第八章++立体几何初步本章综合高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步小结知识系统整合题型一几何体的直观图1.如图，在四边形OABC中,OA=2，,BC=3，OA⊥AB且OA∥BC，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（）A．B．5C．D．√2.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原△ABC的面积是()A. B.C.D.√题型一几何体的直观图题型二几何体的表面积与体积1.柱体，S=S上底+S下底+S侧V=S底h2.锥体S=S底+S侧V=，3.台体S=S上底+S下底+S侧，4.球体1.如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.解：由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：S半球＝8πcm2，S圆台侧＝35πcm2，S圆台侧＝35πcm2，S圆台底＝25πcm2，故所求几何体的表面积为68πcm2.圆台下底面、侧面和一半球面，2.如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为√平行的判定与性质题型三几何体的平行与垂直垂直的判定与性质证明：(1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FO，如图所示．∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.1.O题型四空间中所成角求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算空间角的计算步骤：作角，证角，指角，求角，结论．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂法；③垂面法．1.√√例1

如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：S半球＝8πcm2，S圆台侧＝35πcm2，S圆台侧＝35πcm2，S圆台底＝25πcm2，故所求几何体的表面积为68πcm2.圆台下底面、侧面和一半球面，关于空间几何体的体积、表面积反思感悟首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算.

如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为跟踪训练1√

已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；例2如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD.∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)MN∥PE.∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE.线线平行、线面平行、面面平行间的关系反思感悟线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如下：

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.跟踪训练2当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；例3因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.(3)平面BEF⊥平面PCD.反思感悟线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化

如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.跟踪训练3(1)求证：AC⊥平面BCE；在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.AB＝4，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)求证：AD⊥AE.因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF.又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.

如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成的角的大小；例4∵A′C′∥AC，即AO与A′C′所成的角为30°.∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值；如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，∴OE⊥平面ABCD，OE⊂平面BC′，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角.(3)二面角B－AO－C的大小.由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即二面角B－AO－C的大小为90°.反思感悟(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝4，AB＝

E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成的角是A.30°B.45° C.60° D.90°跟踪训练4√如图，连接AC1，取A1B1的中点记为O，连接C1O，AO，∵C1A1＝C1B1，O为中点，∴C1O⊥A1B1，又AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥C1O，又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1O⊥平面AA1B1B，又EF∥AC1，∴EF与平面AA1B1B所成的角即为∠C1AO（锐角），在Rt△C1AO中，∠C1OA＝90°，∴∠C1AO＝30°.(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD.若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小.∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥A