高考物理一轮复习（人教版） 第9章 专项强化13 电场中功能关系及图像问题

专题强化十三电场中功能关系及图像问题

【目标要求】1.学会处理电场中的功能关系.2.能解决电场中各种图像问题，理解图像斜率、面

积等表示的物理意义并能解决相关问题.

题型一电场中功能关系的综合问题

电场中常见的功能关系

(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变.

⑵若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变.

(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量.

(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量.

mI](2019・天津卷・3)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为，〃的带电小球，以初速

度。从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为为，方向与电场方向相反，则小球从

M运动到N的过程()

二Nc

羽

A.动能增加%纺2B.机械能增加2刖2

C.重力势能增加亍皿2D.电势能增加2加2

答案B

1I7

解析小球动能的增加量为△Ek=]〃?(2u)2—那A错误；小球在竖直方向上的分运

动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为/?=宗，小

球重力势能的增加量为△£?=机迎=右〃。2.C错误：静电力对小球做正功,则小球的电势能

减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势

31

能的减少量为△£/=2"/+5〃炉=2/如2,D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对

小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即B正确.

【例2】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为〃h电荷量为+夕的物块从A

点由静止开始下落，加速度为:g,下落高度〃到5点后与一轻弹簧接触，又下落。后到达

最低点C,整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g,则带电

物块在由A点运动到。点过程中，下列说法正确的是（）

A.该匀强电场的电场强度为劈

带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为叫土生

B.

C.带电物块电势能的增加量为

D.弹簧的弹性势能的增加量为

3

答案D

解析物块从静止开始下落时的加速度为上,根据牛顿第二定律得：，〃8—4片=〃出，解得：E

贽，故A错误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，静电力

做功为…一旭”+/尸—如怨，可知机械能减少量为冽殁地

,故B错误；从A

到。过程中，到电力做功为一2"次:+”）,则电势能增加量为也早加故C错误：根据

*3即弹

动能定理得：，咫（“+a）_2〃1，+"）+w*=o,解得弹力做功为：皿畀=

性势能增加量为"窗彳故D正确.

[例3]（2023•江西省第二中学模拟）如图所示，倾角为a=30。的绝缘斜面AB长度为3i,BC

长度为水，斜面段上方有沿斜面向上的匀强电场.一质量为小、电荷量为的小物块自

人端左上方某处以初速度如一房水平抛出，恰好在A点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下

运动，经过C点但未能到达8点，在静电力作用下返回，最终恰好静止在4点，已知物块与

斜面间的动摩擦因数为4=W，不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力

加速度为g,求:

（1）物块平抛过程中的位移大小；

⑵物块在电场中的最大电势能.

答案（1浮/（2）2〃磔

解析（1）物块落到斜面上A点时，速度方向与水平方向夹角为a,设此时速度为。，M'lv=

加

cosa'

竖直速度vy=vs\na,平抛运动时间/=6，

S

平抛过程中水平位移X=vot,

又有竖直位移y=色，

平抛的位移5=、『+十,琰立解得$=卑/

（2）设物块沿斜面向下运动的最大位移为『，自物块从4点开始向下运动到再次返回4点，

根据动能定理有一2〃mgcos=0—^mv2,解得x'=2/.物块位于最低点时，电势能最大，

物块自4点到最低点过程中,设静电力做功为W,根据动能定理有mgsinax'一"〃呼osaW

1,

-W=0—产

解得W=2〃3，即物块电停能的最大值为2mgl.

题型二电场中的图像问题

考向1电场中的。一/图像

根据。一/图像的速度变化、斜率变化（即加速度大小的变化），可确定电荷所受静电力的方向

与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化.

m4］（多选）（2023•重庆市八中检测）两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中

垂线（在水平面内）上有A、8、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2Xl（）rc、质量为|g的

小物块从C点由静止释放，其运动的v-t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线

斜率最大的位置（图中标出了该切线）.则下列说法正确的是（）

B

♦C八

\o-…®

甲

A.小物块带正电

B.A、3两点间的电势差以8=-500V

C.小物块由。点到A点电势能先减小再增大

D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E=10DV/m

答案ABD

解析根据物块运动的。一/图像可知，小物块带正电，A正确；从0-/图像可知，A、3两

点的速度分别为VA=()IH/S、P8=4ni/s,再根据功能定理彳导1X10'X(4?

