实践与探索 一元一次方程的应用（习题）解析版-华东师大版七年级数学下册

专题6.4实践与探索

4.能检验方程解的合理性，确保符合实际意义。

5.能解决和差倍分、行程、工程等常见题型，培养分析和解决问题的能力。

重点

（1）二元一次方程组应用的基本步骤。

（2）常见实际问题的等量关系提炼。

（3）直接设元与间接设元的灵活运用。

教学重难点（4）方程解的双重检验（方程成立+实际意义）。

难点

（1）复杂问题中隐藏等量关系的挖掘（如分段收费、图表信息题）。

（2）间接设元的合理选择与运用。

（3）方案决策类问题的多解分析与最优方案筛选。

（4）几何图形与实际问题结合的建模过程。

知识清单

知识点01：二元一次方程组应用的基本步骤

I.审题：梳理题目中的已知量、未知量，明确核心数量关系。

2.设元：根据题意设直接未知数或间接未知数（含单位）。

3.列方程组：根据等量关系列出两个独立的二元一次方程,组成方程组。

4.求解：用代入法或加减法解方程组，得到数学解。

5.检验：验证解是否满足方程组，且符合实际意义（如人数、长度为正）。

6.作答：规范写出答案，注明单位。

【即学即练】

1.（25-26七年级下•全国•课后作业）某商场销售品牌羽毛球和篮球，其中羽毛球进价为20元/筒，售价为

30元/筒；篮球进价为50元/个，售价为80元/个.现商场用13000元购进羽毛球和篮球并全部售出，羽毛

球和篮球的总利润为7500元，求该商场购进羽毛球和篮球的数量.

【答案】该商场购进羽毛球150筒，篮球200个.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握根据进价和利润的等量关系建立方程组的方法是解题的

关键.

设购进羽毛球和篮球的数量为未知数，根据总进价和总利润的条件分别列出方程，组成二元一次方程组，

通过解方程组得到两种商品的购进数量.

【详解】解：设购进羽毛球x简，篮球），个，

相拄照音/20x+5Qy=13000,

根话达总（30-20）/（80-50）尸7500,

解得尸15（）,

肿付（y=200.

答：该商场购进羽毛球150筒，篮球200个.

知识点（）2：常见实际问题的核心等量关系

1.和差倍分问题：总量h部分量之和，差量;较大量-较小量,倍数量;基础量X倍数。

2.行程问题：路程二速度x时间:相遇问题：路程和二总距离;追及问题：路程差二初始距离；航行问题：顺

流速度;静水速度+水流速1度，逆流速度;静水速度-水流速度。

3.工程问题：工作量=工作效率x工作时间;总工作量=各部分工作量之和（通常设总工作量为I）。

4.销售利润问题：利润=售价-进价：利润率=（禾U润?进价）xlOG%：总利润=单件利润x销量,

5.配套问题：配套部件数量比二产品配套比例（如1个部件A配2个部件B,则A的数量x2=B的数量）。

6.几何问题：利用图形的边长、面积、体积公式，结合题意建立等量关系（如长方形周长=2x（长+宽））。

【即学即练】

1.（2026七年级下•全国・专题练习）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时,

用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人：用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人.

（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？

（2）若学校计划租用小客车〃?辆，大客车〃辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满.请你设计出所

有的租车方案.

【答案】（1）65名

（2）见解析

【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解；

（2）由题意列出关于加、〃的二元一次方程，然后根据〃?、〃都是非负整数可以得到解答.

【详解】（I）解：设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐j名学生，

根据题意，得直；「器解得（胃则“20+45=65.

答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生.

（2）解：由题意，得206+45〃=400,所以

m,〃为非负整数,

«=20或《=11或一=2

In=0制刀=4一巴〃=8

•••租车方案有三种：

方案一：租用小客车20辆；

方案二：租用小客车11辆，大客车4辆；

方案三：租用小客车2辆，大客车8辆.

【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键.

