高三二轮高效复习讲义数学考前复盘体系建构（四）数列

(四)数列▶对应学生用书P115[小题限时练4](单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·辽宁大连二模)已知等差数列an满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝(A.1 B.3C.4 D.8解析：选C.因为数列an为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝42.(2025·黑龙江大庆模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5＝2S3，a1＋a8＝10，则公差d为(A.14 B.C.23 D.解析：选C.由S5＝2S3，则5(a1＋a5)2＝2×3(a所以5(a2＋d)＝6a2⇒5d＝a2，则a1＝4d，由a1＋a8＝2a1＋7d＝15d＝10，则d＝233.(2025·江西南昌二模)记Sn为等比数列an的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(A.81 B.71C.61 D.51解析：选C.由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，所以S6－S32＝S3S9－S6，即－32＝则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×－3＝－27S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×－3＝81所以S15＝1＋－3＋9＋－27＋81＝4.(2025·江西九江三模)九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑.此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束.请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是()A.736公里 B.724公里C.692公里 D.660公里解析：选C.记第一周跑步量为a1＝2，则S4＝2＋4＋8＋16＝30，所以前4周的跑步量为等比数列，所以a5＝32，则a10＝32＋5×2＝42，a11＝42＋2＝44，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则(32+42)×第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是30＋222＋440＝692公里.5.(2025·湖北武汉模拟)已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝n2n+1A.59 B.C.920 D.解析：选D.因为等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，所以a5因为SnTn＝n2n+1，所以可设Sn＝kn2，Tn＝kn2n+1，则S5－S4＝9k，T所以a5b4＝96.(2025·福建泉州模拟)已知数列an满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n，a2n＋1＝a2n＋cosnπn∈N*，则an的第2A.21012－2 B.21013－2C.21012－3 D.21013－3解析：选B.由a2n＝a2n－1＋2n，则a2＝a1＋2＝2，可得a1＝0，且a2n＋1＝a2n－1＋2n＋cosnπ所以a3＝a1＋2＋cosπ，a5＝a3＋22＋cos2π，a7＝a5＋23＋cos3π，…，a2025＝a2023＋21012＋cos1012π，所以a2025＝21＋…＋21012＋cosπ＋cos2π＋…＋cos1012π＝2(1－21012)1－2＋(－1＋1－1＋1－…－17.(2025·甘肃白银模拟)已知等比数列an前3项的积为27，则a32＋1a4A.34 B.C.3 D.23解析：选D.设等比数列an的公比为q，已知前3项的积为27，即a1a2a3＝27因为a1a3＝a22，所以a1a2a3＝a23＝27，解得a所以a3＝a2q＝3q，a4＝a2q2＝3q2，所以a32＋1a4＝3q2＋13q2＝9q2当且仅当9q2＝13q2，即q2＝所以a32＋1a48.(2025·江西九江二模)已知数列an满足：a1＝1，an＋1＝an－1anA.a10＝4B.an＝2－nC.anD.an解析：选C.设bn＝an＋1，则an＝bn－1.