初中数学知识点梳理专项训练 与圆有关的计算(含答案)

初中数学知识点梳理专项训练与圆有关的计算

基础过关

1.（2022•丹东）如图，A5是0。的直径，C是。O上一点，连接AC,OC,若A8=6,NA

=30°,则标的长为（）

A.6nB.2n

【答案】D

【解答】解：•・•直径相=6,

・••半径OB=3,

•・•圆周角NA=30°,

・•・圆心角NBOC=2NA=60°,

二标的长是6°兀乂3_=口,

故选：/）.

2.（2022•广西）如图，在△ABC中，CA=CB=4,NBAC=a,将aABC绕点A逆时针旋

转2a,得到AAB'C',连接小。并延长交4B于点。，当"O_LAB时，而尸的长是（）

Df

8®蚂

C.D.

99

【解答】解：・・・CA=C8,CD1AB,

：.AD=DB=lABf.

2

AZAB'0=30°,

・・,a=30°,

♦・'4C=4,

.•.A£>-AC・cos30°-4X返=20,

2

・•.AB=2AD=4百，

二瓦尸的长度/=亚二上0义兀X4百一4点仃

180-180

故选：B.

3.（2021•广州）一根钢管放在V®架内，其横截面如图所示,

纲管的半径是24cm,若N

ACB=60°,则劣弧A3的长是（）

B

A.8TR7〃B.1bnctnC.32ncmD.192ncm

【答案】B

【解答】解：由题意得：CA和CB分别与。。相切于点A和点8,

・・・OA_LCA,OBVCB,

：,ZOAC=ZOBC=90°,

VZ4CB=60°，

/.ZAOB=120°,

,・.120冗乂24=]6口（切），

180

故选:B.

4.（2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到用也有观赏路（劣

弧A8）和便民路（线段44）.已知A、B是圆上的点，。为圆心，NAOB=120°,小强

从A走到从走便民路比走观赏路少走（）米.

A.67T.6fB.6TT-9V3C.127T.94D.12TT-18^3

【答案】D

【解答】解：作OC_LA8于C,如图,

则AC=AC,

*：OA=OB,NAOB=120°，

，/4=/〃=-l（180°-/AOR}=30°,

2

在RtZ\AOC中，OC=2OA=9米，

2

AC=yj182_g2=米，

：,AB=2AC=18«米，

又•・•标的长=侬乂兀X至二12几米，

180

・•・走便民路比走观赏路少走（12兀-18百）米，

故选：D.

5.（2022•资阳）如图.将扇形AO8翻折，使点A与圆心。重合，展开后折痕所在直线/与众

交于点C，连接AC若。4=2,则图中阴影部分的面积是（）

HV3

3F■

【答案】B

【解答】解：连接CO,直线/与AO交于点。，如图所示,

•・'扇形AO8中，OA=2,

.・.OC=OA=2,

•・•点A与圆心O重合，

：,AD=OD=\,CDLAO,

：.OC=AC,

：,OA=OC=AC=2,

••.△Q4C是等边三角形，

.*.ZCOD=60o,

•・'C7)_LOA,

=22

CDVOC-OD=«2_]2=«,

・•.阴影部分的面积为：亚』一丝反="・«,

36023

6.（2021•宁夏）如图，已知。0的半径为1,AB是直径，分别以点4、8为圆心，以48的

长为半径画弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（）

A-竿B.半《C.好飞D.等一加

3633

【答案】A

【解答】解：连接BC,如图，

由作法可知AC=8C=AB=2,

••・△AC6为等边三角形，

/.ZBAC=60°,

•IS，:形8C=S后形R4C-S:\AliCf

・•・图中阴影部分的面积=4S弓形BC+2S®C-SO。

=4（叉形me-S”"c）+2S^ABC-SQO

=4S5彬BAC-2S^ABC-SQO

=4X607Tx^2.-2X^-X22-nXI2

3604

=苴TT-2V3.