知识点（）3：设未知数的技巧

1.更接设元：问什么设什么（适H；于未知量直接关联的简单问题）。

2.间接设元：当直接设元列方程也难时，设史画量为未知数（如数字问题设数位上的数字）。

3.注意事项：设元时需注明单位，多个未知数需明确区分（如设甲的速度为xT・米/时，乙的速度为y千米/

时）。

【即学即练】

1.（25-26八年级上.陕西渭南.期天）某文具店为满足学生需求i一划购进一批修正带和笔袋.已知购进3个

修正带和2个笔袋共需44元；购进2个修正带和1个笔袋共需26元.

（1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？

（2）若该文具店准备用200元购进一批修正带和笔袋（两种文具都有），且将200元用完，求该文具店共有几

种进货方案？

【答案】（1）修正带的进价是8元/个，笔袋的进价是10元/个

（2）该文具店共有4种进货方案

【分析】本题考查二元一次方程（组）解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关

键.

（1）设修正带的进价是x元/个，笔袋的进价是y元/个，根据等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案；

（2）设该文具店购进。个修正带，b个笔袋,由等量关系列二元一次方程，结合。、8均为正整数，讨论求解

即可得到答案.

【详解】（I）解：设修正带的进价是x元/个，笔袋的进价是y元/个，

根据题意得前北，

解得露；

答：修正带的进价是8元/个，笔袋的进价是10元/个；

（2）解：设该文具店购进。个修正带，6个笔袋，

由题意得8a+10Z）=200,

整理得4a+54100,

贝肪=用=2。］。，

匚〃、6均为正整数，

或1一10或印一15或量一20

门该文具店共有4种进货方案.

题型精讲

题型01和差倍分问题

方法技巧：抓住“和、差、倍、分”关键词（如“比...多”“是…的几倍”），直接建立未知量与已知量的数量关

系，列出方程组。

【典例1】・（25-26八年级上・甘肃白银•期末）某停车场共设小型车位和SUP车位300个，其中小型车位每

小时2元，SU阵位每小时3元，若全部满位I小时，总收费70（）元，则停车场共设小型车位和SU柞位各

多少个？

【答案】小型车位200个，SU■位100个

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键.

设小型车位有x个，SU咋位有），个，根据共设小型车位和SU咋位300个、全部满位I小时，总收费700

元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可.

【详解】解：设小型车位有x个，SUH车位有y个，由题意，得

（x+尸300

（2x4-3^=700'

解得］-200

如付卜=100.

所以小型车位有200个，SU年位有100个.

【变式1】.（25-26八年级上•广东河源・月考）某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳

绳共需70元，购买I个足球和2根跳绳共需40元.求足球和跳绳的单价.

【答案】足球的单价为20元，跳绳的单价为10元.

【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确列出方程是解题的关键.

设足球的单价为d元，跳绳的单价为/元，则［笠匕?，再解方程组即可.

【详解】设足球的单价为d元，跳绳的单价为，元.

根据题意，得方程组｛半器，，

由第二方程得4=40-2/.

代入第一方程，得2（402）+3X70,

即80-4/+3片70,所以80-片70,解得z=10.

将片10代入d=40-2/,得4=40-20=20,

因此，足球的单价为20元，跳绳的单价为10元.

【变式2】,（25-26八年级上•陕西咸阳•月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了46两

种食品作为午餐.已知•包A食品含700kJ热量和10g蛋白质，一包5食品含900kJ热量和15g蛋白质，若要从

这两种食品中恰好摄入46（）0kJ热品和7（）g蛋白质，应选用A,8两种食品各多少包？

【答案】应选用A种食品4包，E种食品2包

【分析】本题考查了二元•次方程组的应用.设选用A种食品x包，8种食品），包，根据题意列二元•次方

程组计算即可.

【详解】解：设选用A种食品x包，8种食品），包，根据题意，得：

1700x+900>=4600

（10.v+15^=70'

解得仁.

答：应选用A种食品4包，B种食品2包.

【变式3】,（25-26九年级上•陕西咸阳・月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物

质文化遗产之一.在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特

定关系，从而演奏出美妙的乐曲.

