河北邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

高二下学期第一次月考数学试卷出题人：刘媛审题人：王建洪一、单选题1.已知是的导函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可.【详解】由导数的定义得，所以．故选：D．2.已知等差数列的前项和为，，则（）A.9 B.27 C.36 D.45【答案】D【解析】【分析】等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式化简即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，则.故选：D3.已知，则（）A.0 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先对函数，再将代入即可求得结果.【详解】因为，所以，故.故选：B4.植树节那天，4位同学去植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按照分步乘法计数原理和分类加法原理计算可得.【详解】根据题意，现在记4个人，为3棵树.法一：从人作为元素（主动）来讲，分三类.第一类可以选择1人去种3棵树，一共有4种方法.第二类可以选择2个人去种3棵树，第一步，从4个人中选出2个人，一共有6种选择，分别是第二步，要2人种3棵树，一共有6种选择，分别为选择3棵树中的1棵，选择剩下的2棵，或者选择3棵树中的2棵，选择剩下的1棵，根据分步乘法计数原理，一共有种方法.第三类可以选择4个人中3个人分别种3棵树，分两步完成，第一步，从4个人中选出3人，一共有4种选择，分别是第二步，要3人种3棵树，一共有6种选择，分别为选择3棵树中的1棵，选择剩下2棵中的1棵，剩下最后1棵由种，根据分步乘法计数原理，一共有种方法.综上，根据分类加法计数原理，一共有种方法．法二：从树为元素来讲，完成这件事分三步.第一步，第一棵树有4个人可选，共有4种方法，第二步，第二棵树有4个人可选，共有4种方法，第三步，第三棵树有4个人可选，共有4种方法，据分步乘法计数原理可得一共有种方法，故B正确.故选：B．5.等比数列的前n项和为，若，，则（）A.60 B.70 C.80 D.150【答案】D【解析】【分析】根据等比数列前项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可.【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，又因为，，，则，，所以，.故选：D.6.将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】方法一：利用错位排列公式求解；方法二：通过分类讨论，分1在1号位和不在1号位讨论即可.【详解】方法一：使用错位排列公式.4个元素的错位排列数.方法二：分类讨论.第一步：数字1不能在1号位，有3种放法（比如放在2号位）.第二步：此时考虑2号数字放法.（1）若2号数字放在1号位，则剩下3、4号数字和3、4号位，只有1种错排方法.（2）若2号数字不放在1号位，则问题等价于把2、3、4号数字放在1、3、4号位进行错排（其中2号数字的“位置”是1号位），有种方法.因此，数字1放在2号位时，共有种方法。由对称性，总方法数共有种.故选：C．7.函数在处的切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值．【详解】函数，求导得，在处的切线斜率为，又在处切线与直线垂直，所以，解得.故选：B.8.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.【详解】因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选：A．二、多选题9.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.C.当时， D.当时，取得最大值【答案】BC【解析】【分析】根据，求出，然后逐项分析即可.【详解】时，，时，，综上，，所以，数列是递减数列，故A错误；，故B正确；时，，故C正确；，所以当或时，取得最大值，故D错误；故选：BC.10.已知数列的首项，则（）A.是等比数列B.C.数列的前项和为D.数列的前项和为【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件，利用构造法得到数列是等比数列，进而求出，判断选项B，利用等比数列定义，即可判断选项A，结合分组求和法判断选项C，利用裂项相消法，判断选项D.【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，故B正确；所以，常数，A错误；因为数列的前项和为，所以C不正确；记数列的前项和为，因为，所以，故D正确．11.设函数，则（）A.点是图像的对称中心B.当时，函数有三个零点C.当时，直线不是曲线的切线D.若有三个不同的零点，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D，【详解】对于A：由，所以是图像的对称中心，故A正确；对于B：当时，，所以，令，得或，由有：或，由有：，所以在单调递减，在单调递增，又，所以函数有三个零点，故B正确；对于C：当时，，所以，由，，所以在处的切线方程为：，故C错误；对于D：设的三个零点为，所以，对比项的系数有：，故D正确；故选：ABD.三、填空题12.如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字）【答案】72【解析】【分析】根据图形，首先确定涂有4种涂法，则涂有3种涂法，进而由与、相邻，只与相邻，可以确定、的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案．【详解】根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法，与、相邻，则有种涂法，只与相邻，则有种涂法，所以共有种涂法，故答案为：72．13.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数在上恒成立，再通过分离参数，求出在区间内的最大值，进而确定的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，而，所以.故答案：14.已知数列中，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解.【详解】因为，所以，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，故.故答案为：四、解答题15.已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；（2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案.【小问1详解】因为，所以，故曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】设切点为，则，切线方程为，因为切线经过原点，故，所以，故，切点为，切线方程为，即过原点的切线方程为.16.已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值.【答案】（1）；（2）11.【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比中项性质可得，，再代入通项公式，即可得答案；（2）先求，再利用裂项相消法求，最后求关于的不等式，即可得答案；【详解】解：（1）设的公差为，则∴，∵，∴，∴的通项公式为.（2）由（1）知，，，化为，∴，∴，∴正整数，∴满足条件的的最小值为11.【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量运算、裂项相消法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17.设函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程．（2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程;（2）根据可得，设函数，求导求解最小值.【小问1详解】由，知则,得，故函数在点处的切线方程为，即.【小问2详解】由恒成立，可得，即在恒成立，设，，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以，即的最小值为1，所以，即的最大值为1．18.已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）求的前n项和；（3）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）时，可得，与原式相减可求通项公式；（2）结合（1），利用等差数列的前项和公式，计算可求；（3）利用错位相减法可求得.【小问1详解】因为，①所以当时，，当时，，②由整理得，因为符合上式，所以．【小问2详解】由（1）知，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以．【小问3详解】因为，所以．因，所以，所以．19.已知函数，．（1）求的极值；（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）的极小值为0，无极大值（2）（3）【解析】【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可；（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解.（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，