已知an＋1＝an－1an+3，将an＝bn－1，an＋1＝bn＋1－1代入可得：bn＋1－可得bn＋1＝bn－2bn+2＋两边取倒数1bn+1＝bn+22bn＝12＋又因为a1＝1，所以b1＝a1＋1＝2，则1b1＝所以数列1bn是以12为首项，根据等差数列通项公式1bn＝12＋(n－1)×12＝n2，则bn＝2n，所以an＝bn－当n＝10时，a10＝210－1＝－45≠45，所以选项由前面计算可知an＝2n－1≠2－n，所以选项B错误因为an＝2n－1，当n增大时，2n减小，an减小，且n→＋∞时，an→－1，a1＝21－1＝1，所以an有最大值1，由an＝2n－1可知，an＋1－an＝2n+1－1－2n－1＝2n+1－2n＝－2n二、多选题9.(2025·江西南昌三模)已知数列an的前n项和为Sn，数列an+3的前n项积为Tn，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则(A.a3＝12 B.an＝2n＋1－3C.S5＝109 D.Tn＝2解析：选BCD.因为a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，所以a2－a1＝4，a3－a2＝8，解得a2＝5，a3＝13，故A错误；当n≥2时，an－a1＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a3－a2＋a2－a1＝22＋23＋…＋2n－1＋2n＝41－2n－11－2＝2n＋1－4，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝22＋23＋…＋26－15＝4－271－2－15＝an＋3＝2n＋1，则Tn＝22×23×…×2n＋1＝22＋3＋…＋n＋1＝2n(2+n+1)2＝2n(10.(2025·江苏南京二模)已知数列an中，a3＝18，an－an＋1＝－3an＋1an，n∈N，其前n项和为Sn，则(A.a1＝114 B.an＝C.an≥a7 D.S10＜0解析：选ABD.由an－an＋1＝－3anan＋1，得1an+1－1所以数列1an是以－3为公差的等差数列，而1a3＝1a1＋2×(－3)，a3＝18，所以1a1＝14，得1an＝1a1＋(－3)(n－1)＝17－3n，得an＝117令1an＝17－3n＝0，解得n＝173，对于an＝117－3n，a1，a2，a3，a4，a5为正，且依次递增；a6，a7，…，an为负，且依次递增，所以an≥S10＝a1＋a2＋…＋a10＝114＋111＋18＋15＋12－1－14－17－110－113＜114＋111＋18＋15＋12－1211.(2025·内蒙古呼和浩特二模)已知数列an满足a1＝1，a2＝10，且an＋2＝an＋1·an2，若记数列an的前n项的积为Tn，bn＝lgan·an+1，bn的前A.数列bnB.Sn＝2n－1C.当n为奇数时，Tn＝10D.当n为偶数时，Tn＝10解析：选ABD.对于A，由an＋2＝an＋1·an2，bn＝lg(an·an＋1)可得bn＋1＝lg(an＋1·an＋2)＝lgan+1·an+1·an2＝lg(即bn+1bn＝2，又b1＝lga1·a2＝lg可得数列bn是以b1＝1为首项，公比为q＝2的等比数列，可得A正确；对于B，由选项A分析可知，Sn＝1－2n1－2＝2n－对于C，易知bn＝lgan·an+1＝2n－1，所以an·an当n为奇数时，Tn＝a1·a2·a3…an－1·an＝a1·a2·a3·…·an－1·an＝1×1022－1×102对于D，当n为偶数时，Tn＝a1·a2·a3·…·an－1·an＝a1·a2·a3·a4·…·an－1·an＝1021－三、填空题12.(2024·广东茂名模拟)在公差为正数的等差数列{an}中，若a1＝3，a3，a6，32a8成等比数列，则数列{an}的前10项和为解析：设等差数列的公差为d，由题意得a62＝a3×32a8，即(a1＋5d)2＝(a1＋2d)×32(a1＋因为公差大于零，解得d＝3，d＝－38(舍)，所以S10＝10×3＋10×92×答案：16513.(2025·江西九江三模)如图，有一款合成2048游戏.游戏规则如下：在一个4×4的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个方向(上、下、左、右)滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算.每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字(只能是2或4)的小方块.当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为.241681632641024512256128解析：由题意可知算式1024＋1024＝2048只需出现1次，而算式中有2个1024，故算式512＋512＝1024需出现21次，算式256＋256＝512需出现22次，……以此类推，算式4＋4＝8需出现28次，故每次出现的都是数字4，最少合并运算的次数是1＋2＋22＋…＋28＝1×1－291－2答案：51114.