（1）若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？

（用二元一次方程组的知识解答）

（2）为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A,8两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个

40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购

方案？

【答案】（1）大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹

（2）有两种采购方案，方案一：力配件3个，4配件卜个：方案二：4配件I个，区配件2个

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键.

（1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为），赫兹，根据题意列出方程组即可求解•：

（2）设A配件要买〃?个，8配件要买〃个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解；

【详解】（1）解：设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，

根据题意得1，

&+尸150

解得简），

答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹；

（2）解：设力配件要买加个，8配件要买〃个.

根据题意得：20加+40〃=100,

整理得：〃1+2〃=5,即ni=5-2n,

因为也和〃都为正整数，

所以符合条件的解为｛露或匕圈，

答：有两种采购方案，方案一：力配件3个，8配件1个：方案二：4配件1个，8配件2个.

题型02数字问题

方法技巧：两位数表示为l（）a+b（a为十位数字，b为个位数字），三位数表示为l（）0a+l（）b+c,根据数位关系

或教字变换规律列方程。

【典例2].（25-26七年级下•全国•课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写

了一个0,得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的和为341,原来两个加数中较

小的加数是.

【答案】21

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个0等价于该数乘以10的数量关系，从而建

立方程组是解题的关键.

设两个加数分别为x和/根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数.

【详解】解：设原来两个加数分别为x和y.

根据题意，得方程组

解方程组，将第一式乘以10,得IOOrHOy=242(),

减去第二式，得99—2079,解得h21.

代入第一式，得10x21+尸242,

即210+尸242,解得尸32.

・,・方程组的解为仁;

故原来两个加数分别为21和32,较小的加数是21.

故答案为：21.

【变式1].(24-25七年级下•全国.课后作业)一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大

2.若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9.求这个两位数.

【答案】这个两位数是67

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数.

设这个两位数十位上的数字为x,个位上的数字为户分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即

可.

【详解】解：设这个两位数十位上的数字为、，个位上的数字为)，.

根据题意，得匕*麟;：

解得得：

故这个两位数是67.

【变式2].(25-26七年级上•重庆•期中)在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关.

定义：对于四位自然数〃，若其千位数字与个位数字之和等于7,百位数字与十位数字之和也等于7,则称

这个四位自然数〃为“七巧数

例如：3254是“七巧数”，因为3+4=7,2+5=7,所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”,因为1+6=7但4+5,7,

所以1456不是“七巧数”.

(1)最大的“七巧数”是,最小的“七巧数”是；

(2)若将一个“七巧数”〃的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧

数"‘，并记求证：无沦〃取何值，/〃。为定值，并求出这个值；

(3)若“是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出

满足条件的所有“七巧数”〃，.

【答案】(1)7700,1076

(2)证明见详解，7777

(3)5612,6341,7070

【分析】本题考查了二元一次方程的应用、整式加减运算、新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到

等量关系.

(1)根据"七巧数''的定义直接求解即可得到答案；

(2)设〃的个位数字为x,十位数字为y,则百位数字为(7少)，千位数字(7-x),依此可求〃和〃进一步可求〃+〃'；

(3)设〃?的千位数字为d百位数字为爪则十位数字为(71),个位数字为(7-a),根据”的百位数字加上个

位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，依此可得3o+b=21,再根据整数的定义进行讨论即可求

解.

【详解】(1)解：设“七巧数"x=1000e+10Q/HO”h,

由定义可知，e+li-7/+g-7,

□当e=7户7时，有最大的“七巧数”，为7700；由于首位不能为0,则当e=l,h=6尸0炉7时，有最小的“七巧数”，

为1076,

故答案为：7700,1076；

(2)证明：设〃的个位数字为x,十位数字为歹，则百位数字为(7-刃，千位数字(7-x),

由题意得，n=1000a-x^100O-yyr1OjH-x,n=1OOO,v+100y+10(7-j)+(7-x),

匚尸(〃)=〃+〃'

=1000(7-x)+100(7->-)+1QF+X+1000x+l00y+l0(7->')+(7-x)