-62)J,解得UM=-500V,B正确；从o-/图像可知，由C到4的过程中，物块的速度

一直增大，群电力对物块一直做正功，电势能一直减小，C错误；带电粒子在B点的加速度

4

2

最大，为411=y77^mH=2m/s,所受的静电力最大为Fm=main=0.()()\X2N=().002N,则

电场强度最大值为Em=*=华晨N/C=100N/C,D正确.

qZA1(J

考向2"一1图像(电场方向与x轴平行)

1.电场强度的大小等于图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电

场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图).切线的斜率为零时沿x轴方向电场强

度为零.

2.在8-k图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方

向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向.(如图)

.-X处图线切线的斜率为0,即J=0

一出处图线切线的斜率

的绝对值比占处的大.

即叱以

x

—即处夕=0,瓦3X()

电场强度出场强度方向向友

方向向左：(正向)；

3.电场中常见的伊一X图像

(1)点电荷的夕一工图像(取无限远处电势为零)，如图.

5

（2）两个等量异种点电荷连线上的夕一x图像，如图.

两正点电荷连线上两正点电荷连线的中垂线上

【例5］（多选）（2023贵州贵阳市一中高三检测）如图所示,在“轴上的。点（.*一0）和b点（*-15cm）

分别固定放置两点电荷卬、农，其静电场的电势夕在x轴上分布如图所示，取无穷远史的电

势为零，下列说法正确的是（）

A.a、c两点的电场强度相同

B.⑺所带电荷量是仅所带电荷量的4倍

C.将一负电荷从〃点移到c•点，静电力做功为零

D.将一负电荷从c点移到d点，电势能增大

答案BC

解析3一X图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，由

题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误：由题图可知，题

图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷⑺、仪的距离之比

为2：1,根据点电荷电场强度公式可得，，八、0电荷量之比为4：I,故B正确；〃、c

两点电势相等，电势差为零，负电荷从〃点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间

电场方向向左，负电荷从，点移到d点、，静电力做正功，电势能减小，故D错误.

考向3E—%图像（电场方向与A轴平行）

1.月一工图像为静电场在X轴上的电场强度七随X的变化关系，若规定X轴正方向为电场强

度E的正方向，则E>0,电场强度E沿工轴正方向；E<0,电场强度E沿工轴负方向.

2.七一工图线与x轴所围图形“面积”表示电势差（如图所示），两点的电势高低根据电场方向

判定.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等

情况.

（1）点电荷的£—工图像

正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示.

⑵两个等量异种点电荷的石一汇图像，如图.

两点电荷连线上两点电荷连线的中垂线上

（3）两个等量正点电荷的七一，图像，如图.

【例6】x轴上固定着两个点电荷A、B,两点电荷分别位于心=0,心=4d处，两者所在区域

为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示.选取工轴正方向为电

场强度的正方向，无限远处电势为零.以下说法正确的是（）

A.点电荷4、4分别带正电和负电

B.A、8所带电荷量的绝对值之比为I:3

Cx=d处电势最高且为零

D.将电子从x=5d处无初速度释放，其电势能一直减小

答案D

解析若点电荷A、8带异种电荷，则在x轴上。〜4d区间的电场方向唯一不变化，即水平

向右或水平向左，故A错误；由题图可知在x=d处电场强度为零，即竿=钾，解得会=/，

故B错误；0〜d区间，电场方向沿x轴负方向，d〜4d区间电场方向沿x轴正方向，可知。〜

4d区间，从x=d处沿两例电势降低，无限远处电势为零，故x=d处电势大于零；的

区域内，电场方向指向x转负方向，所以沿x轴负方向电势逐渐降低，无限远处电势为零，

故x24d的区域内的电势都小于零.所以x=d处电势最高且大于零，故C错误：x25d的区

域内电场方向沿x轴负方向，所以电子释放后受水平向右的力，静电力一直做正功，电势能

一直减小，故D正确.