(2025·重庆三模)数列an满足an＋1＋－1nan＝3n＋1，则an的前100项和S解析：因为an＋1＋－1nan＝3n＋①当n为偶数时，因为an＋1＋an＝3n＋1，所以an＋2－an＋1＝3n＋4，所以an＋an＋2＝6n＋5，所以a2＋a4＝6×2＋5＝17，所以a6＋a8＝6×6＋5＝41，…所以a98＋a100＝6×98＋5＝593，所以a2＋a4＋…＋a100＝25×17+5932＝7②当n为奇数时，因为an＋1－an＝3n＋1，所以an＋2＋an＋1＝3n＋4，所以an＋2＋an＝3，所以a1＋a3＝3，a5＋a7＝3，…，a97＋a99＝3，所以a1＋a3＋…＋a99＝25×3＝75，所以S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝75＋7625＝7700.答案：7700[大题规范练3](每题10分)1.(2025·福建龙岩二模)已知数列an的前n项和为Sn，且满足nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N，a1＝1(1)求数列an的通项公式(2)若bn＝(－1)n·2an+2anan+1，解：(1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝n(n＋1)，n∈N，得Sn+1n+1－Snn＝1，所以数列Snn是首项为S11＝a1＝1，公差d所以Snn＝n，即Sn＝n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1也满足，所以an＝2n－1，则数列an的通项公式为an＝2n－1(2)由(1)得an＝2n－1，所以bn＝(－1)n4n(2n－1)(2n+1)＝所以Tn＝－1+13＋13＋15－15＋17＋…＋(－1)n12.(2025·湖南邵阳三模)如图，过点P10，0作y轴的垂线交曲线y＝lnx于点Q11，0，曲线在点Q1处的切线l1交y轴于点P2，再过点P2作y轴的垂线交曲线y＝lnx于点Q2，依次重复上述过程，得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pk，Qk；…；Pn，Qn，记点Qk的坐标为(xk，yk)(k＝1，2，…，n)，其中(1)记x1，x2，…，xk，…，xn组成一个数列xn，求xn(2)令Sn＝P1Q1＋P2Q2＋…＋PnQ解：(1)因为y＝lnx，所以y'＝1x，因为y＝lnx在Qkxk，y所以切线lk的斜率k＝y'｜x＝xk＝1xk，所以切线lk的方程为y－yk＝1x又因为点Pk＋1(0，yk＋1)在切线lk上，所以yk＋1－yk＝－1，即lnxk＋1－lnxk＝－1，所以lnxk+1xk＝－1，所以xk+1xk＝1e，因为Q所以xn是以x1＝1为首项，1e所以xn＝1·1en－1＝e(2)证明：Sn＝P1Q1＋P2Q2＋…＋PnQn＝x1＋x2＋x3＋…＋xn＝1＋e－1＋e－2＋e－3＋…＋e1－n3.(2025·辽宁鞍山二模)记数列an的前n项和为Sn，已知an＋Sn＝2n＋5(1)证明：数列an－(2)求数列an的通项公式(3)求数列nan的前n项和T解：(1)证明：因为an＋Sn＝2n＋52所以当n＝1时，a1＝94当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋52所以an－an－1＋an＝2，即an＝1＋12an－1又a1－2＝14≠0所以an－2an所以数列an－2是首项为14，(2)由(1)得an－2＝14×12n所以an＝12n+1(3)由(2)得nan＝n×12n+1＋记Hn＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)×则12Hn＝1×123＋2×124＋3×125＋…＋(n－1)由①－②得12Hn＝122＋123＋124＋…＋12n+1－n×12n+2所以Hn＝1－n+2所以Tn＝1－n+22n+1＋2×n(n+1)2＝4.(2025·黑龙江大庆模拟)设Sn为数列an的前n项和，已知an＞0，4Sn＝an2＋2an＋1，数列bn满足(1)求数列an的通项公式(2)记数列bn的前n项和为Tn，若对于任意n∈N，Tn≥10n＋λ恒成立，求实数λ的取值范围解：(1)令n＝1，可得4S1＝a12＋2a1＋1，故4a1＝a12＋2a1＋1，所以aan＝Sn－Sn－1＝an2+2所以2an＋2an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)，所以an＋an－1an－an－1－2＝0，因为a数列an是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n－1(2)由(1)得an＋1－an＝2n+1－2n－1＝