2025-2026学年广东省广州高三下册二模数学试题 含答案

/2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={−2,−1A.{−1,0}B.{−2.已知a∈R，复数a−iA.−2B.-1C.1D.3.已知非零向量a,b满足aA.−13B.13C.4.已知tanθ=13A.2B.12c.−5.若函数y=fx的图象与y=log3x+a的图象关于直线A.-9B.-log32C.6.已知a>b>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是A.e<e∘B.7.已知F1, F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>A.3B.2c.53D.8.若函数fx=x3+axA.-2B.-1C.1D.2二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”,B=“第A.PAB=310B.P10.已知函数fx=cosA.2π是fxB.x=π2是C.Sx的最大值为2512D.fx在11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段A1B1(包括两端点)A.存在点E,使得AEB.存在点E,使得AE//平面BC.当A1E=3EB1时,经过点A,C,ED.当△AEF的面积为54时，三棱锥F−ABE的外接球表面积为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分，12.2x313.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为_____.14.已知圆C:x2+y2−4y+四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a(1)求tanB的值:(2)若(a=5，△ABC的面积为2，求△ABC的周长.16.(15分)已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx(2)若x=a是函数fx的极值点,证明:17.(15分)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,将△ACD沿(1)求三棱锥D′−(2)求直线BD与直线AC所成角的余弦值.图1图2B18.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b(1)求C的方程:(2)已知点B0,3，过点P4,0的直线l交C于E，F两点Q，E，(i)设直线ME的斜率为k1,直线MF的斜率为k2,判断k1+(ii)证明:直线ME过定点.19.(17分)从1,2,3,⋯,nn∈N∗,n≥4中任取(1)写出A1,(2)求An(3)求Sn.2026届广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学试题答案及评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案DCAABBCB二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。9.AC10.ACD11.BCD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.-4013.314.−四、解答题:共77分。15.(13分)(1)解:因为a=bcosC+2由正弦定理得sinA=sinBcosC+2sinCsinB由A+B+C=得sinB+C=sinBcosC+得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+2sinCsinB,3分得cosBsinC=2sinCsin又sinC≠0，得cosB=2sinB所以tanB=(2)解法1:由(1)tanB=12，且0<由cosB=得sinB=[每个值正确各1分]因为△ABC的面积为2,则12又a=5，得c由余弦定理得b=12分所以△ABC的周长为4+解法2:过C作CD⊥AB于D,由(1)tanB=12,且0<由cosB=得sinB=[每个值正确各1分]在Rt△B2⋅中,BC=5,得因为△ABC的面积为2,则12CD⋅AB=在△ABC中，由余弦定理得12分所以△ABC的周长为4+16.(15分)(1)解:当a=1时,函数fx=lnx−x−1e2+的定义域为0,+∞,又f1=则曲线y=fx在点1,f1处的切线/的方程为y=1−e则/与两坐标轴围成的三角形的面积为S=1(2)证法1:由fx= alnx-x−1由于x=a是函数f则f′a=aa−由2a−1e2a=1,得若a≥1，得2a−1e2a>1，与由2a−1e2则fa=令gxg′x则gx在12,1则gx>所以fa=证法2:由fx=alnx-x−1ef′′x则f′x在0,+∞由于x=a是函数f则f′a当0<x<a时，fx>0，则fx当x>a时，fx<0，则fx在所以,当x=a时,函数fx取得最大值为由f′a=1−2所以fa>证法3:由fx=alnx由于x=a是函数f则f′a=aa−由2a−1e2a=1,得若a≥1，得2a−1)e2a>所以12由2a−1e2则fa=下面证明lna令ha=lna−1+则ha在12,1所以ha>h1=0所以fa>17.