专题07：圆柱和圆锥的体积（容积）（计算专项训练）数学青岛五四版五年级下册

专题07：圆柱和圆锥的体积（容积）计算专项训练一、圆柱和圆锥的体积（容积）的意义1.定义：圆柱体积是指圆柱所占空间的大小，计算公式为底面积×高（(V=Sh)）；圆锥体积是指圆锥所占空间的大小，计算公式为(\frac{1}{3}\times)底面积×高（(V=2.各部分名称：圆柱体积公式中，(V)表示体积，(S)表示底面积（(S=πr23.与相关知识的关系：圆柱体积推导基于长方体体积公式（(V=)长×宽×高=底面积×高），通过将圆柱切拼成近似长方体（平均分的份数越多越接近长方体），长方体的底面积等于圆柱底面积，高等于圆柱高，从而得出圆柱体积公式；圆锥体积通过实验（同底等高的圆柱和圆锥容器，圆锥装满水倒入圆柱，需倒3次装满）得出是同底等高圆柱体积的(二、圆柱和圆锥的体积（容积）的计算方法1.核心方法：公式法圆柱体积：(V=Sh=π圆锥体积：(V=1容积计算：与体积计算方法相同，结果需根据题目要求换算单位（如将2.辅助理解方法：实验与转化法圆柱体积：用等底等高的圆柱和长方体模型对比，或用萝卜、橡皮泥等材料制作圆柱，切成若干等份后拼成近似长方体，观察底面积和高的关系。圆锥体积：准备等底等高的圆柱和圆锥形容器，用沙子或水进行实验，直观感受“圆锥体积是同底等高圆柱体积的(题型1：圆柱体积计算（已知半径和高）典型例题：一个圆柱底面半径是3cm，高是5cm，求它的体积。（π取3.14）

解题思路：直接代入公式(V=πr²h)计算。

解题过程：

(V=3.14×3²×5=3.14×9×5=141.3,(cm³))跟踪训练：一个圆柱底面半径是2dm，高是6dm，求体积。（π取3.14）题型2：圆柱体积计算（已知直径和高）典型例题：一个圆柱底面直径是8cm，高是10cm，求体积。（π取3.14）

解题思路：先求半径(r=d/2)，再代入(V=πr²h)。

解题过程：

(r=8÷2=4,(cm))，(V=3.14×4²×10=3.14×16×10=502.4,(cm³))跟踪训练：一个圆柱底面直径是10dm，高是8dm，求体积。（π取3.14）题型3：圆柱体积计算（已知底面积和高）典型例题：一个圆柱底面积是25cm²，高是4cm，求体积。

解题思路：直接用公式(V=Sh)计算。

解题过程：

(V=25×4=100,(cm³))跟踪训练：一个圆柱底面积是30dm²，高是5dm，求体积。题型4：圆锥体积计算（已知半径和高）典型例题：一个圆锥底面半径是3cm，高是6cm，求体积。（π取3.14）

解题思路：代入公式(V=1/3πr²h)计算。

解题过程：

(V=1/3×3.14×3²×6=1/3×3.14×9×6=56.52,(cm³))跟踪训练：一个圆锥底面半径是4dm，高是9dm，求体积。（π取3.14）题型5：圆锥体积计算（已知直径和高）典型例题：一个圆锥底面直径是6cm，高是5cm，求体积。（π取3.14）

解题思路：先求半径(r=d/2)，再代入(V=1/3πr²h)。

解题过程：

(r=6÷2=3,(cm))，(V=1/3×3.14×3²×5=1/3×3.14×9×5=47.1,(cm³))跟踪训练：一个圆锥底面直径是8dm，高是6dm，求体积。（π取3.14）题型6：圆锥体积计算（已知底面积和高）典型例题：一个圆锥底面积是18cm²，高是5cm，求体积。

