【课件】一次函数的图象和性质 2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.2一次函数的图象和性质23.2一次函数的图象和性质课时1正比例函数的图象和性质1.能够画出正比例函数的图象，并理解正比例函数的性质．2.会运用正比例函数的性质解决比较函数值大小等基础问题.列表

正比例函数是最基础的一次函数，它的图像是什么形状？又藏着哪些变化规律？

今天我们就通过画图、观察、探究，一起探索——正比例函数的图像与性质.我们之前学习了函数图像的画法，画函数图像的三个基本步骤是什么？分别画出下列正比例函数的图象：

解：函数y=2x中的自变量x可为任意实数.列表如下：

x…－2－1012…y……－4－2024描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.x…－2－1012…y……－4－2024－112x－23－3yO－11－2－3－4234y=2x连线：连接直角坐标系中的点.

分别画出下列正比例函数的图象：（2）y=－1.5x，y=－4x.解：函数y=－1.5x中的自变量x可为任意实数.列表如下：

x…－2－1012…y…31.50－1.5－3…x…－2－1012…y…31.50－1.5－3…－112x－23－3yO－11－2－3－4234y=－1.5x描点→连线.用同样的方法，描出函数y=－4x的图象.y=－4x思考1：观察这4个正比例函数的图像,它们的相同点与不同点是什么？－112x－23－3yO－11－2－3－4234－112x－23－3yO－11－2－3－4234都是经过原点的直线从左向右上升从左向右下降y=2x

y=－1.5xy=－4x

②从左到右看，y随x的增大而增大－112x－23－3yO－11－2－3－4234y=2x

思考2：根据上述发现，你能总结它们的性质吗？思考2：根据上述发现，你能总结它们的性质吗？－112x－23－3yO－11－2－3－4234y=－1.5xy=－4x

②从左到右看，y随x的增大而减小一般地，正比例函数y=kx（k

是常数，k

≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.类别k>0k<0图象图象形状过原点，从左向右上升的直线()过原点，从左向右下降的直线()图象经过的象限第一、第三象限第二、第四象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小正比例函数y=－3x

的大致图象是（）C思考3：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数

y=kx(k≠0)的图象.一般地，过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，即正比例函数

y=kx(k≠0)的图象.两点作图法

|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.

正比例函数的图象和性质y=kx(k

≠0)一条经过原点的直线k>0k<0直线经过第一、三象限直线经过第二、四象限从左到右上升从左到右下降y随x的增大而增大y随x的增大而减小两点法:(0,0)，(1,k)｜k｜越大，直线的倾斜程度越大

A．第二、三象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限

D2.(1)已知正比例函数

y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则

y1

y2.(2)已知正比例函数

y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则

y1

y2.<>3.已知正比例函数

y=mx的图象经过点（m，4），且

y的值随着

x值的增大而减小，求

m的值.解：∵正比例函数

y=mx的图象经过点（m，4），∴4=m·

m，解得

m=±2.又∵y的值随着

x值的增大而减小，

∴m<0，故

m=－2.4.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）m取何值时，函数图象经过第一、三象限？（2）m取何值时，y随x的增大而减小？（3）m取何值时，点(1,3)在该函数的图象上？解：（1）因为函数图象经过第一、三象限，所以2m+4>0，解得m>－2．（2）因为y随x的增大而减小，所以2m+4<0，解得m<－2．

23.2一次函数的图象和性质课时2一次函数的图象和性质1.会画一次函数的图象，理解一次函数与正比例函数图像的平移关系.2.经历从特殊到一般推导一次函数的图像特征，归纳出一次函数的性质.3.利用一次函数的图象与性质解决数学问题．正比例函数解析式：y=kx(k≠0)图象：yxOk>0yxOk<0性质：一次函数解析式：y=kx+b

(k≠0)？？一次函数y=kx+b的图像是什么形状？有什么性质？经过原点和(1,k)的一条直线k>0，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小.探究1：(1)画出函数y=－3x与y=－3x+1的图象.解：函数y=－3x与y=－3x+1中的自变量x可为任意实数.列表表示几组对应值.x…－1－0.500.51…y=－3x……y=－3x+1……31.50－1.5－342.51－0.5－2描点、连线，画出函数y=－3x

与

y=－3x+1的图象.yO－11－2－3234x－112－2y=－3xy=－3x+1探究1：(2)比较这两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果：

这两个函数的图象形状都是_____，并且倾斜程度_____.

