9.4 三元一次方程组 课件

第9章二元一次方程组9.4三元一次方程组上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题。本节将学习三元一次方程组及其解法，并用它解决含有更多未知数的实际问题。小亮与爸爸、爷爷三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸的年龄之和多12岁，爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差。他们三人的年龄分别是多少?这个问题中有哪些未知量?存在哪些等量关系?这个问题中有三个未知量：小亮、爸爸和爷爷的年龄。设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别是x

岁、y

岁、z

岁。根据题意，列出以下三个方程：x＋y＋z＝120，z＝x＋y＋12，y－x＝z－y。这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，将这三个方程联立，得到方程组x＋y＋z＝120，z＝x＋y＋12，y－x＝z－y。①②③像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组(systemoflinearequationswiththreeunknowns).用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，那么能否用同样的思路解三元一次方程组呢?观察每一个方程的形式，用代入消元法消去未知数义，把这个三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，就可以逐步求出每一个未知数的值了。x＋y＋z＝120，z＝x＋y＋12，y－x＝z－y。①②③将方程②分别代入①和③，消去未知数，得二元一次方程组x＋y＝54，④－2x＋y＝12。⑤解由④⑤组成的二元一次方程组，得x＝14，y＝40。x＋y＋z＝120，z＝x＋y＋12，y－x＝z－y。①②③代入方程②，得z＝66.原三元一次方程组的解是所以，小亮14岁，爸爸40岁，爷爷66岁。x＝14，y＝40，z＝66.解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值。消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。解方程组例1y＋2z＝5，x－2y＋3z＝3，2x＋3y－2z＝－3。①②③解：2×②－③，得－7y＋8z＝9。④①与④组成二元一次方程组y＋2x＝5，－7y＋8z＝9。解方程组，得y＝1，z＝2。解方程组例1y＋2z＝5，x－2y＋3z＝3，2x＋3y－2z＝－3。①②③将y＝1，z＝2代入②，得x＝－1。所以原方程组的解是x＝－1，y＝1，z＝2。例2从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km。汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h。求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米?解：设从甲地到乙地时，平地为xkm，上坡为ykm，下坡为

zkm，则从乙地到甲地，平地为xkm，上坡为zkm，下坡为ykm。根据题意，得

解方程组，得x＝80，y＝12，z＝6。所以，从甲地到乙地时，平地为80km，上坡为12km，下坡为6km。1.解下列方程组：y＝5－x－3z，(1)x＋y＋z＝1，2x－y－4z＝5；x＋y－z＝4，(2)x＋y＋z＝2，－x＋2y＋z＝2。y＝5－x－3z，(1)x＋y＋z＝1，2x－y－4z＝5；①②③解：将①分别代入②③，消去未知数y，

得

解方程组，得将x＝4，z＝2代入①，得y＝－5.5－2z＝1，3x－z＝10，x＝4，z＝2.所以原方程组的解是x＝4，y＝－5，

z＝2。x＋y－z＝4，(2)x＋y＋z＝2，－x＋2y＋z＝2。①②③解：①＋③，得3y＝6，解得y＝2.①－②，得－2x＝2，解得

z＝－1.将y＝2，z＝－1代入①，得x＋2＋1＝4，解得x＝1.所以原方程组的解是x＝1，y＝2，

z＝－1.2.现有一个三位数，三个数位上的数字之和为12，个位数字是百位与十位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍。求这个三位数。解：设这个三位数的个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z.根据题意，得x＋y＋z＝12，x＝2(y＋z)，

z＝3y，解方程组，得x＝8，y＝1，

z＝3.所以，这个三位数是318.习题9.41.解下列三元一次方程组：▣复习巩固x＋2y＝5，(1)y－3z＝7，4z＋x＝13；3x－5y＋6z＝4，(2)3x－2y＋2z＝3，－3x－3y＋5z＝－1。x＋2y＝5，(1)y－3z＝7，4z＋x＝13；①②③解：由②，得y＝3z－7.④将④代入①，得x＋6z＝19.⑤⑤－③，得2z＝6，解得

z＝3.将z＝3代入③，得4×3＋x＝13，解得x＝1.将z＝3代入④，得y＝2.所以原方程组的解是x＝1，y＝2，

z＝3.3x－5y＋6z＝4，(2)3x－2y＋2z＝3，－3x－3y＋5z＝－1。①②③解：①－②，得－3y＋4z＝1.④②＋③，得－5y＋7z＝2.⑤④与⑤组成二元一次方程组解方程组，得－3y＋4z＝1，－5y＋7z＝2.y＝1，z＝1.3x－5y＋6z＝4，(2)3x－2y＋2z＝3，－3x－3y＋5z＝－1。①②③将y＝1，z＝1代入①，得x＝1.所以原方程组的解是x＝1，y＝1，

z＝1.2.已知代数式ax2＋bx＋c。当x＝1时，代数式的值为0；当x＝2时，代数式的值为3；当x＝3时，代数式的值为28。求a，b，c

的值。解：根据题意，得a＋b＋c＝0，①4b＋2b＋c＝3，②

9a＋3b＋c＝28，③②－①，得3a＋b＝3，④③－②，得5a＋b＝25，⑤④与⑤组成二元一次方程组解方程组，得将a＝11，b＝－30代入①，得c＝19.所以原方程组的解是所以，a，b，c

的值分别是11，－30，29.3a＋b＝3，

5a＋b＝25，a＝11，

b＝－30，a＝11，

b＝－30c＝19，3.某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分负1场得0分。某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得21分，该队在联赛中胜、平、负各几场?解：设该队在联赛中胜x

场，平y

场，负z

场.根据题意，得解方程组，得所以，该队在联赛中胜6场，平3场，负3场.x＋y＋z＝12，x＝y＋z，3x＋y＝21，x＝6，y＝3，z＝3.▣拓展延伸

5.从下列方程组中，求出x，y之间的关系，用不含t的式子表示。x＝3－t，(1)

y＋5＝t＋1；

3t＋x＝5y，(2)2t－3x＝2y。解：由①，得t＝3－x，③将③代入②，得

y＋5＝3－x＋1，所以x＋y＝－1①②①②解：①×2－②×3，得11x＝4y，所以11x－4y＝0.▣探索创新6.是否存在一个数a，使关于x，y

的方程组的解满足x

与y

互为相反数?若存在，求a的值。再提出一个与这个方程组的解有关的问题并解答。2x＋y＝2a＋1，x＋2y＝5－5a解：存在。2x＋y＝2a＋1，