解题思路：用公式(V=1/3Sh)计算。

解题过程：

(V=1/3×18×5=30,(cm³))跟踪训练：一个圆锥底面积是24dm²，高是7dm，求体积。题型7：圆柱与圆锥体积关系（等底等高）典型例题：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积是120cm³，圆锥体积是多少？如果圆锥体积是120cm³，圆柱体积是多少？

解题思路：等底等高时，圆锥体积=圆柱体积×1/3，圆柱体积=圆锥体积×3。

解题过程：

圆锥体积：(120×1/3=40,(cm³))；圆柱体积：(120×3=360,(cm³))跟踪训练：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积比圆锥体积大60dm³，圆柱和圆锥体积各是多少？题型8：容积计算（单位换算）典型例题：一个圆柱形水桶，从里面量底面直径是4dm，高是5dm，这个水桶能装水多少升？（π取3.14）

解题思路：先算内部体积（单位dm³），再换算为升（1dm³=1L）。

解题过程：

(r=4÷2=2,(dm))，(V=3.14×2²×5=62.8,(dm³)=62.8L)跟踪训练：一个圆锥形沙堆，底面半径2m，高1.5m，把这堆沙装入一个长5m、宽2m的长方体沙坑，能铺多厚？（π取3.14，结果保留两位小数）练习巩固练习巩固1．计算下面图形的体积。（单位：cm）

2．计算下面圆锥的体积。3．求下面立体图形的体积。4．计算下面图形的体积。（单位：cm）（1）

（2）

（3）5．求下面圆锥的体积。（1）

（2）6．求如图的体积。（单位：厘米）7．计算圆柱的表面积和圆锥的体积。8．计算下面图形的体积。（单位：分米）9．求下面立体图形的体积。（单位：厘米）10．按要求算一算。计算下面图形的体积。11．计算第一个图形的表面积和第二个图形的体积。

12．求下图的体积。（单位：分米）13．求下面圆柱的表面积，圆锥的体积。14．求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分）15．计算体积。16．求旋转所成图形的体积。17．求下面图形的体积。（单位：cm）

18．计算下面各图形的体积。（单位：cm）19．计算下面各立体图形的体积。（单位：厘米）20．计算下面物体的体积。题型1：跟踪训练答案：75.36dm³（解析：(V=3.14×2²×6=75.36,dm³)）