=7777,

无论〃取何值，为定值，为7777；

(3)解：设”的千位数字为①百位数字为4则十位数字为(71),个位数字为(7-a),

由题意得，b+(l-a)=2[a-Cl-b)],

即3。+方=21,

贝(1。=羊，

□l<a<7,且a,b为整数，

□21-6=3或21-6=6或21-6=9或21-b=12或21g5或21g8或214=21,

[：0<Z)<7,且a,6为整数，

.••当21-6=21时，则/>=0,〃=7,即雨=7070；

当21-6=18时，则/>=3,a=6,即冽=6341；

当21-6=15时，则Q6,a=5,即加=5612：

当21-A12或21-39或21/=6或21-33时，贝必>7,不符合0涉37要求，舍去；

综上所述，满足条件的所有“七巧数”相有三个,为：5612,6341,7070.

【变式3】.(25-26八年级上•四川成都・月考)小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段

时间看到的里程碑上的数如下：

时刻12:0013:0014:00

是一个两位数，十位与个比12:00时看到的

是一个两位数，数字

碑上的数位数字与12:00时所看到两位数中间多了

之和是7

的正好颠倒了个0

则12:00时看到的两位数是多少?

【答案】

12:00时看到的两位数是16

【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键.设小明12

时看到的两位数，十位数为x，个位数为歹，根据两位数之和为7名列一个方程，再根据匀速行驶，12:0073:00

时行驶的里程数等于14:00〜I400时行驶的里程数列出第一•个方程，解方程组即可.

【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为x,个位数为y,即为10中；

则13时看到的两位数为x+10y,12:00〜13:00时行驶的里程数为：(10y+x)-(10x+y)；

则14:00时看到的数为100x+y,13:0074:00时行驶的里程数为：(100x+y)-(10下包

由题意列方程组得：

(x+尸7

(100x+y-(lOy+x)=IOjH-x-(lOx+y)'

卜露

12:00时看到的两位数是16.

题型03年龄问题

方法技巧：年龄差始终不变，设现在年龄为未知数，根据“过去，味来年龄关系''表示出对应年龄，利用年龄

差或题目条件列方程。

【典例3].(25-26七年级下•全国•课后作业)小明和小亮比年於.小明说：“再过4年，我就和你现在一

样大.”小亮说：“再过4年，我的年龈就是你现在年龄的2倍.”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年

龄.

【答案】小明现在8岁,小亮现在12岁

【分析1本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键.

设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄)，岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答.

【详解】解：设小明现在的年龄X岁，小亮现在的年龄y岁，

根据题意，得｛点

解得｛二[

答：小明现在8岁，小亮现在12岁.

【变式1】.(2025七年级上.全国.专题练习)在我国传统文化中,“喜寿”“米寿”"白寿''分别是77岁，88岁，

99岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的;时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的！时又为奶奶贺米寿.小

花多少岁时将为奶奶贺白寿？

【答案】小花33岁时将为奶奶贺白寿

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，奶

奶的年龄为77岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组.

【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，

根据题意，列出表格如下：

奶奶的年龄/岁小花的年龄/岁妈妈的年龄/岁相等关系

1

77Xy

x+88-77=：6升88-77)

88x+88-77v+88-77

根据表格得到方程组＜.3,

[x+88-77=1(y+88-77)

解喉;.

当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为11+(99-77)=33.

故小花33岁时将为奶奶贺白寿.

【变式2】・(25-26七年级上•福建福州•期中)若一个两位数的十位、个位上的数字分别为。、儿记这个两

位数为茄，则茄=10〃+4例如方=10x2+3.

(1)乃7这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被II整除;

(2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年

龄”.聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经

过〃?年后(父亲年龄仍是两位数；会再次出现颠倒.求出满足上述条件的正数"1的值.

【答案】(1)见解析

(2)11、22、33、44、55

【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键.

(1)由题意可知,ab=\0a+b,ba=\0b+a,进而得出ba+aZ尸11(。+6),即可得证;

(2)设小明的年龄为巧=10x+y,则他父亲的年龄为何=10)注x,根据“颠倒的年龄”得出产『3,即可得解.

