2027届新高考数学热点精准复习导数的概念及运算

数学

高考总复习2027届新高考数学热点精准复习导数的概念及运算1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.课标要求

f'(x0)

2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的______,相应的切线方程为_________________________.

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=___f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=______f(x)=sinxf'(x)=_______________f(x)=cosxf'(x)=______________f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=____________f(x)=exf'(x)=_____f(x)=logax(a>0,且a≠1)f(x)=lnx

5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=__________________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.yu'·ux'常用结论与微点提醒1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P处的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上.3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况.(

)(2)函数f(x)=sin(-x)的导函数f'(x)=cosx.(

)(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(

)××(2)f(x)=sin(-x)=-sinx,则f'(x)=-cosx,错误.(3)求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误.(4)函数y=x2与x=0这条直线只有一个公共点,但它们相交,错误.

ABC

4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y=xex在点(1,e)处的切线与曲线y=alnx+2在点(1,2)处的切线平行,则a=____________.

2e

ABD

考点一导数的概念与运算

感悟提升

CD

D

考点二导数的几何意义

(2)(多选)(2026·商洛模拟)过点(1,0)向曲线y=x3-x作切线,则切线方程可能是(

)A.2x-y-2=0 B.3x-y-3=0C.x+4y-1=0 D.2x+y-2=0AC

角度2

求切点坐标或参数例3(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,则a=_______.

4

(2)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是__________________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

感悟提升1.处理与切线有关的问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程;(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.2.注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.

B

5例4(2026·沈阳质检)若直线y=4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2+2lnx的公切线,则n-m=(

)A.11 B.12C.-8 D.-7A

考点三两曲线的公切线所以4+m=1+2ln1=1,得m=-3.所以直线y=4x-3是曲线y=x3-nx+13的切线,由y=x3-nx+13,得y'=3x2-n,设切点为(t,t3-nt+13),则3t2-n=4,且t3-nt+13=4t-3,联立消去n,并整理可得t3=8,得t=2,所以n=8,所以n-m=8-(-3)=11.感悟提升公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点横坐标的方程组,通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线,利用两切线重合列方程组求解.

B

D

C

3.(2026·湛江模拟)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(

)A.y=2x+1 B.y=3x+1C.y=2x D.y=3xB由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f'(0)=3,又f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1.4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是(

)B由导函数的图象可得,导函数f'(x)的值在[-1,0]上逐渐增大,在[0,1]上逐渐减小,所以函数f(x)在[-1,0]上增长速度逐渐变快,在[0,1]上增长速度逐渐变慢,故选B.

B

6.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列大小关系正确的是(

)A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5)B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3)C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5)D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3)A

7.(2026·南京调考)已知f(x)=ex-1,g(x)=lnx+1,则f(x)与g(x)的公切线有(

)A.0条 B.1条C.2条 D.3条C

BCD

二、多选题9.(2026·郑州调研)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则(

)A.lm的斜率的最小值为-2 B.lm的斜率的最小值为-3C.l0的方程为y=1 D.l-1的方程为y=9x+6 BCD因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1.因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6.

三、填空题-111.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=____________.

ln2

12.(2026·西安部分学校联考)若M是曲线f(x)=2x2-lnx上任意一点,则点M到直线y=3x-6的最小距离为____________.

13.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-