考向4昂一式图像、4一］图像

1.Ep—x图像

由静电力做功与电势能变化关系"电x=Ep|—Ep2=-AEp知EP-x图像的切线斜率〃=梦，

其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向.

2.反一工图像

当带电体只有静电力做功，由动能定理产电X=£L氏）=△稣知ELX图像的切线斜率k=*

斜率表示静电力.

m71（2023・北京北师大实脸中学高三检测）一带负电的粒子只在静电力作用下沿工轴正方向

运动，其电势能耳随位移x变化的关系如图所示，其中。〜七段是关于直线x=r对称的曲

线，X2〜沏段是直线，则下列说法正确的是（）

A.笛处电场强度最小，但不为零

B.粒子在。〜刈段做匀变速运动，X2〜力段做匀速直线运动

C.若国、冷处电势为。1、依，则@〈83

D.刈〜内段的电场强度大小、方向均不变

答案D

解析师一工图像的斜率表示粒子所受静电力F,根据尸=qE可知为处包场强度最小且为零，

选项A错误：粒子在0〜总段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，

做变速运动，X2〜片段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从X]

到X3的过程中电势能增加，说明电势降低，即仲＞依，选项C错误；X2〜.13段斜率不变，所

以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确.

课时精练

应基础落实练

1.如图所示，在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一质量为〃?、带电荷量为

的物体，以某一初速度沿电场方向做匀减速直线运动，不计空气阻力，其加速度大小为

丝阴，物体运动距离s时速度变为零.则在此过程中（）

A.物体克服静电力做功Q6q后

B.物体的电势能增加了

C.物体的重力势能增加了gEs

D.物体的动能减少了06?国

答案D

解析由于物体所受降电力和运动方向相同，故静电力做正功W=%s,故A错误；静电力

做正功，电势能减小，物体的电势能减小了qEs,故B错误：重力做功％=一〃16，重力做

负功，重力势能增加，又由题可知，mg=l.6qE,所以重力势能增加了1.6qEs,故C错误；

物体做减速运动，所受合外力做负功，动能减小，由动能定理得：△仄=一尸合s=一用小=一

0.6%s,所以物体的动能减少了0.6夕£s,故D正确.

2.（2023・广东深圳市高三检测）如图所示，有一竖直固定放置的绝缘圆环，圆环上均匀分布着

正电荷，一固定绝缘光滑细杆过圆心且沿垂直圆环平面方向穿过圆环，细杆上套有一个带正

电的小环，小环从A点由静止释放，沿细杆运动.下列说法一定正确的是（）

A.小环所受静电力逐渐变小

B.小环的加速度先向右后向左

C.小环的电势能逐渐增加

D.小环的动能逐渐增加

答案D

解析。点电场强度为零，由。点向右电场强度先变大后变小，小环所受静电力可能先变大

后变小，A错误；小环从A点由静止释放，沿细杆向右运动，加速度方向一直向右，B错误；

价电力对小环一直做正功，电势能逐渐减少，动能逐渐增加，C错误，D正确.

3.（2023•江西赣州市模拟）带电球体的半径为R,以球心为原点。建立坐标轴x,轴上各点电

势8随x变化如图所示，下列说法正确的是（）

A.球体带正电荷

B.球心处电场强度最大

C.A、B两点电场强度相同

D.一带负电的试探电荷在B点的电势能比在C点的电势能大

答案D

解析从我出发向两例电势升高，而沿着电场线电势降低，故球带负电荷，A错误：球是等

势体，故内部任意两点间的电势差为零，故电场强度为零，B错误；4点与8点的电场强度

大小相等，但方向相反，C错误；从8到C,电势升高，根据Ep=q%故负电荷在8点的电

势能比在C点的电势能大，D正确.

