北京市顺义区第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市顺义区第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.“点A在直线l上，l在平面α内”用数学符号表示为

（

）A.A∈l，l∈α B.A⊂l，l⊂α C.A⊂l，l∈α D.A∈l，l⊂α2.已知平面向量，且，则的值为（

）A. B. C.0 D.23.在中，，则（

）A.2 B. C. D.44.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（

）

A. B. C. D.5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则6.在中，，，，则等于（

）A. B. C. D.7.在中，“”是“”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.在中，，设，则（

）A. B. C. D.19.海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（

）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里10.祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一,距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱,分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱,寓意一年四季;中圈有12根约为13米的金柱,代表十二个月;外圈有12根约为6米的檐柱,象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱,形成的几何体ABC-(图2)中,AB=AC8米,BAC,则平面与平面ABC所成角的正切值约为()

A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在中，，则

．12.已知向量，则向量

，向量夹角的大小为

．13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为4，高为6，圆锥的高为3，则这个木质工艺品的体积为

；表面积为

．

14.如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为

．

15.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，有以下四个说法：①可能与相交；②与不可能平行；③与是异面直线；④三棱锥的体积为定值；其中，所有正确说法的序号是

．

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)已知，与的夹角为．(1)求；(2)求；(3)当为何值时，？17.(本小题12分)在中，．(1)求；(2)若，求边．18.(本小题12分)如图，直三棱柱中，D是的中点，四边形为正方形.(1)若为等边三角形，，直接写出直三棱柱的体积.(2)求证：平面；(3)在第一问的条件下，直接写出异面直线与所成角的余弦值.19.(本小题12分)在中，．(1)求；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题14分)如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证：(1)平面平面；(2)是线段的中点；(3)平面．21.(本小题15分)已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．(1)设，直接写出的所有可能结果；(2)求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；(3)设，求的聚数的所有可能结果．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】或

12.【答案】5

；

13.【答案】

；

；

；

；

；

；

14.【答案】

15.【答案】①③④

16.【答案】解：（1）因为，与的夹角为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，则，即，解得.

17.【答案】解：（1）由可得,由于,故，（2），故，进而，故

18.【答案】（1）若为等边三角形，，四边形为正方形，直三棱柱的体积为；（2）如图，连接，交于点E，再连接.由已知得，四边形为正方形，所以E为的中点，∵D是BC的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（3）由（2）可知，，故所求为，若为等边三角形，，四边形为正方形，所以正三棱柱的三个侧面是全等的三个正方形，则，，因为是三角形的中位线，所以，所以.

19.【答案】解：（1）由正弦定理和可得，由于，故.（2）若选条件①：；由于，此时，此时无法构成三角形，若选条件②：；由于，故，因此，，故，若选条件③：．由，又，则，由余弦定理可得，即，解得（负值舍去），故.

20.【答案】解：（1）因为为正方形，则，且平面，平面，可得平面，又因为为平行四边形，则，且平面，平面，可得平面，且，平面，所以平面平面.（2）设，连接，因为平面，平面，平面平面，则，平行四边形中，，又因为，则为平行四边形，则，且为中点，则，即，所以是线段的中点.（3）因为为正方形，则，，且平面平面，平面平面，平面，则平面，由平面可得，又因为平面平面，平面平面，平面，则平面，由平面可得，且，平面，所以平面.

21.【答案】解：（1）因为，则，，，所以或或.（2）设，，则，，，，，，，所以，，，所以，即，所以维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量，这样经过次变换后变成一个数，所以对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；（