2026年高考数学终极冲刺：题号猜押12 全国卷高考数学第18题（解答题）（解析版）

1/7题号猜押12全国卷高考数学第18题（解答题）溯源年份卷别原题号考点具体内容2025Ⅰ卷T18圆锥曲线椭圆方程、离心率、点坐标、最值问题2025Ⅱ卷T18函数与导数函数单调性、极值点、零点存在性证明2024Ⅰ卷T18函数与导数含参函数最值、对称性证明、恒成立求参2024Ⅱ卷T18概率统计投篮比赛、分布列、期望、决策比较2023Ⅰ卷T20数列等差数列通项、前n项和、不等式证明2023Ⅱ卷T20立体几何三棱锥、线面垂直证明、二面角正弦值2022Ⅰ卷T20概率统计独立性检验、条件概率、指标估计2022Ⅱ卷T20立体几何三棱锥、线面平行证明、二面角正弦值2021Ⅰ卷T20立体几何三棱锥、线面垂直证明、体积与二面角2021Ⅱ卷T20圆锥曲线椭圆方程、三点共线充要条件近5年解答题第四题（等价T18）考点分布较为分散，无明显固定模块，但呈现一定轮换规律。立体几何出现3次（2023Ⅱ、2022Ⅱ、2021Ⅰ），概率统计出现2次（2024Ⅱ、2022Ⅰ），函数与导数出现2次（2025Ⅱ、2024Ⅰ），圆锥曲线出现2次（2025Ⅰ、2021Ⅱ），数列出现1次（2023Ⅰ）。2024-2025年该位置考点出现新变化：2024年Ⅰ卷函数导数、Ⅱ卷概率统计；2025年Ⅰ卷圆锥曲线、Ⅱ卷函数导数，表明该位置已不再是立体几何的固定阵地，而是成为多个核心模块轮换的重要位置，承担中档偏难的综合题功能。预测2026年T18极大概率在圆锥曲线、函数与导数、概率统计、立体几何四类中轮换。圆锥曲线若未出现在T16，则可能在此位置考查椭圆或双曲线方程、直线与圆锥曲线位置关系、弦长面积问题；函数与导数若未在T19压轴，则可能在此位置考查含参函数单调性、恒成立问题或零点讨论；概率统计可能考查离散型随机变量分布列、期望与决策分析；立体几何可能考查空间垂直证明与二面角计算。备考核心主攻圆锥曲线，熟练掌握椭圆、双曲线方程求法，熟练运用设而不求、韦达定理处理弦长、面积、定点定值问题，关注非对称韦达定理的处理技巧；突破函数与导数，掌握含参函数单调性分类讨论标准，理解恒成立问题的参变分离与构造函数法，能处理零点存在性证明；强化概率统计，掌握离散型随机变量分布列与期望计算，理解二项分布、超几何分布的应用场景，能进行方案比较与决策分析；巩固立体几何，熟练空间垂直关系证明，能准确建立空间直角坐标系求二面角、线面角。规范书写，步骤清晰，注意分类讨论的完整性。限时训练，每道题控制在15~18分钟。考点1概率统计1．（2026·河北衡水·一模）某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.(2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.【答案】(1)0.1(2)0.0486(3)应该引进，理由见解析【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可；（2）根据（1）中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可；（3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可.【详解】（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，由全概率公式可得，故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1.（2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1，设恰有2天检测结果与实际不符为事件，则，故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486.（3）应该引进该自动化检测系统，理由如下：设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元.设备故障且被判为故障的概率为，设备正常却被判为故障的概率为，设备故障却被判为正常的概率为，则.因为，所以应该引进该系统.2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立.(1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率；(2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）求出随机检测1件该零件合格的概率，利用独立事件的乘法求解；（2）求出的所有可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，列出分布列，利用分布列求出期望.【详解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是，则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是.（2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40.，，，，，则X的分布列为故.3．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1)(2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可.（2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球，设顾客享受到免单优惠为事件，则.所以两位顾客均享受免单优惠的概率为.（2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000.，，，.所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则.由题意知，，故.所以（元）.因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.4．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数.①求的分布列和数学期望；②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）【答案】（1）①分布列见解析，；②；（2）节目参加者换门更好，答案见解析【分析】（1）①由进行求解即可；②依题意，样本比例为，现要求，得，，再由进行求解；（2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件，则，，由全概率公式进行求解．【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为，所以，即，，，，，，，得到的分布列为012345期望为，②依题意，样本比例为，现要求，得，即，，所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为.（2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件，则，，所以，，则，因此不换门选中汽车的概率是，换门选中汽车的概率是，故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍.5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为．(1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率；(2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列；(3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）.【答案】(1)(2)分布列见解析(3)【分析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，根据题意求出，，利用条件概率的公式求出，从而得解.（2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为，写出的可能取值，分别求出的每一个可能取值的概率，根据其概率求出的分布列.（3）分别求出带动家庭可以拿到100元，200元，300元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的奖励.【详解】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，，，所以，所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为.（2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为，的可能取值为0，500，1000，1500，2000，，，，，，所以的分布列为0500100015002000（3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为，带动家庭可以拿到200元奖励的概率为，带动家庭可以拿到300元奖励的概率为，该带动家庭可以拿到的奖励为（元）.6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，其质量指标；技术改造后，其质量指标．如果生产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立．若，则，．(1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；(2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化．【答案】(1)(2)；增加一个元件，可靠性降低【分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后的优品率，即可求解.（2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较即可.【详解】（1）由题意知，技术改造前，，优品率为.技术改造后，，优品率为.，所以该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为.（2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率，所以该系统的可靠性为.设为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率，因为，所以该系统增加一个元件，可靠性降低.7．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.(1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；(2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.【答案】(1)(2)答案见解析；(3)游戏Ⅱ【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果；（2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望；（3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ.【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率.