2025-2026学年内蒙古包头市第八十一中学高二下册4月月考数学试题 含答案

/内蒙古包头市第八十一中学2025-2026学年高二下学期4月月考检测数学试题一、单选题1．下列求导结果正确的是（

）A． B．C． D．2．已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（

）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3．已知函数，则的大致图像为（

）A． B．C． D．4．动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．5．已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（

）A．[0，1] B． C． D．6．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．已知函数，则的图象在处的切线方程为（

）A． B．C． D．8．设，，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数，下列判断正确的是（

）A．的单调减区间是， B．的定义域是C．的值域是 D．与有一个公共点，则或10．函数有两个极值点，则下列结论正确的是（

）A．若，则有3个零点 B．过上任一点至少可作两条直线与相切C．若，则只有一个零点 D．11．已知函数有两个零点和，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．有极大值点，且三、填空题12．若函数的导函数为．，且满足，则______．13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．14．关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.四、解答题15．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值.16．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大17．已知函数．(1)若恒成立，求的最小值；(2)证明：．18．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，判断函数的零点个数.19．设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．答案1．D【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.2．B【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B3．C【详解】，，，排除选项ABD.故选：C.4．C【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行，则，所以，解得或（舍），即，则切点为，切线方程为，化简可得，则的最小值即为切线与直线的距离，所以.故选：C5．D【详解】由可知函数的定义域为，则，设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则.①当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意；②当时，由解得，因函数既有极大值也有极小值，故，解得.由可得或；由可得，即函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意.综上可知，实数的取值范围为.故选：D.6．D【详解】令，则，所以在上单调递减，因为，所以不等式可变为，即，所以，即，所以不等式的解集为.故选：D.7．A【详解】因为，则，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即，故选：A.8．D【详解】令，则，在上单调递增，，即，则；令，则，在上单调递减，，即，则；，即；令，则，在上的单调递增，，即，则，即；综上所述.故选：D.9．ABD【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；对A，，令可得和，解得和，故的单调减区间是，，故A正确；对C，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，作出简图，可得的值域是，故C错误；对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；故选：ABD10．ACD【详解】根据题意可得，且；当时，易知时，；时，；此时在和上单调递增，在上单调递减；且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：

此时由图象可知有3个零点；同理当时，易知在和上单调递减，在上单调递增；且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：

此时由图象可知有3个零点；所以若，则有3个零点，即A正确；由题意知，所以过或有且仅有一条直线与相切，且切线为水平直线，所以B错误；当时，由选项A易知在处取得极大值，在处取得极小值，且；若，则，即；此时其图象如下图所示：

由图可知，只有一个零点；同理当时，易知在处取得极小值，在处取得极大值，且；若，则，即；此时其图象如下图所示：

由图可知，只有一个零点；综上可知，若，则只有一个零点，即C正确；由三次函数性质可知，函数关于成中心对称，所以满足，又是方程的两根，则满足；所以，即，所以D正确；故选：ACD11．ACD【详解】易知的定义域为，由，可得，当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则最多个零点，与题意不符；当时，由，解得，当时，，当时，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，，当时，，又函数有两个零点和，且，则，且，所以，又，则，故A正确；因为的极大值为，且，设，其中，则，则，所以，又，，所以，，当且仅当时，，所以在区间上单调递减，则，所以时，，故，又，则，又在区间上单调递减，，所以，即，B，又，所以，所以B错误，C，由题知，即，，可得，，所以，又，在区间上单调递增，所以，故C正确，D，因为的极大值点为，且，所以D正确.12．【详解】由于，所以，令，则，．故．13．【详解】由函数，可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，又由函数，可得，设曲线的切点为，则，解得.故答案为.14．【详解】由题设，令，则，且，令，则，当，，则在上单调递减，当，，则在上单调递增，则，即在R上单调递增，所以且，故恒成立，令，则，当，，则在上单调递增，当，，则在上单调递减，则，即.故15．（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为.【详解】（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线，知解得；（2）由（1）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.16．(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.17．(1)1(2)证明见解析【详解】（1）函数的定义域是，若恒成立，则恒成立，令，则，时，，时，，故在递增，在递减，故，故，的最小值是1；（2）证明：当时，由（1）得，即①，令②，则，则③，由①②③得，故.18．(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．(2)当时，函数无零点，当或时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2．【详解】（1）由题意得的定义域为，则当时，时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，令，可得或，令，可得，故在和上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，令可得或，令可得，故在和上单调递增，在上单调递减．综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）当时，，①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷，故在上只有一个零点；②当时，，在上单调递增，且连续不间断，且，故在上只有一个零点．③当时，令，解得，即在上只有一个零点，④当时，令可得，令，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷，若，即时，在上无零点．若，即时，在上只有一个零点，若，即时，在上有两个零点，综上所述：当时，函数无零点，当或时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2．19．(1)是，理由见解析(2)存在，(3)【详解】（1）时，，函数在区间上是凹函数．（2），，若在区间上为凹函数，则在上恒成立，，即在上恒成立，在