八年级数学下册专题06 几何最值四大模型（原卷版）

专题06几何最值四大模型

模型速览

模型一：轴对称最值模型模型二：直角之最值模型

模型三：费马点最值模型模型四：面积法求定值

模型解密

模型一：将军饮马问题

1.

己知：如图，定点A、B分布在定直线1两侧；

要求：在直线1上找一点P,使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线1于点P,点P即为所求，

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在1上任取异于点P的一点P',连接AP'、EP',

K、加

\/在AABP'中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP'>AP+BF

\</

B・・・P为直线AD与直线1的交点时，PAiPB最小.

已知：如图，定点A和定点B在定直线1的同侧

要求：在直线1上找一点P,使得PA+PB值最小

（或AABP的周长最小）

I

解：作点A关于直线1的对称点A2连接A6交1于P,

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线1为线段A/V的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA',要使PA+PB最小,则

需PA—PB值最小，从而转化为模型1.

模型二：费马点

【费马点问题】

问题：如图1,如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析：

如图1,把△APC绕C点顺时针旋转60。得到△APC,连接PP：则aCPP为等边三角形,

CP=PP',PA=P'A',

.\PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC'.

•・•点A，可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60。而得的定点，BA，为定长

・•・当B、P、P\X四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.最小值为BA.'

【如图1和图2,利用旋转、等边等条件转化相等线段.】

:.ZAPC=ZAPC=180。・NCPP=180°-60°=120°,

ZBPC=1800-ZPTC=1X00-60°=120°,

ZAPC=360°-ZBPC-ZAPC=360°-120°-l20°=120°.

因此，当△ABC的每一个内角都小于120。时，所求的点P对三角形每边的张角都是120。；

当有一内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点.费马点问题告诉我们，存在

这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.

【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线

段.

【知识应用】两点之间线段最短.

直|典例精讲

模型一：轴对称最值模型

1.（春•庐江县期末）如图，在菱形A5CO中，AC与3。相交于点O,AB=4,

8。=4«,E为A8的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值

为（）

3D

C

A.4B.275C.2V7D.8

2.（2022•埔桥区校级月考）如图，已知菱形ABC。的周长为16,面积为8我,

E为A8的中点，若尸为对角线BQ上一动点，则EP+AP的最小值为（）

3.（2022春•裕华区校级期末）如图，在菱形A8co中，NO=135"，AO=3/L

CE=2,点P是线段AC上一动点，点歹是线段A5上一动点，则PE+PR的

4.（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABC。中，点£、F

分别是边3C、CZ）上的动点，且连接4EDE,则3F+。七的最小

值为（）

A.273B.275C.如D.475

5.（2023•烟台一模）如图，在矩形中，48=12,AO=10,点£在4。

上，点尸在8C上，且AE=CR连结CE,OR贝ijCE+O”的最小值为（）

C.24D.22

模型二：直角之最值模型

6.（2023春•河东区期中）如图，在RtZVIBC中，NBAC=90°,且BA=6,AC

=8,点。是斜边上的一个动点，过点。分别作于点M,D/V1

AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为（）

A.5B.3.6C.2.4D.4.8

7.（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形A8C力中，E,尸分别是边CO,BC

上的动点，连接AE,EF,G,"分别为AE,E厂的中点，连接G从若NB

A.V3B.亚C.VeD.迎

22

8.（2023秋•石景山区期末）如图，£是正方形A8C。内一点，满足N4£8=90°,连接CE.若

AB=2,则CE长的最小值为.

9.（2023秋•洪洞县期中）如图,在△ABC中，98=BC=10,AC=12,点。，9分别是AB,

8C边上的动点，连结DE,F,M分别是AQ,QE的中点，则尸M的最小值为（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