3

故选：A.

7.：2021•兴安盟）如图，两个半径长均为血的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇

形CQQ的圆心C是标的中点，且扇形CFD绕着点C旋转,半径4£、C匹于点G,半径BE、

C。交于点〃，则图中阴影面积等于（）

TTTT

A.—_1B.—-9C.Ti-1D.ir-2

22

【答案】D

【解答】解：两扇形的面积和为：侬冗•（亚）2二口,

360

过点。作CM_LAE,作CALL8E,垂足分别为M、N,

则四边形EMCN是矩形，

•・・点C是标的中点，

•*EC平分N4EB,

:,CM=CN,

・•.矩形EMCN是正方形，

•:NMCG+/FCN=9U0,4NCHMFCN=9G,

/./MCG=/NCH,

在△CMG与中，

rZMCG=ZNCH

<CM=CN，

ZCMG=ZCNB=90°

:.△CMGWRCNH（ASA）,

・•,中间空白区域面积相当于对角线是正的正方形面积，

・•・空白区域的面积为：-lxV2：<V2=l,

2

・•・图中阴影部分的面积=两个扇形面积和-2个空白区域面积的和=11-2.

故选：。.

8.（2021•柳州）如图所示，点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段C4绕点C按顺

时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCQE的边BE上时，记为点A',则此时线段C4扫

过的图形的面积为（）

A.4^3B.6C.匡兀D.冬冗

33

【答案】D

【解答】解：由题意，知AC=4,80=4-2=2,NA'8c=90°.

由旋转的性质，得A'C=4C=4.

在RtZXA'5c中，cosZACAf=-^-=1.

A7C2

AZACA'=60°.

2

・•・扇形ACA'的面积为60-X4=©々

3603

即线段C4扫过的图形的面积为

3

故选：D.

9.（2022•济宁）已知圆锥的母线长8刖，底面圆的直径6刖，则这个圆锥的侧面积是（）

A.96TTC/M2B.48Tre"?2C.33ncm2D.24TT（?/?I2

【答案】D

【解答】解：•・•底面圆的直径为6c/〃，

二底面圆的半径为3c〃?，

・•,圆锥的侧面积=2X8X2irX3=24nc7w2.

2

故选：。.

10.（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,它的侧面展开图的圆心角是（）

A.90°B.100°C.120°D.150°

【答案】C

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：27Txi=211,

设圆心角的度数是〃度.

则吆2£l=2e

180

解得：〃=120.

故选：C.

11.（2022•无锡）在RtAAbC中,ZC=90°,AC=3,fiC=4,以AC所在直线为轴,把

△A6C旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）

A.12nB.15nC.20TTD.24IT

【答案】C

【解答】解：在中，ZC=90°,AC=3,8c=4,

'AB=A/AC2+BC2=V32+42=5,

由己知得，母线长/=5,半径一为4,

・•,圆锥的侧面积是S=TT/r=5*4XTc=2OT[.

故选：C.

12.（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部

分是圆锥，中间是圆柱（单位：〃？相）.电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000

个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（TT的值取3.14）（）

A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000

【答案】A

【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3〃?,

圆锥的高为04〃，

则圆锥的母线长为：^0.32+0.42=0-5W-

・•・圆锥的侧面积Si=nX0.3X0.5=015n（nr）,

,・'圆柱的高为Im.

圆柱的侧面积S2=2nX0.3Xl=O6n（nr）,

・•,浮筒的表面积=2&+S2=0.9n（机2）,

•・‘每平方米用锌0.1依，

二一个浮筒需用锌：0.91TX0.1依，

・11000个这样的锚标浮筒需用锌：1000X0.911X0.1—9071=282.6（年）.

故选：A.

