦。有最小值,

是等边三角形，4C=4,

:.BD-CD-2,

：.AD=yJAB2-BD2=2V3；

故答案为：2百；

(2)如图，过点8作BFA.AC于点凡

图②

'：DEVAC,

:・BF〃DE,

•:AD是AABC的中线,

是5c的中点，

；・QE是ABC尸的中位线,

:・DE=%F,

・••当8/取得最大值时，OE取得最大值，

作△/AC的外接圆。。，连接OB,过点O作OG1AC于点G,

则0B+0G2BF,

:•当B,O,G三点共线，即点G与点尸重合时，BF取得最大值,

此时。£取得最大值，

•・•尸为XC的中点,BF±AC,

：.AB=BC,

*：ZABC=60°,

MABC为等边三角形，

：.BC=AC=6,

・"△48C=1x6x6sin60°=9遮；

（3）存在，如图，过点8作8”〃力C交的延长线于点”,

图③

则△/IOCS^HOB,

PHBD

NDCA=NDBH,

37-CD

ZBAC=\20°,

AZABC+ZACB=60°,

:.NABH=NDBHN/1BD=ZDCA+ZABD=60°,

<BD=3CD,40=10()〃?，

，QH=3D4=300m,

：.AH=400m,

作△力8〃的外接圆0(7,连接ON,OB,OH过点O'作。'/"L月〃于点/,过点8作即_L<〃于

点J，

1

则4/=4/=/力"=200〃?，

VZABH=60°,N4O'H=12(r,

•・"A=O'H,

AAAHO'=^HAO'=W,

九D,八rhc，〃HI400西c，,1八,〃200、，？

任RtZ\"/O中，OH=-------------=—5—m,Ol=^OH=——m,

cosz.lHO'3253

：OB=。力=竺磬，〃，

'：O'B+O'彦8J,

・••当6,。，/三点共线，即点/与点，重合时，取得最大值，

400百200V3

—+——>BJ,

即8/<200V3,

・•・84的最大值为200汽加，

•:BD=3CD,

:.S4ABC=S^ABD+S&ACD=^^ABD+>△人如

・•・当氏7取最大值时，最大，

此时枭（2）

S&4BC=J=1Jx|乙xiooxO200V3=4吗°、,"m,

・•・存在符合要求的△/8C,4ABe面积的最大值为竺竿§皿2.

•3

23.（2025•前进区校级二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识

相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图I,

△48C和△OMN均为等腰直角三角形，/BAC=NMDN=90°,点、D为BC中点△DWV绕点

D旋转,连接力M、CN.在△"的旋转过程中，易证4“=CN（不需要证明）.

M

A

AA

图1图2图3N

（1）当点M、N在△48。内且C、M、N三点共线时，如图2,线段4W、CM、DW之间有怎样

的数量关系？写出你的猜想，并给予证明：

（2）当点A/、N在△//。外且C、M、N三点共线时，如图3,猜想4"、CM、DM之间的数量

关系，直接写出结论，不需要证明.

【解答】解：（1）CM-AM=y/2DM,

证明如下：如图所示，连接力。，

：.ZB=ZACB=45°,

•・•点。为8C中点，

C-ADVBC.

・•・ZACD=ZDAC=49,

:.AD=CD,

•••△OWN为等腰直角三角形，NMDN=90：

:・DM=DN,NMDA+NADN=NADN+NNDC=90°,

1/MDA=/NDC,

在△4WO和△6。中，

(AD=CD

Z.MDA=乙NDC,

DM=DN

:.△AMg^CND(SAS),

:.NMAD=/NCD,AM=CN,

：.CM=CN+MN=AM+MN,

:・CM-AM=CM-CN=MN,

•••△OMN是等腰直角三角形，即力M=ON,

：.MN2=DM21DN2=2DM2，

：.MN=V2DM=&DN,

：.CM-AM=y/2DM,

(2)AM+CM=V2DM；

根据(1)中的证明可知，AD=CD,/ADM+/MDC=/MDC+/CDN=90°,

・•・ZADM=/CDN,

在△/£)〃和△CZW中，

AD=CD

Z-ADM=乙CDN,

DM=DN

:,△ADM/ACDN(SAS),

：.AM=CN,

/.CN+CM=AM+CM=MN,

•••△DWN是等腰直角三角形，即QM=QM

，MN2=DM^DN2=2DM1,

:.MN=>/2DM=&QN,

：.AM+CN=y[2DM.

24.(2025•朝阳区校级三模)【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰

直角△48C中，ZBAC=9Q°,AB=AC=4.。、E分别是边48、力。上的两个动点，AD=CE.连

结8£、CD,试探究8E+CD的最小值.

【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转叱为单动点问题，利用8、£、F三点线,

将上述问题解决.

【问题解决】如图②，过。点作。尸〃且。尸=4C,连结石户；在【问题呈现】的条件下，完

成下列问题：

(1)证明：△ACD/4CFE.

(2)8E+CQ的最小值