6.2.3向量的数乘运算（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在中，D是AB边上的中点，则=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C2．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，可知=，故选：B.3．平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数私，，【答案】D【解析】若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选:D.4．已知向量､，且=+2，=-5+6，=7-2，则一定共线的三点是（）A．A､B､D B．A､B､CC．B､C､D D．A､C､D【答案】A【解析】对于选项A，因为，所以A､B､D共线；对于选项B，因为，所以A､B､C不共线；对于选项C，因为，所以B､C､D不共线；对于选项D，因为，所以A､C､D不共线；故选：A5.在正方形中，为的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题得,.故选：B二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在ΔABC中，AD=2DB，CE=2EA，则（A.DE=13CA−23CB 【答案】ACD【解析】因为ΔABC中，AD=2DB，CE=2EA，

即D，E分别为AB，AC的三等分点．

DE=AE−AD=−13CA−23AB=−13CA−23(CB−CA)=13CA−23CB.故A正确.B错误．

BE=AE−A.DA=a−12b B.BE【答案】BC【解析】如图，DA=−BD−AB=−12BC−AB=−a−12b，故A错误；

BE=12BA+BC=18．已知向量a⇀,b⇀是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a⇀,bA.2a−3b=4e且a+2b=−2e

B.存在相异实数λ,μ，使λa−μb=0

C.ixa+yb【答案】AB【解析】对于选项A，因为向量a，b是两个非零向量．2a−3b=4e且a+2b=−2e，所以a=27e，b=−87e，此时能使a，b共线，故A正确；

对于选项B，存在相异实数λ，μ，使λa−μb=0要是非零向量a，b共线，由共线定理即可成立;

对于选项C，当x+y=0时，xa+yb=0，如果三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知向量a=2e 1−3e 2，b=−6e 1+4e 2，则【答案】−18【解析】因为a→所以−3a→+2b→10．已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.【答案】【解析】因为向量不共线，所以向量均不为零向量，解得,故答案为：；在正方形中，为的中点，若，则的值为_________【答案】【解析】由题得,.故答案为：四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．设是不共线的两个向量,已知，，若A、B、D三点共线,求k的值.【答案】=1，k=－1【解析】由A、B、C三点共线，存在实数，使得∵∴故又a,b不共线∴=1，k=－113．如图，在△ABC中，AB=a，BC=b，AD为边BC上的中线，点G在中线AD上，且AG=2GD，用a，b表示向量AD，AG，GC，GB【答案】AD→=a→+12【解析】由题D为边BC的中点，得到BD→所以AD→因为AG=2GD所以AG→GC→GB→故答案为:AD→=a→+1214．已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，求的值【答案】.【解析】由题作图如图所示，∵，∴，∴，∴，∴.故答案为：.A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]下面四种说法,其中正确的是()A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n2.[探究点三]已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线3.[探究点一]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC等于(A.BC B.12AD C.AD 4.[探究点二]若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.

5.[探究点三]已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.

6.[探究点二]如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b(1)用a,b分别表示向量AE,(2)求证:B,E,F三点共线.7.[探究点一](1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-23b+(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.B级关键能力提升练8.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于()A.14a+12b B.13aC.12a+14b D.23a9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λA.2 B.32 C.3 D.10.已知△ABC的重心为O,则向量BO=()A.23AB+C.-23AB+111.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且AP=mAB+nAD(m,n∈R),则1m+2A.3 B.3+22C.4 D.4+2212.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈[0,+∞A.外心 B.内心C.重心 D.垂心13.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b14.在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MA=,MN=.(用a,b表示)

15.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3OB+2OC=0,则AB=

BC,|AB16.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.用向量a与b表示向量OC.17.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=13BD.求证:M,N,C三点共线C级学科素养创新练18.用向量运算刻画三角形的重心.(1)已知△ABC,求一点G满足GA+GB+(2)求证:满足条件GA+GB+GC=0的点G是参考答案1.AB由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.2.A∵向量BD=BC+CD=2a+4b,AB=a∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.3.C如图,EB+FC=EC+CB4.等腰梯形由已知得AB=-57因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.5.-2因为点P在直线AB上,所以AP=λAB,λ∈R,即OP−OA=λ(OB−OA),即OP=λOB+(1-λ)OA,所以16.(1)解∵AD=12(AB+∴AE=23AD∵AF=12AC=12b,(2)证明由(1)知BF=-a+12b,BE=BA+AE=-a+13(a+b)=-23∴BE=23BF.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.7.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103i+-103(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+211∴y=3x-b=3111a+2118.D∵△DEF∽△BEA,∴DFAB=DEEB=13,∴DF=13AB.∴AF=AD+DF=AD+13AB.∵AC=AB+AD=a,BD=AD−AB=b,联立得AB=12(a-9.CAB+AC=PB又PA+PB+PC=0,即∴AB+AC=-3PA=λAP=-λPA,∴λ=10.C设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以BO=23BE=23×(AE−AB)=2311.C因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则BP=λBC(0<λ≤1),则AP=AB+BP=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB+λ-AB+AD+12AB=1-12λAB+λAD,所以m=1-12λ,n=λ,则1m+2n=11-12λ+2λ=22-λ+2λ12.B题中向量式中有OP,OA两共起点的向量,于是可利用移项得OP−OA=∴AP=λAB|AB|+AC|AC|.令AB|AB|+AC|AC|=AM∵AP=λAM,∴AP,AM∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.13.AB选项A中,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得出4a+b=0,∴b=-4a,且a≠0,所以向量a,b共线.选项B中,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不为0,∴a=μλb,所以向量a,b共线选项C中,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴得不出向量a,b共线;选项D中,∵在梯形中AB与CD不一定平行,∴得不出向量a,b共线.故选AB.14.-12b-a-14a+14b如图,∵四边形∴AD=BC,又AN=3NC,∴A,N,C三点共线,且CN=-14AC,则MA=MB+BA=12DA+BA=-12b-a15.22∵OA-3OB+2OC=0,∴OA−OB=2(OB−OC),∴BA∴AB=2BC,∴|AB||16.解∵AB=a,AO=b,点A是BC的中点,∴AC=-a.∴OC=OA+AC=-17.证明设BA=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知CM=BM−BC又∵N在BD上且BN=13BD∴BN=13BD=13(BC+CD)=13(a+b),∴CN=BN−BC=13(∴CN=23CM,又∵CN与CM有公共点C,∴C,M,N18.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心,延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图,由