13.（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完

成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费

用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（I）

所示，已知圆锥体底面半径是6cm,高是6（工〃；圆柱体底面半径是3c切，液体高是7cm.计

时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）

【答案】B

【解答】解：如图:

圆锥体底面半径是6c/n,高是，

••.△ABC是等腰直角三角形，

••.△COE也是等腰围角三角形，即。。=。七，

由已知可得：液体的体积为ITX32X7=63TT（CW3）,圆锥的体积为X62X6=72TT（C7K3）,

3

时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72n-6371—911(o/),

设计时结束后，“沙漏”中液体的高度A。为xcm,则CO=OE=(6-x)cm,

IT*(6-x)2*(6-x)=9TT,

3

•I(6-x)3=27,

解得x=3,

・•,计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm,

故选：B.

14.(2022•绵阳)在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世

界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，将“雪花”图案

1边长为4的正六边形43。£尸)放在平面直角坐标系中，若48与x轴垂直，顶点A的坐

标为(2,-3),则顶点。的坐标为()

A.(2-2^3,3)B.(0,1+2^3)C.(2・«,3)D.(2-2^3，2+V3)

【答案】A

【解答】解：如图，连接8。交C/于点M,则点8(2,1),

在中，8c=4,ZBCM=lx\20°=60°,

2

：,CM=1BC=2,BM=®BC=2®,

22

・•・点。的横坐标为-(2V3-2)=2-2V3,纵坐标为1+2=3,

二点C的坐标为(2-2«,3),

故选：A.

15.（2022•内江）如图，正六边形A8COE尸内接于。0,半径为6,则这个正六边形的边

心距OM和标的长分别为（）

A.4,—B.3正，TTC.2心如D.3«,2n

33

【答案】D

【解答】解：连接OB、OC,

•・'六边形A8COM为正六边形，

・•・N/3OC=360°=60。,

6

•：OB=OC,

••・△80C为等边三角形，

：,BC=OB=6,

,:OMA-BC,

工BM=1BC=3,

2

^W=VOB2-BM2=V62-32=3A^'

标的长为:60兀X6=2”

180

故选：D.

16.（2022•青海）如图，从一个腰长为60c•/〃，顶角为12。°的等腰三角形铁皮。4B中剪出

一个最大的扇形OCD,则此扇形的弧长为cm.

【解答】解：过。作OE_LA5于E,当扇形的半径为。£时扇形OC。最大,

••'04=08=60。〃，ZAOB=nO0,

・・,NA=N8=30°,

：,OE=lOA=30cm,

2

・兀・

・•・弧CQ的长=.12°30=201r(.〃?，

180

故答案为：207T.

17.（2022•广州）如图，在△ABC中，A3=4C,点。在边ACJk,以。为圆心，4为半径的

圆恰好过点C,且与边48相切于点。，交BC于点、E,则劣弧正的长是.（结果保

留TT）

【答案】2n

【解答】解：连接O£）,OE,

OC-OE,

：.ZOCE=ZOEC,

\'AB=AC,

/.ZABC=NACB,

•・'NA+NABC+NACB=NCOE+/OCE+/OEC,

：,ZA=ZCOE,

•・'圆。与边48相切于点。，

・・・4。。=90°,

・・,NA+NAOO=90°,

・*NCOE+NAOO=90°，

・・,NDOE=1800-(ZCOE+ZAOD)=90°,

・•・劣弧加的长是却XxX2=2n.

180

故答案为：27T.

18.（2022•河南）如图，将扇形408沿08方向平移，使点。移到08的中点。'处，得到

扇形A'O'R'.若/。=9。°,04=2,则阴影部分的面积为.

【解答】解：如图，设O'A'交标于点八连接。7.

：.0T=200',

•・'/oo'r=9(r，

・・,N0'TO=30°,/TOO'=60°，

AB-(S4］形O7B-S^OTO)

90・兀X22.’60•兀"2

-lxixV3)

3603602

=工+近.

32

故答案为：三+今.