题型2：跟踪训练答案：628dm³（解析：(r=10÷2=5,dm)，(V=3.14×5²×8=628,dm³)）

题型3：跟踪训练答案：150dm³（解析：(V=30×5=150,dm³)）

题型4：跟踪训练答案：150.72dm³（解析：(V=1/3×3.14×4²×9=150.72,dm³)）

题型5：跟踪训练答案：100.48dm³（解析：(r=8÷2=4,dm)，(V=1/3×3.14×4²×6=100.48,dm³)）

题型6：跟踪训练答案：56dm³（解析：(V=1/3×24×7=56,dm³)）

题型7：跟踪训练答案：圆柱90dm³，圆锥30dm³（解析：圆锥体积=60÷(3-1)=30dm³，圆柱=30×3=90dm³）

题型8：跟踪训练答案：0.63m（解析：沙堆体积(V=1/3×3.14×2²×1.5=6.28m³)，厚度=6.28÷(5×2)=0.628≈0.63m）巩固练习1．615.44【分析】根据圆锥的体积公式，代入数据即可。【详解】（）答：图形的体积是615.44。2．7.065立方厘米【分析】由图可知，圆锥的底面半径为1.5厘米，高为3厘米，根据圆锥的体积公式：，代入数据进行求解即可。【详解】（立方厘米）圆锥的体积为7.065立方厘米。3．128.74dm3【分析】图中立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成：已知圆柱的底面半径和圆柱的高，根据圆柱的体积公式，可求出圆柱的体积；已知圆锥的底面半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式，可求出圆锥的体积；最后圆柱的体积＋圆锥的体积＝立体图形的体积，据此解答即可。【详解】圆柱体积：（dm3）圆锥体积：（dm3）立体图形的体积：（dm3）答：立体图形的体积是128.74dm3。4．（1）197.82立方厘米（2）339.12立方厘米（3）43.96立方厘米【分析】（1）根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可；（2）根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可；（3）根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，分别计算出圆柱和圆锥的体积，再相加即可解答。【详解】（1）（立方厘米）所以圆柱的体积是197.82立方厘米。（2）（立方厘米）圆锥的体积是339.12立方厘米。（3）（立方厘米）（立方厘米）（立方厘米）所以组合图形的体积是43.96立方厘米。5．（1）（2）【分析】（1）圆锥体积＝×底面积×高，根据题目中的数据代入即可得到答案；（2）圆锥体积＝，根据题目中的数据代入公式即可得到答案。【详解】（1）（）该圆锥的体积是10.8m3。（2）（）该圆锥的体积是75.36dm3。6．254.34立方厘米；1570立方厘米【分析】（1）已知底面直径9厘米、高12厘米，根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高）计算，先由直径求半径，再代入公式。（2）已知底面直径10厘米、长（高）20厘米，利用圆柱体积公式V＝πr2h，先由直径求半径，再代入公式。【详解】（1）求底面半径：r＝9÷2＝4.5（厘米）计算体积：V＝×3.14×4.52×12＝×3.14×20.25×12＝254.34（立方厘米）体积是254.34立方厘米。（2）求底面半径：r＝10÷2＝5（厘米）V＝3.14×52×20＝3.14×25×20＝1570（立方厘米）体积是1570立方厘米。7．401.92cm2；235.5dm3【分析】根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2、圆柱的侧面积公式S侧＝πdh、半径＝直径÷2、圆的面积公式S＝πr2，圆锥的体积公式V＝πr2h÷3，代入数据计算，解答即可。【详解】3.14×4×2×12＋3.14×42×2＝3.14×4×2×12＋3.14×16×2＝301.44＋100.48＝401.92（cm2）3.14×（10÷2）2×9÷3＝3.14×52×9÷3＝3.14×25×9÷3＝235.5（dm3）圆柱的表面积是401.92cm2，圆锥的体积是235.5dm3。8．81.64立方分米【分析】已知圆柱和圆锥的底面直径都是4分米，圆柱的高是8分米，圆锥的高是4.5分米，这个图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积。先用直径÷2求出半径，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h，分别代入数据计算，求出体积，再相减即可。【详解】（4÷2）2×3.14×8－×（4÷2）2×3.14×4.5＝22×3.14×8－×22×3.14×4.5＝4×3.14×8－×4×3.14×4.5＝100.48－18.84＝81.64（立方分米）这个图形的体积是81.64立方分米。9．（1）157立方厘米（2）635.5立方厘米【分析】（1）先根据半径为直径的一半，求出内圆柱的半径，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），求出外圆柱的体积和内圆柱的体积，空心圆柱的体积等于外圆柱的体积减去内圆柱的体积，即可求出空心圆柱的体积。（2）该组合体由长方体和圆锥组成，根据长方体的体积公式：（其中是长，是宽，是高），代入数值即可求出长方体的体积，再根据圆锥的体积公式：（其中是底面半径，是高），代入数值即可求出圆锥的体积，组合体的体积为长方体的体积加上圆锥的体积，即可求出组合体的体积。