【详解】(1)证明：由题意可知，ab=\0a+btba=\0b+a,

则力加10b+a+10a+b=Iltz+11/)=11(a+b'),

所以所得数与原数的和一定能被II整除；

(2)解：设小明的年龄为取=10x+»则他父亲的年龄为m=10y+x,

口当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过加年后(父亲年龄仍是两位数)会再次出现颠倒，

［再次出现颠倒时14+〃?=l(k+y,4I+W=10V*+A-,

□('0>H-,v)-(l0x+).)=(41+〃?)-(14+M,

□9(y-x)=27,

解得:y-x=3,

当尸4时,x=\t此时TW=0；

当)=5时，X=2,此时7M=11；

当产6时，x=3,此时〃z=22：

当尸7时，x=4,此时m=33；

当产8时，x=5,止匕时w=44；

当)=9时，x=6,止匕时〃?=55；

综上可知，正整数m的值为H、22、33、44、55.

【变式3】.(24-25七年级下•湖南张家界•期末)小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路.假设他

始终保持上坡路每分钟走40m,平路每分钟走60m,下坡路每分钟走80m,则他从家里到学校需15min,从学

校到家里需lOmin.试问：小华家离学校多远？

【答案】小华家离学校700m

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长xm,平路长j，m,根据时间=路程+速

度结合小华从家里到学校需15min,从学校到家里需lOmin,列二元一次方程组求解即可.

【详解】解：设小华家到学校的上坡路长xm,平路长ym,

XX

-+5

=1

60=1

根据等量关系，得:40丫

.V-+一O

6080

>=400

解得

产300'

于是，上坡路与平路的长度之和为x+y=400+300=700(m),

答：小华家离学校700m.

题型04行程问题

方法技巧：

核心公式路程=速度X时间；相向相遇：

路程和二总距离；

同向追及：路程差二初始距离（环形跑道需乘圉数）：

顺逆（风/水）：顺速=静速+辅助速度，逆速二静速-辅助速度:

火车过桥：总路程=车长+桥长；

分段/往返：总路程=各段路程和，总时间=各段时间和。

【典例4].（25-26八年级上•山东青岛・周测）一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒,

而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？

【答案】火车的速度为8米/秒，长度为80米

【分析】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组解答.

设这列火车的速度和长度分别为x米/秒和y米，根据题意列出方程组解答即可.

【详解】解：设这列火车的速度和长度分别为工米/秒和y米,

160+尸30工

可得:

200+产35x

解得：国），

答：火车的速度为8米/秒，长度为80米.

【变式1】,（25-26八年级上.陕西咸阳・月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为

山路.小刚骑自行车从甲地出发，以8km/h的速度通过平路，再以4km/h的速度通过山路到达乙地,共用了1.5h,

求平路和山路的长各为多少千米.

【答案】平路的长为6km,山路的长为3km

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.

设平路的长为xkm,山路的长为ykm,根据题意列二元一次方程组求解即可.

【详解】解：设平路的长为xkm,山路的长为ykm.

由题意'得"2.5

18

x=6

解得

产3'

答：平路的长为6km,山路的长为3km.

【变式2】,（24-25七年级下.甘肃武威・月考）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小

时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度.

【答案】船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设船在静水中的航速为每小时x千米，水流速度为每小时y千

米，根据路程等于速度乘以时间，列出方程组进行求解即可.

【详解】解：设船在静水中的航速为每小时x千米，水流速度为每小时y千米，由题意，得：

雷飞蓝，解得忆次；

i4（x-v）=60（y=2.5

答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时.

【变式3】.（25-26八年级上•全国•课后作业）新情境高铁是当代重要的交通工具.如图，某列复兴号动

车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等.李华在观测点进行测量记录，

该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通

过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？

弋x.什闱…

【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，利用该动车

组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测

点需9秒，再进一步建立方程组解题即可.

【详解】解：设每节车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，

根据题意，得图器葭9，

解峭;.

答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米.