32

19.（2022•广元）如图，将。。沿弦人8折叠，AE恰经过圆心O,若AB=2«,则阴影部分

【解答】解：如图，过点。作AB的垂线并延长，垂足为C,交0。于点。，连结40,AD,

根也位役定理"：八「—\/>/：?•

2

•・•将O。沿弦人4折叠，AB恰经过圆心。,

/.OC=CD=lr,

2

・・."=_104,

2

・・,NOAC=30°,

・・.NAOO=60°,

,：0A=0D.

••・△A。。是等边三角形，

ZD=60°，

在Rt"OC中，AC2+OC2=OA2.

・•・(«)2+(lr)2=落

2

解得：r=2,

\'AC=BC,NOCB=NACO=90°，0C=CD,

AAACD^ABCO(SAS)，

・•・阴影部分的面积=$冽泊/W=aJx7TX22=22L.

36003

故答案为：空.

3

20.（2022•重庆）如图，菱形A4CD中，分别以点A,C为圆心，AD,C8长为半径画弧,

分别交对角线4c于点£,F.若A8=2,ZBAD=60°,则图中阴影部分的面积

为.（结果不取近似值）

E

B

［答案］叱2.

【解答】解：如图，连接80交AC于点0，则

•・'四边形ABC。是菱形，ZBAD=60°,

・・,NBAC=NACO=30°，AB=BC=CD=DA=2,

在RtZXAOB中，AB=2,N8AO=30°,

:.BO=1AB=\,AO=®AB=M,

22

：.AC=2OA=2y/3,40=280=2,

**•S卷>ABCD——AC*BD—2>J-3，

2

•♦S用影部分=5菱形ABC。-2S同形AOE

=21607Tx22

360

-6V3-2K

3

故答案为：叱2兀

21.（2022•聊城）若一个圆锥体的底面积是其表面积的工，则其侧面展开图圆心角的度数

4

为

【答案】120：

【解答】解：设底面圆的半径为广，侧面展开扇形的半径为R,扇形的圆心角为〃°.

由题意得品圆=nr2，

/底出处长=211「»

•..这个圆锥体的底面积是其表面积的工,

4

**•Sw彩—3s底面—，

/密形弘长=la而=2TT〃.

由S中彩=』/立形4口X3ir/"——X2TI/,XR,

22

故R=3r.

由/―长=嘤得：

180

2irr=n2L2£3r,

180

解得〃=120.

故答案为：120°.

22.（2022•黑龙江）已知圆锥的高是12,底面圆的半径为5,则这个圆锥的侧面展开图的

周长为____.

［答案］26+1（hr

【解答】解：•・•圆锥的底面半径是5,高是12,

・•,圆锥的母线长为13,

・•・这个圆锥的侧面展开图的周长=2X13+211X5=26+1071.

故答案为26+lOn.

23.（2022•贡井区模拟）如图，正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向

外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）

是.

【答案】（6V3-7T）

【解答】解：6个月牙形的面积之和=3n-（22TT-6xlx2xV3）=6V3-n,

2

故答案为：6^3~IT-

能力提升

24.（2022•青海）如图，A8是。0的直径，AC是。。的弦，A。平分NC48交。。于点Z）,

过点。作OO的切线石广，交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点E

（1）求证:AF1EF；

（2）若0=1,AC=2,AB=4,求BE的长.

：,ZFAD=ZOAD,

\OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：,ZFAD=ZODA,

A0D//AF,

〈E/是。0的切线，。。是OO的半径，

：.OD±EF,

：.AFlEFt

（2）解：连接CO并延长交。。FK,连接。K,DC,如图:

•・'CK是OO的直径，

；,NCDK=90°,

・，NK+/OCK=90°，

■:OD-LEF,

：,ZODF=90°,即/O£>C+NC£>”=90°,

\OC=OD,

:"DCK=/ODC,

：,ZK=ZCDF,

V^=CE,

：,ZFAD=ZK