2027届新高考数学热点精准复习函数的图象

2027届新高考数学热点精准复习函数的图象1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式问题.课标要求1.利用描点法作函数的图象步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换f(x)-k(2)对称变换y＝f(x)的图象

y＝____________的图象;y＝f(x)的图象

y＝____________的图象;y＝f(x)的图象

y＝____________的图象;y＝ax(a>0,且a≠1)的图象

y＝____________(a>0,且a≠1)的图象.-f(x)f(-x)-f(-x)logax(3)伸缩变换y＝f(x)

y＝f(ax);y＝f(x)

y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象

y＝__________的图象;y＝f(x)的图象

y＝__________的图象.|f(x)|f(|x|)常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0,＋∞)时,函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(

)(2)函数y＝f(1－x)的图象,可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(

)诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××(1)令f(x)＝－x,当x∈(0,＋∞)时,y＝|f(x)|＝x,y＝f(|x|)＝－x,两者图象不同,(1)错误.(2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)],所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到,(2)错误.(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(

)(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(

)××(3)中两函数当a≠1时,y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同,(3)错误.(4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称,(4)错误.

C

3.已知函数f(x)＝x|x|－2x,则下列结论正确的是(

)A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,＋∞)B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(－∞,1)C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(－1,1)D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(－∞,0)C

画出函数f(x)的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(－1,1)上单调递减.4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称,再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象,则g(x)＝____________.

e－x＋1由题意得f(x)＝e－x,∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.

考点一作函数的图象

图1(2)y＝|x2－4x－5|;y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到,如图2所示.图2

图3

感悟提升函数图象的常见作法及注意事项(1)直接法:对于基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.(2)转化法:含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平衡、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.(4)作函数的图象一定要注意定义域.训练1作出下列各函数的图象:(1)y＝x2－2|x|－3;

图1

(2)y＝|log2(x＋1)|.y＝|log2(x＋1)|,其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度,再保留x轴上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,如图2所示.图2

例2(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(

)B

考点二函数图象的识别

D

感悟提升1.抓住函数的性质,定性分析:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.2.抓住函数的特征,定量计算:寻找函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

D

(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象,则该函数是(

)

A

角度1

图象法解方程或不等式例3已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是(

)A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞)Df(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0,＋∞),f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0,由f(x)<0可得log2x<x－1,即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方,画出y＝log2x,y＝x－1的图象,如图,由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞).考点三函数图象的应用

B若0<a<1,此时x∈(1,2],logax<0,而(x－1)2>0,故(x－1)2<logax无解;若a>1,此时x∈(1,2],logax>0,而(x－1)2>0,令f(x)＝logax,g(x)＝(x－1)2,画出函数f(x)与g(x)的图象,如图,若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2]内恒成立,则loga2>1,解得a∈(1,2).感悟提升1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.2.利用图象求参数时,要准确分析函数图象的特殊点,借助函数图象,把原问题转化为数量关系较明确的问题.训练3(1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,＋∞)时,f(－x)>2f(x),f(3)＝0,则不等式f(x)>0的解集为_____________________.

(－∞,－3)∪(－3,0)依题意知,f(0)＝0,当x∈(0,3)∪(3,＋∞)时,f(－x)>2f(x),即－f(x)>2f(x),得f(x)<0,由f(3)＝0,得f(－3)＝－f(3)＝0,由此画出f(x)的大致图象如图所示,由图可知,不等式f(x)>0的解集为(－∞,－3)∪(－3,0).

作出函数f(x)的图象,如图,(2,3]因为存在x1<x2<x3,使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m,所以f(－1)<m≤f(0),即2<m≤3.

A

A

3.(2026·潍坊模拟)已知a>0且a≠1,ay与x成正比例关系,其图象如图所示,且y＝logax＋1,则a＝(

)A.1 B.2C.3 D.4B因为ay与x成正比例关系,所以可设ay＝kx,k≠0,由题图知x＝1时,ay＝2,故2＝k·1,则k＝2.由ay＝2x,变形可得y＝loga(2x)＝logax＋loga2,又y＝logax＋1,所以loga2＝1,则a＝2.故选B.4.(2026·四川成都石室中学调考)若函数y＝f(x)的图象如图1所示,则如图2对应的函数可能是(

)A

D

C

C

C因为函数f(x)的定义域为R,满足f(x)＝2f(x－2),且当x∈(0,2]时,f(x)＝x(2－x),所以当x∈(2,4]时,f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x),当x∈(4,6]时,f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x),函数部分图象如图所示,

AD

根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2,画出函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象,如图.由图象可知,函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称,所以A正确;函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)＝0有三个解,所以B正确;函数F(x)在(－∞,－1]上单调递增,在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减,所以C错误,D正确.ABD

BC

三、