新大材料力学讲义第7章 应力和应变分析 强度理论

第七章应力和应变分析强度理论§7.1应力状态概述§7.2二向和三向应力状态实例§7.3二向应力状态分析——解析法§7.4二向应力状态分析——图解法§7.5三向应力状态*§7.6位移与应变分量*§7.7平面应变状态分析§7.8广义胡克定律§7.9复杂应力状态的应变能密度§7.10强度理论概述§7.11四种常用强度理论§7.12莫尔强度理论§7.1应力状态概述1.应力状态的概念（1）一点的应力状态：研究表明，构件内不同位置的点，一般情况下具有不同的应力，所以点的应力是该点坐标的函数。然而就一点来论，不同方位截面上的应力也不同，截面上的应力又随截面方位的不同而变化，是截面方位角x的函数。因此，所谓“一点的应力状态”就是指过一点各个方位截面上的“应力情况”。（2）单元体为了表示一点应力状态,一般是围绕该点取出一个三个方向尺寸均为无穷小的正六面体，简称为单元体。由于单元体是无限小的，因此可以认为:①单元体各面上应力是均匀的②单元体相互平行的截面上应力相同，且同等于该点的平行面上的应力。（3）主应力、主平面、主单元体在物件内任一点总可以取出一个特殊的单元体，其3个相互垂直的面上都无切应力，这种切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。这样特殊的单元体称为主单元体，主单元体上3个主应力按代数值大小排列为（4）应力状态分类§7.2二向和三向应力状态实例单向应力状态：轴面拉伸或压缩，横力弯曲梁横截面上、下边缘点处。2.二向应力状态：薄壁压力容显然：3.三向应力状态：车轮与轨道接触点的应力状态高压容器器壁内点的应力状态§7.3二向应力状态分析——解析法已知：（应力符号规定：拉为正压为负；切应力顺为正，逆为负），求：①研究三棱柱单元的平衡利用简化后得出②求极值（a）若时，能使，则所确定的截面上，正应力即为最大值或最小值。以代入式（a），关令其等于零，得到由此得出：解之得：确定相互垂直的两个平面，对应截面上出现正应的极大值和极小值。注意到（b）结论：在切应力为零的平面上正应力极大值和极小值，即最大正应力和最小正应力，就是主应力。所在的平面为主平面。为了方便起见，利用三角恒等式由讨论知与总取相反符号，代入式得：讨论：③最大切应力和最小切应力（c）若时，能使，则在所决定的斜截面上，切应力为最大或最小值。以代入式（c），且令其等于零得解出确定二个相互垂直平面。利用代入式得：④最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的关系。故有即最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°Example1.图示为从悬臂梁中，E、F两点取出的两个单元体。Given：（E）（F）Find：试分别确定，E、F两点的主平面的位置及主应力。Solution：（1）E点①主平面位置：②最大应力最小应力③主应力：（2）F点①主平面位置②最大应力和最小应力③主应力Example2.图示为从悬臂梁中，E点取出的单元体。Given：（E）Find：E点主平面位置及主应力Solution：①②③§7.4二向应力状态分析——图解法1.确定上式改写为等号两边平方，二式相加，简化消去参数，得此为圆的方程，若以为横坐标，为纵坐标作圆，则圆心坐标为圆的半径为：2.应力圆的作法，用应力圆确定，得主应力①画坐标系。②取适当比例尺确定D、两点③连接④以C为圆心，以为半径作圆，即为应力圆⑤得半径，偏转2角，（同方向保持一致）得E点，由E点对应的横纵坐标即为⑥为主应力。3.证明证：故：4.证明证：故：5．证明：证：证：故：或：Example1试用解析法及图解法求图示应力状态指定截面上的应力Given：Solution：（1）解析法：（2）图解法：Example2试用解析法、图解法求指定截面上的应力。(图中单位:Mpa)Given：Solution:（1）解析法：（2）图解法：Example4试用图解法求主应力及主平面、GivenSolution:§7.5三向应力状态本节只用图解法简单讨论三个主应力已知时任意斜截面上的应力情况主应力：σ1>σ2>σ3主切应力：最大切应力可以证明任意斜载面上的应力与阴影部分内的一点的坐标相对应.Example1.试作三向应力圆，并求Given：Example2.试作三向应力图，并求Solution：将单向应力状态，二向应力状态，要作三向应力状态的特殊情况。§7.7平面应变状态分析1.概述（1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。（2）测试原理：一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。公式推导：（1）选定坐标系为xoy，如图示（2）设0点处，为已知。规定伸长为正，切应变以xoy直角增大为正。（3）求任意方向，方向（规定逆时针方向为正）的线应变和切应变（即直角的改变量）。（4）叠加法：求方向的线应变和切应变①由于而引起ds的长度改变,②方向（即方向）的线应变③求的切应变即方向的直角改坐标轴偏转的角度故：以代替式（c）中的，求得坐标轴偏转角度：故：或：结论（1）已知可求得任意方向的（2）已知求得（3）主应变和主应变方向比较上述公式，可见故：应变圆应变的实际测量①用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必须已知，然而用应变仪直接测量时，可以测试，但不易测量。所以，一般是先测出任选三个方向的线应变。②然后利用一般公式，将代入得出：联解三式，求出于是再求出主应变的方向与数值③④由式求出，当时与二、四相限的角度相对应。6.直角应变花（45°应变花）测量为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向测得：，代入一般公式求得：故讨论：若与二、四相限的角度相对应。