2026年高考数学终极冲刺：专题05 直击高考中的三大概率分布-二项分布、超几何分布与正态分布（抢分专练）（解析版）

4/4专题05直击高考中的三大概率分布——二项分布、超几何分布与正态分布题型考情分析考向预测1.二项分布2025年新高考卷Ⅰ：第19题考查了二项分布2024年新高考Ⅰ卷：第19题考查了二项分布2024年新高考卷Ⅱ：第18题考查了超几何分布2025年新高考卷Ⅱ：第19题考查了超几何分布2024年全国乙卷：第8题考察了正态分布2025年天津卷：第7题考察了正态分布3σ原则从近年高考命题趋势来看，二项分布、超几何分布、正态分布及数字特征是概率统计板块的高频考点。正态分布多以选择、填空题考查基础性质与概率计算，难度较低；二项分布与超几何分布常出现在填空、解答题中，聚焦分布列、期望与方差，部分试题与统计、独立性检验等内容综合，难度中等偏上，解题关键在于正确计算概率并规范构建分布列。备考中应强化模型识别、概率运算与综合应用训练。2.独立重复试验的概率问题3.超几何分布4.二项分布与超几何分布综合5.正态密度曲线6.根据正态曲线的对称性求参数7.3σ原则8.正态分布与其他知识综合题型1二项分布1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).3．二项分布的期望与方差一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.【例1】（2026·山东青岛·三模）若随机变量X~B(4,p)，D(X)=1，则P(X=3)=（

）A．16 B．14 C．12【答案】B【详解】由题设D(X)=4p(1−p)=1，可得p=1所以P(X=3)=C故选：B.【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量X~Bn,12，若EX=4A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【详解】因为随机变量X~Bn,12，则E故DX故选：C.题型2独立重复试验的概率问题独立重复试验的特点：(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.【例2】（2026·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则Pξ=12等于（

）A．C12103810⋅582 B．【答案】B【详解】当ξ=12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以Pξ=12故选：B.【变式2-1】（2026·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以4:2的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为23，则“莎头”组合再次以4:2获胜的概率为（

A．80729 B．160729 C．80243【答案】B【详解】“莎头”组合再次以4:2获胜，即前5局“莎头”组合胜3局、负2局，第6局“莎头”组合获胜，所以“莎头”组合再次以4:2获胜的概率P=C故选：B.【变式2-2】（2026·黑龙江·一模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（

）A．216625 B．324625 C．89【答案】A【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有C5其中两个号码的和为偶数的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为410所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率p=C故选：A.题型3超几何分布1．超几何分布(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.2．“二项分布”与“超几何分布”的区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.3．超几何分布的应用(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.【例3】（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·期末）从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（

）A．43 B．2 C．83 【答案】C【详解】设得分为X，根据题意可以取4,3,2，.则PX=4=C22则分布列为：X432P186所以得分期望为EX故选：C.【变式3-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设X为摸出的红球总数，则X的期望值EX是（

A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8【答案】C【详解】设Y为从甲袋中摸出的红球数，Z为从乙袋中摸出的红球数，则Y服从超几何分布，故EY=2×3故EX故选：C．【变式3-2】（2026·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：

类别科室志愿者医生护士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)2(2)分布列见解析，E【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，有C22C所以所求的概率为C2（2）随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3、4，PX=0=CPX=2=C52所以随机变量X的分布列为X01234P110521所以E题型4二项分布与超几何分布综合1．二项分布当n=1时就是两点分布.2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差.区分两种分布的重要指标通常是观察放回还是不放回。【例4】（25-26高三下·陕西西安·阶段练习）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（

）A．EX<EY，DX>DC．EX<EY，DX<D【答案】B【详解】由题意可知：X∼B2,25且Y的可能取值为0，1，2，则PY=0可得EYDY所以EX=EY故选：B.【变式4-1】（25-26高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X1，期望方差分别为EX1,DX1；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为A．EX1=EC．EX1>E【答案】A【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为X1则X1则P(X1P(X1=2)=故随机变量X1X0123P1131则数学期望为：E(X方差为：D(X试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为410则X2故E(X2)=3×故E(X1)=E(故选：A．【变式4-2】（2026·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下第一部第二部第三部第四部第五部第六部普通观众评分87.285.484.984.984.783.6专业观众评分88.780.081.677.476.172.2(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望EX（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望EY与（ⅰ）中E【答案】(1)P(A)=(2)（ⅰ）分布列见解析；E(X)=83【详解】（1）已知事件A为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有4部影片满足该条件，而影片总数为6部.根据古典概型概率公式，所以P(A)=4（2）（ⅰ）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为p=23，共抽取4次，所以X服从参数n=4，p=2根据二项分布概率公式P(X=k)=CP(X=0)=CP(X=1)=C41P(X=3)=CP(X=4)=C列出X的分布列：X01234P1883216E(X)=0×==8+48+96+6481（ⅱ）确定Y服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以Y服从超几何分布，其中N=6，M=4，n=4.求E(Y)：根据超几何分布的数学期望公式E(Y)=nMN，可得比较大小：因为E(Y)=83，E(X)=8题型5正态密度曲线正态密度曲线