题型05工程问题

方法技巧：设工作效率为未知数，总工作量设为1（或具体数值），合作效率:各单独效率之和，根据“工作

量;效率x时间”列方程。

【典例5】,（2026七年级下•全国・专题练习）某工程队承包了两项工程.第一项工程甲组做了10天、乙组

做了8天完成，共获报酬12800元;第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元.甲、

乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？

【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，”对应总报酬”，梳理出两个等

量关系是解题关键.

设甲组每天得报酬x元，乙组每天得报酬），元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二

元一次方程组求解.

【详解】解：设甲组每天得报酬x元，乙组每天得报酬y元.

根据题意，嘴之黑

解喉器

答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元.

【变式1].（25-26七年级上.湖南岳阳・月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可

提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成.设原计划工天完成，这批废铜共前吨.

(1)根据题意列出方程组；

(2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数.

【答案】(1嚅空?

U20(x+3)=y

⑵原计划42天完成，废铜总数为5400吨

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、列出方程组是解题的关键.

(1)根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组

即可；

(2)直接利用加减消元法求解即可.

【详解】(1)解：设原计划工天完成，这批废铜共有y吨,

由每天处理150吨，可提前6天完成，则15006)=)，；每天处理120吨，将延误3天完成，则120。+3)=小

所以]150(x-6)可

120(x+3)=y

150(x-6)=^

(2)解:

120(x+3)=y

-口可得：150(x-6)-120(x+3)=0,解得：x=42,

将12代入①可得：y=15()(42-6>150x36=5400吨.

答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨.

【变式2].(25-26八年级上•四川成都・月考)修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可

以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费

用共3480元,问：

(1)甲、乙两队每天费用各为多少？

(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？

【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元

⑵乙队

【分析】本题考查了二元一次方程的应用.

(1)设甲队每天费用为〃元，乙队每天费用为人元，根据题意列方程组求解即可；

(2)设甲每天完成达乙每天完成)，，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可.

【详解】(1)解：设甲队每天费用为。元，乙队每天费用为〃元，由题意得：

[8。+泌=3520

I6o+12/)=3480'

解得忆覆,

答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；

(2)解：设甲每天完成x,乙每天完成户由题意得：

(8j+8y=I

(6x+12尸1'

'__1_

解得广.，

（尸五

即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成.

甲单独做需要12x300=3600元，

乙单独做需要24x140=3360元.

答：乙队单独完成费用较少.

【变式3】・（2026七年级下•全国•专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限

内完成.按原来的生产进度，每天生产这种工作服150套，在规定的期限内只能完成订货量的现在，工厂

改进了生产流程，每天可生产这种工作服200套.按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用I天，而且比

订货量多生产了25套.那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？

【答案】订货量是3375套，要求完成的期限是18天

【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据“原进度的工作量”和

“改进后进度的工作量”两个等量关系，设未知数并列方程组求解.

设订货量为“套，期限为y天，根据原生产情况可得方程150）二"，根据改进后生产情况可得方程

20061）=x+25,解方程组即可.

【详解】解：设订货量为x套，期限为y天.

由题意得］匕。尸产，

（200^-l）=x+25

解得｛瑞，

经检验，方程组的解符合题意，

答：订货量是3375套，要求完成的期限是18天.

题型06古代数学问题

方法技巧：翻译古文题意，将“牛五羊二值金十两”等表述转化为现代教学语言，提炼等量关系，设未知数列

方程组。

【典例6】・（25-26八年级上.辽宁沈阳.期末）列二元一次方程组解应用题：

《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”

译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；洛绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比

木条短1尺，间木条和绳子各长多少尺？”

【答案】绳子长16尺，木条长9尺

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.

用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：y-x=7,绳子对折后比木条短1尺，

得：.组成方程组求解即可.

【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，

"y-x="7

根据题意得:

解得:国.

答：绳子长16尺，木条长9尺.

【变式1】,（25-26七年级下•全国•课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水

壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，

可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6

小时，箭尺读数为42cm.若开始记录时是上午8:00,求当箭尺读数为84cm时的时间.

浮茹漏示意图

供水壶

霸表一|

接水壶_\）

【答案】当箭尺读数为84cm时的时间是21:00.