【详解】（1）内圆柱的半径：（厘米），外圆柱的半径：2＋1＝3（厘米）内圆柱体积：＝125.6（立方厘米）外圆柱的体积：（立方厘米）空心圆柱的体积：（立方厘米）（2）长方体的体积：（立方厘米）圆锥的半径：（厘米）圆锥体积：＝235.5（立方厘米）组合体的体积：400＋235.5＝635.5（立方厘米）10．141.3cm3【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。【详解】3.14×32×4＋×3.14×32×（7－4）＝3.14×9×4＋×3.14×9×3＝113.04＋28.26＝141.3（cm3）图形的体积是141.3cm3。11．251.2；12.56【分析】根据圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面积，圆柱的侧面积＝2rh，圆柱的底面积＝，代入数据计算出圆柱的表面积；根据圆的周长＝2×半径，用圆锥的底面周长÷÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝×半径的平方×高，代入数据计算即可。【详解】2×3.14×4×6＋3.14××2＝6.28×4×6＋3.14×16×2＝25.12×6＋50.24×2＝150.72＋100.48＝251.2（）12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（dm）×3.14××3＝×3.14×4×3＝×3×（3.14×4）＝1×12.56＝12.56（）12．75.36立方分米【分析】由图可知，该图形由一个圆柱和一个圆锥组成。已知圆柱的底面直径是4分米、高是5分米，用直径长度除以2计算出半径长度，然后根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积；已知圆锥的底面直径是4分米、高是3分米，用直径长度除以2计算出底面半径，然后根据圆锥体积公式计算出圆锥的体积；最后将两部分相加即可。【详解】4÷2＝2（分米）3.14×22×5＝3.14×4×5＝12.56×5＝62.8（立方分米）×3.14×22×3＝×3.14×4×3＝12.56（立方分米）62.8＋12.56＝75.36（立方分米）所以，该图形的体积是75.36立方分米。13．106.76dm2；1884立方厘米【分析】（1）根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱的表面积。（2）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。【详解】（1）3.14×4×6.5＋3.14×（4÷2）2×2＝3.14×4×6.5＋3.14×22×2＝3.14×4×6.5＋3.14×4×2＝81.64＋25.12＝106.76（dm2）圆柱的表面积是106.76dm2。（2）×3.14×（20÷2）2×18＝×3.14×102×18＝×3.14×100×18＝1884（立方厘米）圆锥的体积是1884立方厘米。14．2072.4立方厘米；150.72立方厘米【分析】（1），图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公式计算；（2），，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公式计算。【详解】（1）＝＝＝＝＝＝＝2072.4（立方厘米）所以，该图形的体积是2072.4立方厘米。（2）＝＝＝＝＝＝150.72（立方厘米）所以，该图形的体积是150.72立方厘米。15．100.48立方厘米【分析】图形的体积等于一个底面半径是2厘米高是6厘米的圆柱的体积加上一个底面半径是2厘米高是6厘米的圆锥的体积，圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据列式计算即可。【详解】3.14×22×6＋3.14×22×6×＝3.14×4×6＋3.14×4×6×＝12.56×6＋12.56×6×＝75.36＋75.36×＝75.36＋25.12＝100.48（立方厘米）图形的体积是100.48立方厘米。16．37.68cm3【分析】以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出旋转所成图形的体积。【详解】×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（cm3）旋转所成图形的体积是37.68cm3。17．50.24cm3；39.25cm3【分析】（1）组合图形是由一个圆锥和一个圆柱组成，根据公式V锥＝πr2h，V柱＝πr2h，分别代入数据求出圆锥、圆柱的体积，再相加，就是这个组合图形的体积。（2）根据底面周长C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。【详解】（1）×3.14×2×2×3＋3.14×2×2×3＝3.14×4＋3.14×4×3＝12.56＋37.68＝50.24（cm3）（2）15.7÷3.14÷2＝5÷2＝2.5（cm）×3.14×2.5×2.5×6＝3.14×6.25×2＝39.25（cm3）18．圆锥100.48cm3；圆柱2009.6cm3【分析】（1）从图中可知，圆锥的底面直径是8cm，高是6cm，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解；（2）从图中可知，圆柱的底面是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。【详解】（1）×3.14×（8÷2）2×6＝×3.14×42×6＝×3.14×16×6＝100.48（cm3）圆锥的体积是100.48cm3。（2）3.14×[（10÷2）2－（6÷2）2]×40＝3.14×[52－32]×40＝3.14×[25－9]×40＝3.14×16×40＝2009