函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.【例5】（2026·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（

）A．μ1>μ2，σ1C．μ1<μ2，σ1【答案】C【详解】令ξ1∼N(μ则函数f(x),g(x)图象的对称轴分别为x=μ1,x=观察图象，得μ1<μ2，1σ故选：C.【变式5-1】（2026·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，其密度函数为f(x)=122π⋅e−(x−1)28，记函数A．关于直线x=1对称 B．关于直线x=1C．关于点1,12对称 D．关于点【答案】C【详解】因为ξ服从正态分布N(1,4)，故P(ξ≤x)+P(ξ≤2−x)=1，故φ(x)+φ(2−x)=1，故φ(x)的图象关于点1,1故选：C.题型6\t"/gzsx/zj135500/_blank"\o"根据正态曲线的对称性求参数"根据正态曲线的对称性求参数解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【例6】（2026·河南许昌·三模）已知随机变量X服从正态分布N2.3,σ2，且P2.3<X≤4.2=0.23A．m=0.73 B．m=0.77 C．0.5<m<0.73 D．m>0.73【答案】D【详解】易得0.4+4.22由正态分布的对称性可得P0.4<X≤2.3故PX>0.4=P0.4<X≤2.3故选：D.【变式6-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量ξ服从正态分布N4,σ2，若P2<ξ<6=3p，PA．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】C【详解】由已知得正态曲线关于直线x=4对称，∴Pξ≥6∴p+3p+p=1，解得p=0.2，故选：C．【变式6-2】（2026·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布N1,σ2，若PX≤a=0.3，且PA．-1 B．−12 C．0 【答案】C【详解】由题意知随机变量X服从正态分布N1,σ2如图所示，结合Pa≤X≤a+2=0.4，得可知a,a+2关于x=1对称，所以a+a+2=2×1，解得a=0，故选：C．题型73σ原则3σ原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.【例7】（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩X服从正态分布N105,102，按照16%、34%、34%、附：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σA．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格【答案】B【详解】由题意可知μ=105，σ=10，所以μ+σ=115，μ−σ=95，因为Pμ−σ≤X≤μ+σ所以PX>115≈1−0.6827因为P105<X≤115≈0.68272=0.34135≈34P95≤x<105≈0.68272=0.34135≈34PX<95≈1−0.6827因为小张的数学成绩为112分，则他的等级是良好.故选：B.【变式7-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩X近似服从正态分布X∼Nμ,152（参考数据：若X~Nμ,σ2，有P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.954A．580 B．480 C．380 D．280【答案】B【详解】由题设P(X>105)=P(X<65)，结合正态分布的对称性知μ=105+652=85所以P(X>100)=P(X>85+15)=P(X>μ+σ)=1−P(μ−σ<X≤μ+σ)所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为3000×0.1585≈475.5，故大约480人.故选：B.【变式7-2】（2026·广东·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量X（单位：g）近似服从正态分布N(50,4)，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过52g的草莓有（

）附：若X~Nμ,σ2A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个【答案】C【详解】由N(50,4)可知μ=50,σ=2，则P(X>52)=1故其中单果质量超过52g的草莓约有10000×0.1587=1587个．故选：C.题型8正态分布与其他知识综合正态分布问题的解题策略解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【例8】（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：20,40，40,60，60,80，80,100．已知m=2n，各分数段人数的频数统计如下表：分数段20,4040,6060,8080,100频数1030mn(1)求m，n的值；(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在60,100内的人数为X，求X的分布列与期望；(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩T∼N64,121．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在86,97参考数据：若T∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤T≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)n=20,m=40(2)分布列见解析，E(X)=2.4(3)428【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程10+30+m+n=100，化简得m+n=60.又因为m=2n，解得n=20，m=2×20=40.（2）计算分层抽样后成绩在[60,100]内的人数：成绩在[60,100]内的频数为m+n=40+20=60人.从100人中抽取10人，根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在[60,100]内的人数为60100×10=6人，那么成绩不在[60,100]内的人数为X表示抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.计算X取各个值的概率：P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=C6列出X的分布列：X01234P14381可得E(X)=0×1（3）已知T~N(64,121)，则μ=64，σ=121μ+2σ=64+2×11=86，μ+3σ=64+3×11=97.P(86≤T≤97)=P(μ−3σ≤T≤μ+3σ)−P(μ−2σ≤T≤μ+2σ)今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在[86,97]内的学生人数约为20000×0.0214=428人.【变式8】（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为23(2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为34，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.【答案】(1)11(2)317(3)分布列见解析，【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率P=1−P（2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3，所以P而2000×0.15865=317.3≈317，所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317.（3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400，PPPP所以X的分布列为x080016002400P192727EX=0×一、单选题1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知随机变量X~B3,13，则PA．727 B．827 C．1227【答案】D【详解】由题意得P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C故选：D.2．（2026·浙江金华·一模）已知随机变量X∼N2,σ2，且PX<0=0.3A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35【答案】B【详解】由题设P(X<2)=0.5，且PX<0=0.3，则由正态分布曲线关于X=2对称，则P0<X<4故选：B.3．（2026·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲C．μ甲<μ乙，σ甲【答案】C【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，故甲的平均数小于乙的平均数，即μ甲且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即σ甲故选：C.4．（2026·天津·高考真题）下列说法中错误的是（