【分析】本题考查了二元•次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，

建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。

设箭尺每小时上升xcm,开始高度为ycm,根据供水2小时和供水6小时箭尺的高度列方程组求解即可.

【详解】解：设箭尺每小时上升xcm,开始高度为ycm,

根据题意,得信晨总

L1-口得；4%—24解得；x-6.

将.尸6代入①得：尸6.

故方程组的解为修:

设当箭尺读数为84cm时，时间为人

则6+6（卜8）=84,解得：片21.

故当箭尺读数为84cm时的时间是21:00.

【变式2].（24-25七年级下•辽宁大连・月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统

宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将

绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，

如果将绳子折成四等份，井外余绳3尺（1尺々33.33厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳2尺，问绳长、

井深各是多少尺？”

【答案】绳长20尺，井深2尺

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组.题中

的等曷关系有：口将绳子折成四等份，井外余绳3尺；口将绳子疔成五等份，井外余绳2尺，据此列方程组并

解方程组即可得解.

【详解】解：设绳长X尺，井深y尺，根据题意得:

沁汁3

，解得器；•

沁-2

答：绳长2（）尺，井深2尺.

【变式3].（25-26八年级上•福建三明・月考）今有五雀、六燕，集称之衡.雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交

而处，衡适平.并雀、燕重一斤.问；雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）

题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其

中I只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和I只燕分别重

多少？

【答案】1只雀重2斤，1只燕重9斤

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次

方程组，并求解这个方程组即可.

【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重），斤，

/，2

D产-

解得<

5x+6y=\I39

根据题意得:n卜

,4x土尸x+5y\一

38

即I只雀重，斤，1只燕重2斤.

题型07销售利润问题

方法技巧：利泗二售价-进价，总利润=（售价-进价）X销量，利润率二（利泗・进价）X1OO%,根据成本、售

价、利润的关系列方程。

【典例7].（25-26八年级上•广东深圳•期末）为推进校园智慧体育建设，某校计划采购4体育测训一体机

（4型机）和智能划船机（8型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采

购3台A型机和1台B型机，总费用为6.5万元.

⑴求每台A型机和每台8型机的价格分别是多少万元？

（2）学校计划用7万元采购A型机和8型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符

合条件的采购方案？并列出所有方案.

【答案】⑴每台A型机的价格为2万元，每台4型机的价格为0.5万元

（2）共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台4型机和6台斤型机;

方案3为采购3台A型机和2台8型机

【分析】本题主要考杳了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键.

（1）设每台人型机x万元，每台8型机的价格），万元，根据采购2台八型机和4台B型机，总技用为6万

元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为6.5万元，列出方程组，解方程组即可；

（2）设采购人型机,〃台，采购8型机〃台，根据A型机和8型机总费用为7万元，列出二元一次方程，求

出二元一次方程的正整数解，即可得出答案.

【详解】（1）解：设每台A型机I万元，每台4型机的价格），万元，根据题意得：

（2x+4y=6

（3工+尸6.5'

解得:K，

答：每台A型机的价格为2万元，每台8型机的价格为0.5万元；

（2）解:设采购A型机机台，采购4型机〃台，根据题意得：

2/〃+0.5〃=7,

••”]、〃为正整数，

.f/n=l（m=2（m=3

,•10'I〃=6，In=2'

答:共有3种采购方案:方案1为采购1台4型机和10台B型机;方案2为采购2台A型机和6台B型机；

方案3为采购3台A型机和2台B型机.

【变式1].（25-26八年级上•陕西咸阳・期末）某品牌新能源汽车店计划购进A,3两种型号的新能源汽车.已

知购进3辆4种型号的新能源汽车比购进I辆8种型号的新能源汽车多24万元;购进1辆力种型号和1辆8种

型号的新能源汽车共56万元.

⑴求A,4这两种型号的新能源汽车每辆的进价；

⑵该品牌新能源汽车店计划用560万元购进A,B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），该品

牌新能源汽车店有几种购进方案？请写出所有可行的方案.

