2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的单调性

2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的单调性1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).课标要求1.函数的单调性与导数的关系单调递增条件恒有结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f'(x)>0f(x)在(a,b)上____________f'(x)<0f(x)在(a,b)上____________f'(x)=0f(x)在(a,b)上是____________单调递减常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的_________;第2步,求出导函数f'(x)的______;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.定义域零点常用结论与微点提醒1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(

)(2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.(

)√√×

2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是____________,单调递减区间是____________.

由图知,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,2)时,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,2).(0,1)(1,2)3.(人教A选修二P101习题T3改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是________________.

4.(苏教选修一P213例2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是____________.

[-3,0]f'(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,所以4a2+12a≤0,解得-3≤a≤0.例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是(

)A由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0,故排除C,D;当x∈(0,+∞)时,函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减,则导函数值f'(x)应先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B,选A.考点一函数的单调性与导函数图象之间的关系(2)f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是(

)C由y=f'(x)的图象可得:在(-∞,b)上f'(x)≥0,在(b,+∞)上f'(x)<0,根据原函数图象与导函数图象的关系可得:y=f(x)在(-∞,b)上单调递增,在(b,+∞)上单调递减,可排除A,D,且在x=0处,f'(x)=0,即在x=0处,y=f(x)的切线的斜率为0,可排除B,故选C.感悟提升由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0;由导函数图象识别原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,f'(x)<0,则f(x)单调递减.训练1(1)设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(

)C由f(x)的图象知:当x∈(-∞,1)时,f(x)单调递减,f'(x)<0,当x∈(1,4)时,f(x)单调递增,f'(x)>0,当x∈(4,+∞)时,f(x)单调递减,f'(x)<0,由选项各图知:选项C符合题意,故选C.(2)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(

)由题意可知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,由选项可知图象D符合.D

(0,4)

考点二不含参函数的单调性(2)(2026·烟台质检)已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间为_________________.

感悟提升确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意两点:一是不能漏掉求函数的定义域;二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.训练2(1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnxB

(2)函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为_________________,单调递减区间为____________.

f(x)的定义域为R,f'(x)=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x=0或x=ln2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:(-∞,0),(ln2,+∞)(0,ln2)x(-∞,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增

单调递减

单调递增所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(ln2,+∞),单调递减区间为(0,ln2).例3已知函数f(x)=ax2-(a+4)x+2lnx,其中a>0,试讨论f(x)的单调性.考点三含参函数的单调性

感悟提升1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如导函数与二次函数式有关,则分类讨论的标准一般有:判别式、二次项的系数、根的大小.2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点.训练3(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性.

一、单选题1.函数f(x)=2x-cosx在R上是(

)A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.不确定A∵f(x)=2x-cosx,∴f'(x)=2+sinx>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是(

)A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)A由已知得,f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞).3.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)Df'(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f'(x)<0的解集对应y=f(x)的单调递减区间,验证只有D符合.

D

5.若定义在R上的函数y=x3f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递增区间为(

)A.[0,1] B.[0,2]C.(-∞,0] D.(-∞,2]B由题图可得,当0≤x≤2时,由y=x3f'(x)≥0得f'(x)≥0,y=f(x)在[0,2]上单调递增;当x>2时,由y=x3f'(x)<0得f'(x)<0,y=f(x)在(2,+∞)上单调递减;当x<0时,由y=x3f'(x)>0得f

'(x)<0,y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,综上,函数y=f(x)的单调递增区间为[0,2].

C

7.函数f(x)=2x3-ax+6的一个单调递增区间为[1,+∞),则单调递减区间是(

)A.(-∞,0) B.(-1,1)C.(0,1) D.(-∞,1),(0,1)B

8.(2026·聊城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0,则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则(

)A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增C.函数f(x)=sinx-2x在[0,1]上纯粹递减 D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减BCA项,f'(x)=2x-2,由f'(1)=0,知A错误;B项,f'(x)=3x2-2,当x∈[1,2]时,f'(x)>0恒成立,所以B正确;C项,f'(x)=cosx-2<0在[0,1]上恒成立,所以C正确;D项,f'(x)=e