4.（多选）如图甲所示，a、b是点电荷的电场中同一条电场线上的两点，一个带电粒子在«

点由静止释放，仅在静电力作用下从。点向〃点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙

所示，则下列说法中正确的是（）

ah

甲乙

A.带电粒子与场源电荷带异种电荷

B.。点电势比6点电势高

C.4点电场强度比点电场强度大

D.带电粒子在4点的电势能比在〃点的电势能大

答案CD

解析粒子从〃点向〃点运动，以一上图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有

包场强度减小，因此4点更靠近场源电荷，则〃点电场强度比〃点电场强度大，若场源电荷

是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错

误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点

包势与〃点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从〃点运动到8点，静电力

做正功，电势能，成小，所以带也粒子在。点的也势能大亍在〃点的电势能，故D正确.

5.（多选汝口图，竖直平面内有〃、氏c三个点，〃点在“点正下方，b、c连线水平.第一次，

将一质审为〃，的小球从。点以初动能£ko水平抛出，经过c点时，小球的动能为5反0：第二

次，使此小球带正电，电荷量为夕，同时加一方向平行于〃庆,所在平面、电场强度大小为誓

的匀强电场，仍从。点以初动能Eko沿某一方向抛出小球，小球经过c点时的动能为13反o.

下列说法正确的是（不计空气阻力，重力加速度大小为8）（）

A.a、b两点间的距离为督

B.〃、方两点间的距离为震

C.4、C两点间的电势差为粤

D.a、C两点间的电势差为12；k°

答案BC

4Firi

解析不加电场时根据动能定理得mgh“b=5Eko—Eko=4Eko,解得心产湍故A错误，B

加电场时，根据动能定理得相加油+儿反一反解得华，故正确，

正确:e=1300,“c=CD

错误.

6.（多选）如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O,最低点是P,直径MN水平.〃、b

是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），〃固定在M点，〃从N点由静止释放，沿半圆

槽运动经过P点到达某点。（图中未画出）时速度为零.则小球a（）

A.从N到。的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小

B.从N到P的过程中，速率先增大后减小

C.从N到。的过程中，电势能一直增加

D.从。到。的过程中，动能减少量小于电势能增加量

答案BC

解析小球。从N点由殍止释放，过尸点后到。点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑

力做功，库仑力方向与小球a速度方向夹角一直大于90。，所以库仑力整个过程做负初，电

势能一直增加，故C正确；小球〃从N到。的过程中，重力不变，库仑力增大，库仑力与

重力的夹角减小，所以它们的合力一直增大，故A错误；小球。受力如图所示，

M{

在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90。，在P点合力与速度夹角大于90。，所以小球a

从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；根据能量守恒可知，。到Q的过程

中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误.

7.如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上。点套有一个电荷量为一“（夕＞0）的小环，在柠的左

侧处固定一个电荷量为+。（。＞0）的点电荷，杆上公〃两点与。点正好构成等边三角

形，c•是"的中点.使小环从。点无初速度释放，小环通过。点时的速率为。.若已知帅=

Oa=l,静电力常量为匕重力加速度为，则（）

A.在。点，小环所受弹力大小为零

B.在c点，小环的动能最大

C.在。点，小环的电势能最大

D.在8点，小环的速率为亚短）

答案D

解析在〃点，小环所受的库仑力沿方向，大小为华，水平方向小球受力平衡，所以

小球受到向右的弹力大小等于库仑力沿水平方向向左的分力，即华sin60。="攀4A错误;

在C•点，重力与库仑力垂直，竖直方向合力向下且不为零，则小环在。点的动能一定不是最

大，B错误；c点距离正点电荷最近，对应电势最高，故带负电荷的小环在c点电势能最小，

C错误；从a点到力点，由点电荷形成的电场的分布特点及几何关系知，〃、〃两点电势相等，

则静电力不做功，应用动能定理有mgl=^niV22—^mv2,解得s=正可切，D正确.