函数y=－3x

的图象经过原点，函数y=－3x+1的图象与y

轴交于点________，即它可以看作由直线y=－3x

向____平移____个单位长度而得到.直线相同（0，1）上1yO－11－2－3234x－112－2y=－3xy=－3x+1思考1：联系上面结果，考虑一次函数y=kx+b（k

≠0）的图象是什么形状，它与直线y=kx（k

≠0）有什么关系？一次函数y=kx+b（k

≠0）的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.1.一次函数y=－0.5x+4的图象是由正比例函数_________的图象向____平移____个单位长度得到的一条直线.y=－0.5x上4思考2：我们已经知道一次函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线，由此我们不需要描5个点画图像.选哪两个点最方便、计算最简单？

例

画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象.解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值（如下表）.x01y=2x－1－11y=－0.5x+110.5yO－11－2－323x－112－2y=2x－1

y=－0.5x+1过点(0,－1)与(1,1)画出直线y=2x－1；过点(0,

1)与(1,0.5)画出直线y=－0.5x+1.还有别的方法吗？yO－11－2－323x－112－2先画直线y=2x与y=－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x－1与y=－0.5x+1.y=2xy=2x－1y=2xy=2x－1向下平移1个单位长度y=－0.5xy=－0.5x

+1向上平移1个单位长度

y=－0.5x

y=－0.5x+1例

画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象.探究2：画出函数y=x+1，y=－x+1，y=2x+1，y=－2x+1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律.yO－11－2－323x－112－2

y=－x+1

y=x+1

y=2x+1

y=－2x+1一次函数k值正负性图象经过的象限图象变化规律y=x+1k>0一、二、三从左向右上升y=－x+1k<0一、二、四从左向右下降y=2x+1k>0一、二、三从左向右上升y=－2x+1k<0一、二、四从左向右下降yO－11－2－323x－112－2

y=－x+1

y=x+1

y=2x+1

y=－2x+1

一般地，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k

≠0）具有如下性质：当k>0时，y

随x

的增大而增大；当k<0时，y

随x

的增大而减小.思考：一次函数的解析式y=kx+b中，k的正负对函数图象有什么影响？yO－11－2－323x－112－2

y=－1·x+1

y=1·x+1

y=2x+1

y=－2x+1

A．一 B．二 C．三 D．四

∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限.C一次函数y=kx+b的图象和性质k，b

的符号k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0图象与y轴交点的位置经过的象限性质第一、二、三象限第一、三、四象限正半轴第一、三象限第一、二、四象限第二、三、四象限第二、四象限负半轴原点正半轴负半轴原点直线从左向右上升，y随x的增大而增大直线从左向右下降，y随x的增大而减小

C．函数图象经过一，二，四象限D．函数图象与y轴交于负半轴

∴y随x增大而减小，

∴图象经过第一、二、四象限

C2.关于x

的一次函数y=mx+n

与y=mnx（mn≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）C3.已知关于

x

的一次函数

y=(2m+4)x+(3-n).（1）当

m，n

取何值时，y

随

x

的增大而减小？（2）当

m，n

取何值时，图象经过第一、二、三象限？

23.2一次函数的图象和性质课时3用待定系数法求一次函数的解析式1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式．2.能利用一次函数的解析式、图象和性质综合解决实际问题．问题1：确定正比例函数解析式y=kx(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？正比例函数解析式y=kx(k≠0)中x，

y分别代表自变量和函数值，只要求出k的值即可确定正比例函数的解析式，所以知道1个条件即可.问题2：确定一次函数解析式y=kx+b(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中只要求出k，b的值即可确定一次函数的解析式，所以知道2个条件即可.问题3：已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？探究

已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式.分析：求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k，b

的值（即待定系数）.从已知条件可以列出关于k，b

的二元一次方程组，进而求出k，b.yO－22－44681012x－224－4（2,－4）（－3,11）解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k

≠0）.因为y=kx+b

的图象过点（2，－4）与（－3，11），k=－3，b=2.解这个方程组，得因此，这个一次函数的解析式为y=－3x+2.2k+b=－4，－3k+b=11.所以设列解代待定系数法yO－22－44681012x－224－4（2,－4）（－3,11）步骤核心要求一设二代将已知点的坐标代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）三解解方程（组），求出待定系数的值四写将求出的系数代回所设的解析式，写出最终的函数解析式

像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.

A

函数解析式y=kx+b满足条件的两定点(x1,y1)与(x2,y2)一次函数的图象直线

l选取解出画出选取从数到形从形到数待定系数法的核心，是利用“形（函数图像上的点）”定“数（解析式中的系数）”，是数形结合思想的重要应用例

一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示.（1）求汽车行驶的路程y

关于时间x

的函数解析式；当0≤x

≤2时，汽车行驶的速度较快；当x>2时，汽车行驶的速度较慢.分析：对0≤x

≤2和x>2两个时段分别讨论解：当0≤x

≤2时，函数图象是经过原点和点A

的直线的一部分，设函数的解析式为y=k1x.因为它的图象过点A（2，180），所以180=2k1，解得k1=90.因此，当0≤x

≤2时，函数的解析式为y=90x.（1）求汽车行驶的路程y

关于时间x

的函数解析式；当x>2时，函数图象是经过A，B

两点的直线的一部分.设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A，B

的坐标分别代入y=k2x+b2，得k2=60，b2=60.解得2k2+b2=180，3.5k2+b2=270.因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60.综上，当0≤x

≤2时，y=90x；当

x>2时，y=60x+60.分段函数（1）求汽车行驶的路程y

关于时间x

的函数解析式；（2）记者出发后多长时间到达采访地？解：由图象可知，当y=360时，x>2.由360=60x+60，解得x=5.因此，记者在出发5h后到达采访地.当0≤x

≤2时，y=90x；当

x>2时，y=60x+60.

2.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示.若该用户本月用水18吨，则应交水费