见P257、7.21题等角应变花测量一般公式： eq\o\ac(○,a)测定值：代入式（a）得： eq\o\ac(○,b) eq\o\ac(○,c) eq\o\ac(○,d)eq\o\ac(○,d)-eq\o\ac(○,c)得： eq\o\ac(○,e)eq\o\ac(○,c)+eq\o\ac(○,d)得： eq\o\ac(○,f)主应变方向 eq\o\ac(○,g)由式eq\o\ac(○,b)-eq\o\ac(○,f)得 eq\o\ac(○,h) 将eq\o\ac(○,e)式，eq\o\ac(○,h)式代入式eq\o\ac(○,g)得： eq\o\ac(○,i)由eq\o\ac(○,b)+eq\o\ac(○,f)故： eq\o\ac(○,j)于是由主应变公式：穿过二、四相限见P258，7.22题Example1.用直角应变花测得一点的三个方向的线应变Find：主应变及其方向Solution：①②③故过二、四相限。Example2.若已测得等角应变花三个方向的线试求主应变及其方向Solution：即： （负一、三） 穿过一、三相限，与相对应。§7.8广义胡克定律1．拉（压）胡克定律σ=E或横向变形：剪切胡克定律或2．普遍情况，可以看作三组单向应力和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在小变形，线弹性范围内，线应变只与正应力有关而与切应力无关。切应变只与切应力有关，而与正应力无关。（1）叠加法：广义胡克定律（2） （3）若σ3=0化为二向应力状态，三向应变（4） （5） 注意：（1）应用公式要考虑应力的符号，按规定拉应力代入正值，压应力代入负值；（2）的正负号代表伸长线应变或者缩短线应变。3．体积胡克定律（1） V=dxdydz变形后：展开后略去含有高阶微量的的各项，得（2）体积应变代入：简化后得：改写为：式中——体积弹性横量——三个主应力的平均值（3）结论：在线弹性范围内，体积应变与平均应力成正比，此即为积胡克定律。（4）讨论eq\o\ac(○,a)体积应变只与三个主应力之和有关，而与主应力之间的比例无关。因此，对不同的单元体，只要三个主应力之和相等，则体积应变相等。eq\o\ac(○,b)单元体的体积应变可用平均应力单元体来替代。§7.9复杂应力状态的应变能密度1、单向拉伸（压缩）线弹性应力状态应变能密度 ①2、在三向的应力状态下，弹性体应变能与外力作功在数值上仍然相等。但它应该只决定于外力和变形的最终数值，而与加载的次序无关。为此，假定应力按比例同时从零加到最终值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性关系，于是三向应力状态下的应变能密度是： ②代入整理得：3、体积改变能密度，形状改变（变）能密度因为，所以单元I的能密度，即为原单元体A的体积改变能密度。故由广义胡克定律：代入得：式⑤，③代入式④整理得出畸变能密度。4．弹性常数E、G、μ间的关系Example导出各向同性线弹性材料的弹性常数E、G、μ间的关系。Procedural：（1）纯剪切应变能密度：（2）纯剪切的主应力：，，，代入式（3）得应变能密度：令：得：§7.10强度理论概述简单应力状态断裂准则：屈服准则：强度条件：（脆性材料）（塑性材料）根据实验结果建立。复杂应力状态复杂应力状态下，有无数多种组合形式，因此很难用实验来测定材料破坏时的极限应力，因此，只能依据分析，推理来建立失效准则。推理思路是企图利用：将简单应力状态看成复杂应力状态的特殊情况，将简单应力状态与复杂应力状联系在一起，然后利用简单应力状态下实验得到的材料破坏时的极限应力，来建立复杂应力状下材料的破坏准则和强度条件。于是对材料的强度失效提出了各种假设，这类假说称为强度理论。§7.11四种常用强度理论应力说强度失效假说应变说应变能说最大拉应力理论（第一强度理论）①这一理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。即认为无论是什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料有关的某一极限值，则材料应发生断裂。断裂准则：强度条件：②讨论：适用于铸铁、硅石、陶瓷、玻璃等脆性材料有拉应力的情况，无拉应力不适用。脆性材料扭转也是沿拉应力最大的斜截石发生断裂，与此理论相符合。2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）①这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极度限值，则材料就发生断裂。②讨论适用于铸铁在拉—压二向应力，且压应力较大的情况。适用于石料，砼等脆性材料的单向压缩。3.最大切应力理论（第三强度理论）①这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大切应力达到与材料性质有关的某一极限值时，材料就发生屈服。②讨论适用于铸钢、铸铜等塑性材料，试验表明，此理论偏于安全。4.畸变能密度理论（第四强度理论）①这一理论认为畸变能密度是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度vd达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。屈服准则：强度条件：②适用于塑性材料，理论与试验符合的更好。5.强度条件的统一表达式：①式中——相当应力。②讨论：eq\o\ac(○,*)铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料通常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理论。碳钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服形式失效，宜采用第三和第四强度理论。eq\o\ac(○,*)无论是塑性材料或脆性材料，在三向拉应力相近的情况下都将以断裂的形式失效，宜采用最大拉应力强度理论。在三向压应力相近的情况下都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。§7.12莫尔强度理论eq\o\ac(○,*)强度条件：eq\o\