2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的极值、最值

2027届新高考数学热点精准复习导数与函数的极值、最值1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.4.会用导数研究生活中的最优化问题.课标要求1.函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧_____________,右侧_____________.则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.f'(x)<0f'(x)>0(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧_____________,右侧_____________.则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为_________,极小值和极大值统称为______.f'(x)>0f'(x)<0极值点极值2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的______;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值_____________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.极值f(a),f(b)常用结论与微点提醒1.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(

)(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(

)(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(

)(4)连续函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(

)√×√(1)反例:f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.(3)反例:f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0.2.(人教B选修三P100T1改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(

)由题意知在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数值符号左负右正.AA.1 B.2C.3 D.4

4.(人教A选修二P104T9改编)函数f(x)=x(x-c)2有极值,则实数c的取值范围是__________________.

(-∞,0)∪(0,+∞)f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2.由题意知f'(x)有变号零点,∴Δ=16c2-12c2=4c2>0,解得c≠0,即c∈(-∞,0)∪(0,+∞).角度1

根据函数图象判断极值例1(多选)已知f'(x)为函数f(x)的导函数,若函数y=f'(x)-1的大致图象如图所示,则(

)AB考点一利用导数求函数的极值A.f(x)有3个极值点B.x=-4是f(x)的极大值点C.x=0是f(x)的极大值点D.f(x)在(0,4)上单调递减根据函数y=f'(x)-1的图象可知,在区间(-∞,

-4),(0,4),f'(x)>0,f(x)单调递增;在区间(-4,0),(4,+∞),f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)有3个极值点,x=-4是f(x)的极大值点,f(x)在(0,4)上单调递增,x=0是f(x)的极小值点,所以A,B正确.感悟提升由函数y=f(x)的导函数图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2

求已知函数的极值例2(2026·盐城模拟节选)已知函数f(x)=lnx+2ax2+2(a+1)x(a≠0),讨论函数f(x)的极值.

感悟提升运用导数求函数f(x)极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导函数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出导函数在定义域内的所有根;(4)检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值.角度3

由函数的极值求参数例3(2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m+2)x+mlnx,m∈R.(1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集;

(2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围.

感悟提升1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时,要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解,求解后要检验.2.判断极值点的个数,转化为导数的根的个数.

(2)(2026·青岛模拟节选)已知函数f(x)=e2x+ex-ax,讨论f(x)极值点的个数.函数f(x)的定义域为R,由题意知,f'(x)=2e2x+ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增,即f(x)极值点的个数为0;当a>0时,令f'(x)=0,t=ex>0,可得2t2+t-a=0,易知Δ=1+8a>0,

角度1

求已知函数的最值例4(1)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为____________.

1

考点二利用导数求函数的最值

(2)已知函数f(x)=xlnx-a(x-1),求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.f(x)=xlnx-a(x-1),则f'(x)=lnx+1-a,由f'(x)=0,得x=ea-1.所以f(x)在区间(0,ea-1)上单调递减,在区间(ea-1,+∞)上单调递增.①当ea-1≤1,即a≤1时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=0.②当1<ea-1<e,即1<a<2时,f(x)在[1,ea-1]上单调递减,在(ea-1,e]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(ea-1)=a-ea-1.③当ea-1≥e,即a≥2时,f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(e)=a+e-ae.综上,当a≤1时,f(x)的最小值为0;当1<a<2时,f(x)的最小值为a-ea-1;当a≥2时,f(x)的最小值为a+e-ae.

C由f(x)=3x-x3,可得f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),当-1<x<1时,f'(x)>0,当x<-1或x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,可得f(-1)=-2,令f(x)=-2,可得x=-1或x=2,则f(x)的图象如图所示,

感悟提升1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.2.若所给函数f(x)含参数,则需通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.

B

(2)(2026·唐山调研)已知函数f(x)=ax-lnx的最小值为0,则a=____________.

三次函数的对称性微点突破

A令f(x)=x3+6x2+13x,则f'(x)=3x2+12x+13,令h(x)=3x2+12x+13,h'(x)=6x+12=0,解得x=-2,又f(-2)=(-2)3+6×(-2)2+13×(-2)=-10,所以函数f(x)的图象关于点(-2,-10)成中心对称.

训练

(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(

)A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心AD由题可知,f'(x)=6x(x-a).对于A,当a>1时,由f'(x)<0得0<x<a,由f'(x)>0得x<0或x>a,则f(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,且当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+∞时,f(x)→+∞,故f(x)有三个零点,A正确;对于B,当a<0时,由f'(x)<0得a<x<0,由f'(x)>0得x>0或x<a,则f(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,故x=0是f(x)的极小值点,B错误;对于C,假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴,即存在这样的a,b使f(x)=f(2b-x),即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1,

一、单选题1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(

)A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.

A

B由题意得f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,当x∈[-π,0]时,sinx≤0,f'(x)≤0,所以f(x)在[-π,0]上单调递减,故函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值为f(-π)=π.

C

B

6.已知函数f(x)=xlnx-ax有极值-e,则a等于(

)A.1 B.2C.e D.3B由题目条件可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1-a.令f'(x)>0,得x>ea-1;令f'(x)<0,得0<x<ea-1.所以函数f(x)在区间(0,ea-1)上单调递减,在区间(ea-1,+∞)上单调递增,则函数f(x)的极小值点是ea-1,无极大值点,故f(ea-1)=ea-1lnea-1-aea-1=-e,解得a=2.

C

ABD根据奇函数的定义有f(0)=0,A正确;当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(x2-3)e-x+2]=-(x2-3)e-x-2,B正确;当x>0时,f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x-1)·(x+3)ex,二、多选题

9.(2026·武汉调研)已知函数f(x)=-x3+3x2-2,则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增B.x=2是函数f(x)的极大值点C.函数f(x)有3个零点D.若函数f(x)在区间(3a-1,a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围为(-3,0]BCD对于A,f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),当x<0或x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当0<x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,由A知,x=2是函数f(x)的极大值点,故B正确;对于C,由A知,x=0是函数f(x)的极小值点,且f(2)=-23+3×22-2=2>0,f(0)=-