）A．若X∼Nμ,σB．若X∼N1,22，C．r越接近1，相关性越强D．r越接近0，相关性越弱【答案】B【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，PX≤μ−σ对于B，根据正态分布对称性可知，PX<1对于C和D，相关系数r越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.故选：B.5．（2026·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N(172,4)，则P(X≥168)≈（

）（附：若X~N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772【答案】D【详解】由X∼N(172,4)，得P(X≥168)=P(172−2×2≤X≤172)+P(X>172)=1故选：D.6．（2026·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有n(2<n<7)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为3n55，则n=（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】依题意可得Cn2C12−n1解得n=4或9，因为2<n<7，所以n=4．故选：B.7．（2026·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（

）A．164 B．564 C．532【答案】C【详解】小球从起始点到最终落入球槽，需要经过5次与小木块的碰撞，每次碰撞时向左或向右的概率均为12我们可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”.要落入从左往右数第5号球槽，从组合的角度看，经过5次碰撞，相当于在5次操作中，向右的次数比向左的次数多3次.设向右为正方向，向左为负方向，那么向右的次数x与向左的次数y满足方程组x+y=5x−y=3，解得x=4,y=1也就是在5次碰撞过程中，需要有4次向右，1次向左.由独立重复试验概率公式P=Cnk所以P=C故选：C.8．（2026·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题答对的概率均为p0<p<1，且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为X，则当EX+DX取得最大值时，A．14 B．13 C．23【答案】C【详解】设答对题的个数为Y，由已知可得Y∼B3,p所以EY=3p，因为每道题答对得2分，答错倒扣1分，X为小王答完3道题的总得分，所以X=2Y−3−Y所以EXDX所以EX+DX所以当p=23时，EX故选：C.二、多选题9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知随机变量X~B6,13，随机变量Y=3X+1A．P(X=2)=8081 B．E(X)=2 C．D(X)=4【答案】BCD【详解】对A，P(X=2)=C对B，因为X~B6,13对C，DX对D，DY故选：BCD.10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标X服从正态分布N17,9，则（若X∼Nμ,σ2，则A．PX−17>6>0.05C．P11≤X≤20>0.8 【答案】BC【详解】由题意有μ=17,σ=3，PX−17PX>20P11≤X≤20PX−17故选：BC.11．（2026·重庆·三模）若随机变量X∼B10,p，且EX=2，随机变量Y∼Nμ，A．p=B．μ=3C．DD．5D【答案】ABD【详解】对于A，随机变量X∼B10,p，由EX=np=10p=2对于C，DX=np1−p对于B，随机变量Y~Nμ,2，则Eμ=3，B正确；对于D，5DX故选：ABD.三、填空题12．（2026·陕西·模拟预测）某工厂生产的灯泡使用寿命X∼N20,σ2（单位：千小时），且PX>23=0.1，则【答案】0.4【详解】因为X∼N20,σ2，且P所以P17<X<20故答案为：0.4．13．（2026·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=.【答案】0.6；3.2【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，则PA设运动量达标为事件D，PD所以X∼B4,0.8，E故答案为：0.6；3.2.14．（2026·云南曲靖·二模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为23．若该质点共移动100次，则它位于数字【答案】34【详解】设质点向右移动的次数为X，则X服从二项分布，即X∼B100,则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，即X−100−X由二项分布的概率公式可得PX=k设PX=k最大，则P由PX=k≥PX=k−1即100!k!⋅化简可得2101−k≥k，解得由PX=k≥PX=k+1即100!k!⋅化简可得k+1≥2100−k，解得k≥即1993≤k≤2023，且k∈Z则质点最终的位置为2×67−100=34.故答案为：34.四、解答题15．（2026·广东广州·模拟预测）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：年龄（岁）15,2525,3535,4545,5555,6565,75频数551015105赞成的人数3491073(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在45,55的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率Pη=k取得最大值的整数k【答案】(1)分布列见解析，43(2)14.【详解】（1）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，因为年龄在45,55的市民不赞成“车辆限行”的频率为13，则ξ∼B所以Pξ=k所以ξ的分布列为：ξ01234P1632881Eξ（2）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，所以Pη=k由Pη=k≥Pη=k−1Pη=k因为k∈Z，所以k=1416．（2026·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布Nμ,(1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数x作为μ的估计值，样本标准差s作为σ的估计值．若质量指标值在43,87内的产品为优等品，根据正态分布Nμ,附：取30=5.5Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)x=65，(2)0.9545【详解】（1）x=0.01×10×45+0.02×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75+0.01×10×85=65s+(65−75)（2）由题意知μ=65，样本方差s2=120，故所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布N65,P43≤X≤87所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545．17．（2026·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成