2025-2026学年上海市浦东新区洋泾中学高二下册质检数学试题 含答案

/2025-2026学年上海市浦东新区洋泾中学高二（下）质检数学试卷（4月份）一、单项选择题：本大题共4小题，共14分。1.有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（）A.24 B.48 C.72 D.1202.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是（）A.AC⊥BE B.B1E∥平面ABCD

C.三棱锥E-ABC的体积为定值 D.直线B1E⊥直线BC13.已知P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2=8x上不同的点，点F（2，0），若，则=（）A.20 B.40 C.60 D.804.若曲线在x=x1与x=x2处的切线互相垂直，且交点P在直线y=a上，则a的值可能是（）A. B. C. D.1二、填空题：本题共10小题，共34分。5.函数y=x2-5在区间[1，2]上的平均变化率为

.6.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．7.（2x+1）5的二项展开式中x2项的系数为

.（用数值回答）8.已知事件A和B互斥，且P（A∪B）=0.9，，则P（A）为

.9.已知直线l1：ax-y-1=0，l2：ax-（a-2）y-1=0，若两直线垂直，则a=

.10.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为π，则该圆锥的侧面积等于______．11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC1的中点，直线AP与平面BCC1B1成30°角.则正四棱柱的高为

.12.已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是______．13.记定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）-f（x）＞0，f（1）=1，则不等式f（x）＞ex-1的解集为______．14.如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆x2+y2-4x+2y-20=0相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：

①弦AC长度的最小值为；

②线段BO长度的最大值为；

③点M的轨迹是一个圆；

④四边形ABCD面积的取值范围为．

其中所有正确结论的序号为______．

三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.

（1）写出这个试验的样本空间Ω；

（2）事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.16.(本小题8分)

长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为.

（1）求三棱锥A-A1BD的体积；

（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小.17.(本小题10分)

在平面内，动点M（x,y）到定点N（2，0）的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程.

（2）设斜率为1的直线与曲线C交于A，B两点，记线段AB的中点为P，O为坐标原点，判断直线OP的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.18.(本小题12分)

已知函数f（x）=a（ex+a）-x.

（1）当a=1时，求函数y=f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）讨论函数y=f（x）的单调性；

（3）证明：当a＞0时，.19.(本小题14分)

已知椭圆C的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为Γ：x2+y2=a2+b2.已知椭圆C的离心率为，焦距为，O为坐标原点.

（1）求C的标准方程；

（2）已知直线l与C交于A，B两点，且OA⊥OB，求△OAB面积的取值范围；

（3）过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线OM，ON的斜率存在，设OM，ON的斜率分别为kOM，kON，证明：kOM•kON为定值.

1.【正确答案】B

2.【正确答案】D

3.【正确答案】B

4.【正确答案】B

5.【正确答案】3

6.【正确答案】

7.【正确答案】40

8.【正确答案】0.3

9.【正确答案】1或-2

10.【正确答案】

11.【正确答案】

12.【正确答案】y=±x

13.【正确答案】{x|x＞1}

14.【正确答案】①③④

15.【正确答案】答案见解析

事件A和事件B相互独立，理由见解析

16.【正确答案】解：（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为，

∴AA1=AC==2，

∴三棱锥A-A1BD的体积为：

====．

（2）∵A1D∥B1C，∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），

∵A1B=A1D==2，BD==2，

∴cos∠BA1D==，

∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos．

17.【正确答案】（1）

（2）是，．证明如下：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，则有，作差得，

等式两边同除x1-x2，得：，

即，因此，

因此，直线OP的斜率为定值，定值是

18.【正确答案】解：（1）当a=1时，f（x）=ex-x+1，所以f′（x）=ex-1．

得f（0）=2，点（0，f（0））处的切线斜率为f'（0）=0，

所以函数y=f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程为：y=2．

（2）由f（x）=a（ex+a）-x得f′（x）=aex-1，

当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，则f（x）在R上单调递减；

当a＞0时，令f′（x）=0得，

当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；

当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．

（3）证明：由（2）可知，当a＞0时，

f（x）的最小值．

要证，

只需证

只需证

设

则，

令g′（a）=0得

当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减；

当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增．

所以，

所以得证，

即得证．

19.