(15分)(1)共8分，(2+2+2+2-一找角+证高+求高+求体积)解:如图,在平面ABC上,将FB平移至EG,连接BG1分因为ED′,FB=120作D​∘O⊥GE交GE延长线于点因为AC⊥ED’,AC⊥EG,ED’∩EG=E,ED’⊂平面D’EG,EGC平面D’EG,所以AC⊥平面D’EG，即AC⊥平面D’OG3分又D’OC平面D’OG,则AC⊥D’O.又D​′O⊥GE, AC∩GE=E,所以D​′O⊥平面由∠D′EG=120在Rt⋅AD′C中,在RtD′OE中,D又△ABC的面积S=所以三棱锥D′−ABC的体积(2)解法1:1+4由于FB=EG,则四边形GEFB所以GB//所以直线AC与BD所成的角为∠DBG.9(只要指出直线AC与直线BD′所成的角就给9分点)由(1)可得AC⊥DB′由于EG=FB=255在Rt△D′OG中,BG=EF在Rt△D′GB中,cos∠D′(14分点给的是公式,即第一个等号)所以直线AC与直线BD′所成角的余弦值为217..15解法2:(1+4+1+1)向量表示+求模长+求余弦值+结论B19分(只要解答中有表示出三个向量和就给9分点)BD′=11分又因为矩形ABCD,AB=2,BCBD′cosBD,(14分点给的是公式,即第一个等号)所以直线AC与直线BD所成角的余弦值为217..15解法3:1+4如图，作EM//D’O，则EM⊥平面ABC.以E为原点，EG，EC，EM分别为x、y，z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,9分(如果画图正确就给9分点)OE=DAE=CF则E0(若没有求长度,直接写坐标,则B,D′各1EF.12分(也可以写AC=0BD′设直线AC与直线BD所成角为θ,则cosθ=(14分点给的是公式,即第二个等号)所以直线AC与直线BD′所成角的余弦值为217.1518.(17分)(1)解法1:由x2a2+y2b2=1根据题意,得2ba因为ca=12,得c解得a=4所以c的方程x24解法2:由于直线x=1被椭圆c所截得的线段的长为3,则c1分根据题意，fca[第1个或第2个等式写对给1分]解得a2=所以c的方程x24(2)解法1:设点M1,(i)设1:由x24+y23由△>0,得24m2−4×36×3又点E，F在x轴下方，则m>由韦达定理得y1+[写对一个等式给1分]得y1+y2y因为k1所以k1+=y分=9分==.11分所以k1+k分(ii)证明:由(i)得k1=−则直线ME的方程为y−t即3y−当x=85时,得所以直线ME过定点85,解法2:(i)直线斜率一定存在,设直线/: 联立y=kx−4,,得−12<k<12,又x1+k7分=8分=9分==.11分所以k1+k分(ii)证明:k2=y0−3所以k1=−直线 :y整理得83−8解得x=8所以直线过定点85,19.(17分)(1)解:A4=(一个结果1分)第(2)、(3)问解法1:(分类讨论，奇偶递推)(2)从1,2,3,⋯,nca<b<c, 由于2b为偶数,所以a,c同为奇数或偶数5①当n为偶数时，不同的等差数列个数即为从n个奇数中任取2个和从n个偶数中任2取2个,6分所以An=②当n为奇数时,n−1为偶数,最后一个奇数n与前面的n−12个奇数中的每一个可以组成符合题意的等差数列,其有所以An=所以An=(3)思路:一行一行列举符合条件的数列，纵向看规律①当n为偶数时,1,2,3,...,n中共有有个奇数和称偶数，所有等差数列的和中，根据对称性，1和n出现次数相同，1与后面n2−1个奇数中任何一个可以构成符合题意的等差数列，所以1和n出现次数都为2和n-1出现次数相同,2与后面的n2−1个偶数中任何一个可以构成符合题意的等差数列,同时作为等差中项与1,3组成一个等差数列,所以2和n−1出现次数都为n2.依此类推,对任意i1≤i≤n2,它与同奇偶性的另外所以i和n−i+11≤(先列举再归纳,建议能写对一个具体的就给这1分)所以in=(第一个等号1分,答案1分)②当n为奇数时,n−1为偶数，最后一个奇数n只能与前面的n−12个奇数中任何一个组成n−12个符合题意的不同的等差数列,奇数n与前面的任一奇数所以S=16分综上所述,Sn=第(2)、(3)问解法2:(分析公差的情况，归纳推理)(2)从1,2,3,⋯,n中任取3个不同的数构成等差数列,设这3个数为a,b,ca<b<c,该数列的公差为d,则d=c−a①当n为偶数时，若d=1，则b可取2，3，...，n-1，共有n-2个等差数列；若d=2，则b可取3，4，...，n-2，共有n-4个等差数列；若d=3，则b可取4，5，...，n-3，共有n-6个等差数列；若d=n−22，则b可取n2，n(公差分类,建议能写对一个就给这1分)故An=(n-2)+(n-4)+...+2=n×②当n为奇数时,若d=1，则b可取2，3，...，n-1，共有若d=2，则b可取3,4,⋯，n−2若d=3，则b可取4,5,⋯,n−3若d=n−12，则b可取n+(按公差分类,建议能写对一个就给这1分)故An==9分综上所述,An=(3)解:数列a,b,c的各项和为当n为偶数时,由(2)可知,若d=1，共有n−2S若d=2，共有n−4S若d=3，共有n-6个等差数列，这些数列各项和为S若d=n−2S12分(列举,建议能写对一个就给这1分)故Sn=同理可得,当n为奇数时,Sn=(第一个等号2分,答案1分)综上所述，S第(2)、(3)问解法3:(利用对称性，中间项取值决定构成等差数列的个数)(2)(i)当为偶数，记取