第二章 2.4　函数的对称性及应用 课件2027高考数学一轮总复习

第二章函数的概念与基本初等函数2.4函数的对称性及应用2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情掌握一些函数图象的轴对称和中心对称公式和推论,会利用函数的对称性解决相关问题.202320242025

新课标Ⅰ卷T18全国一卷T4

新课标Ⅱ卷T11

必备知识回顾1.奇函数、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于____对称,偶函数的图象关于____对称.(2)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为直线______;若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为点_____.2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点______对称.3.两个函数图象的对称(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于____对称.(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于____对称.(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于____对称.知识梳理原点y轴x=a(a,0)(a,0)y轴x轴原点1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(

)(2)函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.(

)(3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0,则f(x)的图象关于y轴对称.(

)(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.(

)基础检测√××√

B3.(一题多解)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=__.解析:方法一

∵y=f(x+2)-3是奇函数,∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4.方法二

由y=f(x+2)-3是奇函数,得f(x)的图象关于点(2,3)对称,故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4.44.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=__.解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),由f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5.5关键能力提升

规律总结

A

1.若函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=a,x=b,则其周期T=2|b-a|.2.若函数y=f(x)图象的对称中心为点(a,0),(b,0),则其周期T=2|b-a|.3.若函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=a,对称中心为点(b,0),则其周期T=4|b-a|.规律总结

AC

BCD

解决函数性质的综合问题,一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间,然后利用单调性比较大小或解不等式.规律总结

BCD

对称的充要条件1.链接教材:(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.教材深研

【典例】

(1)我们知道,函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.已知函数f(x)=|x|+|x-2|+1,则下列函数中,其图象关于直线x=2对称的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x)-1C.f(x+1)-1 D.f(x+2)-1A【解析】

若函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则函数y=f(x+2)为偶函数,即f(x+2)=f(-x+2).对于A,令g(x)=f(x-1)-1,则g(x+2)=f(x+1)-1=|x+1|+|x-1|+1-1=|x+1|+|x-1|,又g(-x+2)=f(-x+1)-1=|-x+1|+|-x-1|+1-1=|x-1|+|x+1|,因此可得g(x+2)=g(-x+2),则f(x-1)-1的图象关于直线x=2对称,故A正确;对于B,令h(x)=f(x)-1,则h(x+2)=f(x+2)-1=|x+2|+|x|+1-1=|x+2|+|x|,又h(-x+2)=f(-x+2)-1=|-x+2|+|-x|+1-1=|x-2|+|x|,则h(x+2)≠h(-x+2),故f(x)-1的图象不关于直线x=2对称,故B错误;对于C,令G(x)=f(x+1)-1,则G(x+2)=f(x+3)-1=|x+3|+|x+1|+1-1=|x+3|+|x+1|,又G(-x+2)=f(-x+3)-1=|-x+3|+|-x+1|+1-1=|x-3|+|x-1|,则G(x+2)≠G(-x+2),故f(x+1)-1的图象不关于直线x=2对称,故C错误;对于D,令H(x)=f(x+2)-1,则H(x+2)=f(x+4)-1=|x+4|+|x+2|+1-1=|x+4|+|x+2|,H(-x+2)=f(-x+4)-1=|-x+4|+|-x+2|+1-1=|x-4|+|x-2|,则H(x+2)≠H(-x+2),故f(x+2)-1的图象不关于直线x=2对称,故D错误.故选A.

ABD

课时作业9

基础巩固D

C

C

C

B

D

7.(6分,多选)(2025·宁夏银川二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)是定义在R上的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,则下列结论正确的是(

)A.f(x)的最小正周期为4B.f(-3)=-3C.f(2026)=8D.f(2025)=3BCD解析:对于A,因为f(x+2)是定义在R上的偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为8,故A错误;对于B,当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,所以f(-3)=f(5)=-f(1)=-3,故B正确;对于C,f(2

026)=f(8×253+2)=f(2)=8,故C正确;对于D,f(2

025)=f(8×253+1)=f(1)=3,故D正确.故选BCD.

ABD

-lnx-x

(2)若不等式f(2-3t)-f(2t-3)<0成立,求实数t的取