2025-2026学年下学期浙江省强基联盟高三数学5月联考试卷（含解析）

2026年强基联盟高三5月联考数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合M={x∣−1A.{2,3}B.{2.数据1,2,4,5,7,9的第60百分位数为A.4B.5C.6D.73.下列函数中,最小正周期为π且为偶函数的是A.y=sinxB.y=sin4.下列函数所表示的曲线中,存在切线与x轴平行的是A.fx=sinx+xB.5.已知l为直线，α为平面，则下列条件是“l⊥αA.l垂直平面α内的两条直线B.l垂直平面α内的无数条直线C.l的方向向量垂直于平面α的法向量D.l的方向向量平行于平面α的法向量6.在二项展开式m+x8=a0+a1xA.-2或7B.2或7C.-2或14D.2或147.已知O为△ABC的外心,且满足AO=AB+2ACA.2B.5C.6D.78.如果一双曲线的实轴与虚轴分别为另一双曲线的虚轴与实轴,则这两条双曲线互为共轭双曲线.已知C1,C2互为共轭双曲线,且C1,C2的离心率分别为eA.1B.1+22C.2D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知抛物线y2=4x与圆x2+yA.圆心坐标为−1,C.抛物线的准线与圆相切D.过抛物线焦点的直线与圆相交10.如图,在正三棱台ABC−A1B1C1中,D为B1C1的中点,P是A1D上的动点(不含端点),记直线PB与直线BC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角PA.β<αC.α>γ11.我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81,记为a1,用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长81×1−13,记为a2,再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长54×1+13,记为aA.a5=C.∃k∈N∗，使得:a2k−三、填空题:微信公众号:浙江省高中数学本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复平面内,i为虚数单位,向量AB对应的复数是4+5i,向量BC对应的复数是3−i,则向量13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c14.设关于x的方程12x2+e2x−7xex=0(e为自然对数底数)四、解答题:本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足(1)求a1(2)求i=116.(15分)信息安全是互联网时代最重要的安全之一,我国自主研发的量子通信保密传输系统,依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中,量子信道成功密钥生成的概率为34,经典信道完成信息匹配的概率为56,且两个信道工作相互独立.(微信公众号:浙江省高中数学)只有当量子信道密钥生成成功,且经典信道信息匹配成功,则本次有效密钥分发成功,(1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率；(2)若该系统独立进行4次密钥分发，记X为有效分发成功的次数，求X的数学期望EX(3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率Z(单位:%)服从正态分布Z∼N99,0.04.若准确率不低于99.4%为“最优传输”,估算1000附:若X∼Nμ,σ217.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，且CD⊥平面PAD,(微信公众号:浙江省高中数学)若E,F,G分别为PC,PD(1)求证:直线EF与直线GH为异面直线；(2)求直线GH与平面EFG所成角的最大值.18.(17分)已知函数fx(1)若m=1，求曲线y=fx(2)若a,b,c∈R为函数y①求实数m的取值范围；②求16a+19.(17分)P为椭圆C:x2a2+y2=1a>1上异于顶点的动点，且C的离心率为32，F1，F2分别为C的左、(1)求C的方程；(2)求证:sinα(3)设点Tt,0−2<t<0，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA,MB于点D,E.问是否存在t数学试题参考答案与评分标准一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBBADDCB1.C根据集合的运算，易得选C.2.B因为6×60%=3.63.B因为选项A中的函数是奇函数,选项C中的函数不是周期函数,选项D中的函数的周期为2π,由排除法知选B.4.A题意转化为f′x=0在其定义域内有解.对选项A,由f′x=cosx+1=0,可得无数个解,如x=π,正确;对选项B,由f′x=ex+1=0,无解,错误;5.D对选项A，缺少“相交”两字，只是必要不充分条件，错误；对选项B；只是必要不充分条件，错误；对选项C，可得l//α，或l⊂6.D可得a0=C80m8=m8,a1=C81m7=8m7,a2=7.C解析1:由AO=AB+2AC,得AO⋅AB=同理由AO⋅AC=AB+2AC⋅AC,得解析2:不妨设A−1,0,Bcosα,sinα,Ccosβ,sinβ,则有18.B解析1:依题意,可得1e12+1e22=1,注意到e1>1,e解析2:设x=1e1,y=1e2,则x2+的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。91011BCDADABD9.BCD对选项A，化圆为标准方程x−12+y2=4，得圆心坐标为1,0，故选项A错误；对选项B，把y2=4x代入x2+y2−2x−3=0，得M1,2，N1,−2，所以10.AD如图，作出α=∠PBC，β=∠PBO，γ=∠PHO，易得sinβ=sinαsinγ，所以β<α,β<γ，故选项A正确，选项D正确；因为当三棱台趋近于三棱柱，且P点趋近于D点时,此时α<90∘,γ→90∘,可得α<γ;当三棱台的高趋近于0时,且P点趋近于11.ABD对选项A,因为a3=72,a4=72×23=48,a5=48×43=64,故选项A正确;对选项B,因为a2k=a2k−1×1−13,取k=4三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.7+13.15716 asinA=bsinB得2sinA=14.−2ln12由12x2+e2x−7xex=0,两边同除以xex,得12xex+exx−7=0;令t=xex,则12t+1t−四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15.解:(1)在Sn=an+12nn−1中，令(2)当n≥2时,由已知,得Sn=Sn−Sn所以1Sn所以i=1由题意知A与B相互独立,且PA所以信息单次有效分发成功的概率为:PAB=(2)由题意，可知X∼B所以EX=(3)因为Z∼N99,0.04，所以μ=99所以1000次密钥分发中,可用于“最优传输”的次数为1000×0.02275≈22次.15分17.解:(1)证明:假设直线EF与直线GH不是异面直线,则存在平面α,使得EF⊂α又因为GH⊂平面ABCD,所以平面α∩平面另一方面,因为E,F分别为PC,PD又因为DC⊂平面ABCD,EF⊄所以EF//平面ABCD,5又因为EF⊂平面α,所以EF所以DC//GH所以直线EF与直线GH为异面直线.7分(2)取AD中点为O，连接PO,OG；易得PO⊥平面故可以O为原点，OA，OG，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系，则G0,4,0,D−2,0,0,设H2,λ,0设平面EFG的一个法向量为n=由n⋅即−取z=1有n记GH与平面EFG所成角为θ,则sinθ所以GH与平面EFG所成角的最大值为π3.1518.解:(1)由m=1，得f所以f′x故所求的切线方程为y−f1=f′(2)①因为f′若m≤2,则f′x≥0恒成立,故y=f若m>2,则f′x=x2−mx故fx在0,x1,x因为f1=0,所以又因为当m>2时,令gm=em−所以gm在2,+∞上递增,且同理fe−m=e−m−1e−m+m2<0,所以fx在在0,x1和x2,+∞上各有一个零点,又1显然是y= fx的一个零点.综上,当函数y=fx有三个零点时,可得实数②由①知,b=1,又因为即当fa=0