【答案】（1）A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，3种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元

（2）共有3种购进方案：方案I为购进人种型号19辆和8种型号5辆；方案2为购进人种型号10辆和B种

型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）.

（1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，8种型号的新能源汽车每辆的进价为），万元，根据题

意列方程组，求解即可；

（2）设购进A种型号的新能源汽车〃?辆，购进8种型号的新能源汽车〃辆，根据题意列方程，求正整数

解，即可得可行方案.

【洋解】（1）解：设4种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，8种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元.根

据题意，得

（3x-y=24

卜十尸56'

解得。/

答：/种型号新能源汽车每辆的进价是20万元，8种型号新能源汽车每辆的进价为36万元；

（2）解：设购进4种型号的新能源汽车胴辆，购进8种型号的新能源汽车〃辆.

根据题意，得20〃?+36〃=560,

得，〃=28-，〃，

口厂9或产书或巴]

(〃=5Vn=105=15

:去有3种购进方案：

方案1购进力种型号19辆和8种型号5辆;

方案2购进力种型号10辆和B种型号10辆;

方案3购进4种型号1辆和8种型号15辆.

【变式2].(25-26八年级上.广东深圳.期末)2025年11月第十五届全国运动会在大湾区举行，大会吉祥

物“种纪念品”和"种纪念品”受到追捧，某纪念品商店用6000元购进两种纪念品，按标价售出后可获得毛

利润3800元，这两种纪念品的进价、标价如表所示:

人种纪念品8种纪念品

进价(元/件)60100

标价(元/件)KX)160

⑴“种纪念品”和“8种纪念品”各购进的件数；

⑵如果“A种纪念品”按标价的8折出售，“B种纪念品”按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，该

纪念品商店能获利多少元？

【答案】⑴"A种纪念品”购进50件,“B种纪念品”购进30件

(2)1360元

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用.

(1)设“种纪念品”和“〃种纪念品”各购进的件数为木件、，件，根据题意列方程组求解即可；

(2)根据题意的等量关系求解即可.

【详解】(1)解：设“种纪念品”和“8种纪念品”各购进的件数为x件、y件，

I商4,旦(60x+100)=600°

由题尽得，((100-60)x+(160-100>3800'

解得简,

答：“种纪念品”和"种纪念品”各购进的件数为50件、30件.

(2)解：由题意得，(100x0.8-60)x50+(160x0.7-100)x30=136()元，

答：该纪念品商店能获利1360元.

【变式3】,(25-26七年级下•全国•课后作业)如图，A,8两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食

品厂，它到3地的距离是到A地距离的2倍.现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品(制作过程中有

损耗)卖到8地，两次运输(第一次：A地一食品厂.第二次：食品厂-8地)共支出公路运费15600元,

铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/(knit),铁路运费为1元/(knit).

A食品厂B

•.........♦...........................■

公路20km铁路100km公路30km

⑴该食品厂到A地、8地的距离分别是多少千米？

(2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？

(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品

每吨的售价(利润=总售价一总成本一总运费).

【答案】⑴该食品厂到A地的距离是50km,到B地的距离是100km.

⑵该食品厂买进原料2201,卖出食品200t.

(3)卖出的食品每吨的售价是10000元.

【分析】(1)设该食品厂到力地的距离是xkm,到B地的距离是>，km,根据食品厂到8地的距离是到力地的2倍

且48两地间的距离为150公里，即可得出关于x,p的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设该食品厂买进原料制，卖出食品〃t,根据两次运输(第一次：力地一食品厂，第二次：食品厂一8地)

共支出公路运费15600元、铁路运费20600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；

(3)设卖出的食品每吨售价为。元，由题意：该食品厂此次买法的原料每吨花费5000元，要想该批食品俏

售完后工厂共获利863800元，列出一元一次方程，解方程即可.

【详解】⑴解：设该食品厂到4地的距离是xkm,到3地的距离是ykm.

根据题意，得I■尸2露+畋

解喉濡

故该食品厂到力地的距离是5()km,至如也的距离是100km.

(2)解：设该食品厂买进原料卖出