用能力综合练

8.（多选）（2021・湖南卷-9）如图，圆心为O的圆处于匀强电场中,电场方向与圆平面平行,ab

和“为该圆直径.将电荷量为虱夕>0）的粒子从。点移动到力点，电场力做功为2W（W>0）；

若将该粒子从c点移动到3点，电场力做功为W.下列说法正确的是（）

A.该匀强电场的场强方向与他平行

B.将该粒子从d点移动到6点，电场力做功为0.5W

C.。点电势低于。点电势

D.若只受电场力，从d点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动

答案AB

解析由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路.沿cd方向建立工轴，垂直于cd方

向建立y轴，如图所示

从C到d有W=Exq-2R

从a至Ib有2W=E04R+E、qR

丁得反-2mA-2qR

则石=2£2+"二=株,tan。=£=小

由于电•场方向与水平方向成60。角，则场强方向与，心平行，且由a指向b,A正确；

将该粒子从d点移动到〃点、，电场力做的功为

R

W'=%=0.5卬，B正确：

沿电场线方向电势逐渐降低，则。点电势高于。点电势，C错误；

若粒子从"点射入圆形电场区域的速度方向与c力平行，则粒子做匀变速直线运动，D错误.

9.（多选）在x轴上分别固定两个点电荷Qi、Q2，。2位于坐标原点。处，两点电荷形成的静

电场中，x轴上的电势8随x变化的图像如图所示，下列说法正确的是（）

A.X3处电势夕最高，电场强度最大

B.Qi带正电，。2带负电

C.Q的电荷量小于。2的电荷量

D.电子从k处沿X轴移动到X2处，电势能增加

答案BD

解析（p-X图像的斜率表示电场强度，所以由题图可知总处电势0最高，电场强度最小为0,

则A错误：由于沿着电场线方向电势逐渐降低，则0〜X3电场线方向指向X轴的负方向，足〜

+8电场线方向指向X轴的正方向，并且在力处电势0最高，电场强度最小为0,根据点电

荷电场强度公式七=虏，由近小远大规律可知，Q的电荷量大于。2的电荷量，并且。带正

电，。2带负电，所以B正确，C错误；电子从即处沿X轴移动到X2处，静电力做负功，电

势能，增加，所以D正确.

10.（多选）（2023•福建厦门市质检）空间中有水平方向上的匀强电场，一质量为"1、带电荷量

为9的微粒在某平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒（）

123r/s

A.一定带正电

B.0〜3s内静电力做的功为-9J

C.运动过程中动能不变

D.0〜3s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12J

答案BCD

解析由于不清楚电场强度的方向，故无法确定微粒的电性，故A错误：由题图可知，0〜3s

内电势能增加9J,则0〜3s静电力做的功为一9J,故B正确；由题图可知，电势能均匀增

加，即静电力做的功与时间成正比，说明微粒沿静电力方向做匀速直线运动，同理，沿重力

方向也做匀速直线运动，则微粒的合运动为匀速直线运动，所以运动过程中速度不变，动能

不变，故C正确；由功能关系可知，0〜3s内重力势能与电势能共增加12J,义微粒的动能

不变，故0〜3s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12J,故D正确.

11.(2023•黑龙江省高三检测)如图所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨

道4co相切于4点，C为最低点，圆心角N4OC=37。，线段OC垂直于OD圆弧轨道半

径为R,直线轨道长为L=5R,整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在

的平面且垂直于直线OD,现有一个质量为，〃、带电荷量为+4的小物块P仄A点无初速度

释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数〃=0.25,电场强度大小E=臂,sin37°=0.6,cos37°

=0.8,重力加速度为g,忽略空气阻力.求：

(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；

⑵小物块第一次从。点飞出后上升的最大高度；

⑶小物块在直线轨道AB上运动的总路程.

答案⑴10.8〃田(2)1.2/?(3)15/?

解析(1)由几何关系知，抗道与水平面的夹角为37。，小物块从4点第一次到C点的过

程，由动能定理知：