10.（2023秋•头屯河区期末）正方形A8C。的边长为4,点E、F分别是BC,CO上的一动

点，且8E=CR连结AE,BF,两线交于点P,连接CP,则CP的最小值是（）

A.2V5-2B.3V2-2C.2V2D.V2+2

11.（2023秋•海珠区期末）如图，在矩形"CO中，/W=6,8C=8,点七是AO边上的动

点，点M是点A关于直线8E的对称点，连接MZ）,则MO的最小值是（）

12.（2023秋•建湖县期中）如图，ZXABC中NC=90°,AC=8,BC=6,线段。石的两个

端点力、E分别在边AC、8c上滑动，且。七=6,若点M、N分别是4B、OE的中点，

则MN的最小值为（）

模型三：费马点最值模型

13.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形4BCO的边长为6,点M是对角线AC上的一动

点，且NA8c=120°,则MA+M8+MD的最小值是（）

A.3^3B.3+3A/3C.6+、GD.6>/3

14.（2023秋•太和县期末）如图，尸是边长为1的正方形ABCQ内的一个动点，且满足/

PBC+ZPDC=45°,则CP的最小值是（）

A.2-V2B4D.近-1

模型四：面积法求定值

15.（2023秋•东河区期末）如图，矩形48C。的对角线AC,BD交于点、O,A8=3,BC=4,

过点O作OE_LAC,交AD于点E,过点E作EF_LBD,垂足为F,则OE+EF的值为（）

B.争"I

16.（2023春•东昌府区期中）如图，菱形ABC。中，对角线AC=6,BD=8,M、

N分别是8C、CO二的动点，P是线段8。上的一个动点，则尸M+PN的最小

值是（）

A-ic-fD玛

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1.（2023•深圳模拟）如图，点E是正方形/WC。内部一个动点，且A£>=£4=8,BF=2,

则。E+C~的最小值为（）

AD

E,

--------------------

A.10B.3VHC.7V2D.V97

2.（2023春•祁江区校级期末）如图，在正方形A8CQ中，点E、F、G分别在AB、AD.

CD上，AB=3,AE=i,DG>AE,BF=EG,BF与EG交于点P.连接。P,则D尸的

最小值为（）

A.V13-1B.2^/13C.V13D,2^-2

3.（2023春•南谯区期末）如图，在矩形ABCD中，边A&A。的长分别为4和3,点E在

CO上，点产在A8的延长线上，且EC=BF,连接FC，当点E在边CD上移动时，AE+FC

的最小值为（）

AD

A.7B.2VI3C.10D.^73

4.（2023•德阳）如图，团A8CZ）的面积为12,AC=BD=6,AC与8。交于点。，分另।.过点

C,D作BD,AC的平行线相交于点凡，点G是CO的中点，点尸是四边形OC尸。边上

的动点，则PG的最小值是（）

_________D

A.1B.近C.2D.3

22

5.（2023春•常州期末）如图，在菱形ABC。中，N8=60°,AB=6,点、E、尸分别在边

AB.A。上，且则EF的最小值是（）

B.3C.273D.3^3

6.（2023春•遵化市期末）如图所示，在矩形A8C。中，A8=4,AD=3,矩形内部有一动

点P满足S△必6=工用影八8C。,则点尸至IJA,8两点的距离之和PA+PB的最小值为（）

2713C.2V2D.4^2

7.（2023春•长丰县期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点,

且BE=BC,点P是CE上一动点，则点P到边BD,BC的距离之和PM+PN的值（）

A.是定值4加B.是定值8

C.有最小值4加D.有最大值8

8.（2023春•庐江县期末）如图，在矩形A4CO中，A8=6,A£>=5,点尸在AO上，点Q

连接CP,QD,则PC+QD的最小值为（)

12C.13D.14

9.（2023•福田区校级三模）如图，点M是矩形A8C。为一个动点，AB=AM=6,BC=4,

点N为线段AM上一点，且AN=2W,连接BN和CM,则BN+CM的最小值为（）

3

c.3vnD.4^2

10.（2023•河东区一模）如图，在边长为2的正方形A8CQ中，E、尸分别为OC、8C上的

点，且DE=CF,连接。尸，BE,求OP+8E的最小值为（）

A.2^2B.2遥C.4D.2+2近

II.（2023春•梁园区期末）如图，在矩形/WC。中，AB=2,AD=\,石为人B的中点，F

为EC上一动点，P为DF中点,连接PB,则的最小值是（）

A.2B.4C.V2D.2近

12.（2023春•江阴市期末）如图，石为正方形ABCO中8C边上的一点，旦A8=12,BE=

4,M、N分别为边CO、AB上的动点，且始终保持MN1AE,则AM+NE的最小值为（）

A.8B.873C.875