2027届新高考数学热点精准复习任意角、弧度制和三角函数的概念

2027届新高考数学热点精准复习任意角、弧度制和三角函数的概念课标要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.端点

半径长

|α|r

2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝_____________扇形面积公式S＝______＝___________单位圆yyxx

3.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与_________交于点P(x，y)定义正弦___叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝___余弦___叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝___定义正切三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.

常用结论与微点提醒1.象限角常用结论与微点提醒2.轴线角

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.(

)(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(

)(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(

)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(

)

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√××√2.(人教A必修一P175T2改编)角－843°的终边所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C－843°＝－2×360°－123°，则－843°和－123°的终边相同，故角－843°的终边在第三象限.3.(人教A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝____________.

4.(北师大必修二P12B组T2)在半径为R的圆中，120°的圆心角所对的弧长为____________，面积为2R2的扇形的圆心角等于____________弧度.

4

AD考点一象限角及终边相同的角

D

感悟提升

C

考点二弧度制及其应用

(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大?

感悟提升应用弧度制解决问题的思路(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

A

=2π,所以OA=

(2)已知某扇形的周长是24,则该扇形的面积的最大值为

.

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B考点三三角函数的定义及应用

角度2三角函数值符号的判定例4已知sinθ·tanθ<0，且cosθ·sinθ<0，则θ为(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角B因为sinθ·tanθ<0，所以θ的终边可能在第二、三象限;因为cosθ·sinθ<0，所以θ的终边可能在第二、四象限.要同时满足sinθ·tanθ<0，cosθ·sinθ<0，则θ为第二象限角.故选B.感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)已知点P的坐标为(sin5，cos5)，则点P位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B

ACD

C

2.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B因为点P(sinα，tanα)在第四象限，所以sinα>0，tanα<0，所以角α的终边在第二象限.

A

D

B

B

B

8.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45齿，小齿轮有30齿.如果大齿轮的转速为180r/min(即每分钟旋转180圈)，小齿轮的半径为10cm，那么小齿轮圆周上一点每1s转过的弧长是(

)BA.5400πcm B.90πcmC.180πcm D.40πcm

AD

AD

BD

三、填空题12.如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为