2027届新高考数学热点精准复习一元不等式的证明

2027届新高考数学热点精准复习一元不等式的证明导数中的不等式证明是高考的常考题型,常与函数的性质、零点、极值、最值等相结合,其基本方法有移项构造函数、分拆函数、切线放缩证明不等式等.题型分析例1(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1.当a≤2时,证明:当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.策略一移项构造函数证明不等式

则当x>1时,h'(x)>h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,g'(x)>g'(1)=0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,g(x)>g(1)=0,即当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.

则当x>1时,g'(x)<0,故g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以当x>1时,g(x)<g(1)=0,即当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.感悟提升1.若待证不等式的一边含有自变量,另一边为常数,可直接求函数的最值,利用最值证明不等式.2.若待证不等式的两边含有同一个变量,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证.训练1(教材经典改编)证明以下不等式:(1)ex≥x+1;令f(x)=ex-(x+1),则有f'(x)=ex-1.令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0;令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.所以f(x)≥f(0)=e0-1=0,即ex-(x+1)≥0.所以ex≥x+1.(2)lnx≤x-1;

例2(2026·郑州调研)已知函数f(x)=xlnx-ax.(1)当a=-1时,求函数在(0,+∞)上的最值;策略二分拆函数证明不等式

感悟提升若对待证的式子直接构造函数对其求导后不易分析,可将不等式合理拆分成g(x)>h(x)的形式,对两边函数进行求导.利用g(x)的最小值和h(x)的最大值比较证明不等式,特别地含lnx与ex的混合式要将其分离.常构造xn与lnx,xn与ex的积、商形式,便于求导后找到极值点.

在证明不等式时,若直接证明比较困难,可将不等式的一侧或者不等式中的一部分进行放大或者缩小,然后证明放缩后的不等式,再利用不等式的传递性证明原来的不等式成立.常用的放缩不等式:(1)ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立.(2)ln(x+1)≤x,x∈(-1,+∞),当且仅当x=0时,等号成立(可由(1)式中两边同时取自然对数得到).(3)lnx≤x-1,x∈(0,+∞),当且仅当x=1时,等号成立(可将(2)中x换为x-1得到).策略三切线放缩证明不等式

感悟提升利用导数证明不等式时,若所证明的不等式中含有ex,lnx,sinx,cosx,tanx,或其他多项函数的两种或以上,或依据所证不等式构造函数不易得到其最值,可考虑先利用不等式进行放缩,使问题简化,然后证明.训练3(2026·济南段考)设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;

1.如果要证明的不等式由指数、对数、多项式函数组合而成,且构造差函数不易求其最值,则往往进行指、对分离,转化为证明g(x)≥h(x),分别求g(x)min、h(x)max进行证明,由于两个函数图象的凹凸性正好相反,故这种证明不等式的方法称为凹凸反转.凹凸反转微点突破2.凹凸反转常见的三种模型(1)高人一等,即上函数的最小值大于下函数的最大值,不取等(f(x)>g(x))如图①,(2)亲密接触,即上函数的最小值等于下函数的最大值,且取等条件一致(f(x)≥g(x))如图②,(3)错位时空,即上函数的最小值等于下函数的最大值,但取等条件不一致(f(x)>g(x))如图③,

训练

(1)已知函数f(x)=elnx-ex,证明:xf(x)-ex+2ex≤0.

当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=-e.于是得f(x)≤g(x),即xf(x)-ex+2ex≤0.(2)已知函数f(x)=xlnx,求证:f(x)<2ex-2.

所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,

2.(2023·新高考Ⅱ卷节选)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x.令h(x)=x-x2-sinx(0<x<1),则h'(x)=1-2x-cosx(0<x<1).令p(x)=1-2x-cosx(0<x<1),则p'(x)=-2+sinx<0,所以p(x)即h'(x)在(0,1)上单调递减,又h'(0)=0,所以当0<x<1时,h'(x)<h'(0)=0,h(x)单调递减,所以当0<x<1时,h(x)<h(0)=0,即x-x2<sinx.令g(x)=sinx-x(0<x<1),则g'(x)=cosx-1≤0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,又g(0)=0,所以当0<x<1时,g(x)<g(0)=0,即sinx<x.综上,当0<x<1时,x-x2<sinx<x.3.(1)证明:ex-ln(x+2)>0.要证ex-ln(x+2)>0,即证ex>ln(x+2),又ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立,令t=x+2,则ln(x+2)=lnt≤t-1=x+1,即ln(x+2)≤x+1,当且仅当x=-1时等号成立,故ex≥x+1≥ln(x+2),等号成立的条件不一致,则ex>ln(x+2),结论得证.

则u'(x)=ex-2.所以函数u(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.而h'(0)=1-(e-2)=3-e>0,h'(ln2)<h'(1)=0,所以存在x0∈(0,ln2),使得h'(x0)=0.当x∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(x0,1)