（2）易知,游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为，因此可知,随机变量的分布列为0123随机变量的期望或.（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额，游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，,游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，,从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.8．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业研发投入（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数（件）357691011(1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”.（i）求条件概率的值；（ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由；(2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析(2)分布列见解析，【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算.（ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断.（2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求.【详解】（1）（i），，.（ii）事件M与N不相互独立理由如下：法1：利用条件概率：，，，所以，不相互独立.法2：利用独立性定义：，，，所以，不相互独立.（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为，（服从超几何分布，），，，，故的分布列为：X0123P故的数学期望.9．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立.(1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；(2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率的计算公式求值即可.（2）先求系统最终输出的答案正确的概率，根据概率不低于列式，解二次不等式，可求的最小值.【详解】（1）不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”，由于与相互独立，与，与，与都相互独立，由题意可得，，，，，分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得，故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325.（2）系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一次提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确.系统第一次输出正确答案的概率为：，由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：，系统第二次输出正确答案的概率为：，设系统最终输出正确答案的概率为，则，于是，解得，又由，于是，则的最小值为.10．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；(3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，【答案】(1)(2)，，0123(3)会得到推广，因为.【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解；（2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差；（3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论.【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰，则，则.（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布，则，，，，，，，的分布列为：0123（3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分，则，满足推广条件，因此该系统会得到推广.11．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响.(1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率；(2)在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率；(3)比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列.(附:当时，).【答案】(1)；(2)；；；；(3)分布列见解析【分析】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可.（2）结合题意求出对应概率，再求出，最后得到甲获胜的概率即可.（3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可.【详解】（1）由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为，则，.（2）由题意得，，，，当为奇数时，，当为偶数时，，则甲获胜的概率为，当时，，则甲获胜的概率为.（3）由已知得甲获胜的概率为，且的取值为，而，，.可得分布列如下，34512．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响.(1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率；(2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）先明确“甲第一轮获胜”和“乙获得第3名”的比赛路径，计算联合概率，再用条件概率公式求解即可.（2）先确定的所有可能取值，再逐一分析每种名次对应的比赛路径，计算概率，最后列出分布列并求期望即可.【详解】（1）设事件M：乙队获得第3名，事件N：第一轮比赛中甲队获胜，则，，所以，所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第三名的概率为.（2）随机变量的可能取值为1，2，3，4，；；；.所以的分布列为：1234P故的数学期望.13．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大.【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可；（2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算；（ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值.【详解】（1）根据直方图可得，，由题知，，则，等品的质量指标值不小于，即（2）（ⅰ）指标值在和的总件数为，指标值在的件数是，由题知，可能的取值是.，，，，分布列为：（ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品，由题知，，由（1）知，等品的概率为，则，于是，，记，则，则递增，递减，故当时利润最大.14．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；(2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．①求，；②求．【答案】(1)X0123P，(2)①；；②【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差；（2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求.【详解】（1）由题意可知：，则，；；；则X的分布列为X0123P所以X的均值，且方差.（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，所以；②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，则，可得，且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，当时，则，且符合上式，所以.15．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下：①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5；②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成；③若预测中出现词元，则审核后必生成.设表示过程结束时生成词元的总个数.(1)求，；(2)求的分布列；(3)求.【答案】(1)，(2)123……(3)【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可.（2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列.（3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可.【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成，.表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成..（2）（，）时，第个词元输出为，若前面个词元都预测为，其概率为，若前面个词元有一个预测为，其概率为，故，当时，若前面个词元都没有预测为，其概率为，若前面个词元有一个预测为，其概率为，故所以的分布列为：123……（3）由（1）得，由（2）得，，，，，所以所以1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）：学历关注不关注合计本科及以上8020100本科以下6040100合计14060200(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？(2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰；第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立.（i）求甲能进入第二关答题的概率；（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多.参考公式及参考数据：.0.050.013.8416.635【答案】(1)能(2)（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题.【分析】（1）计算，根据独立性检验的思想求解即可；（2）（i）根据重复独立事件的概率公式计算对应概率即可；（ii）分别计算不挑战第3道题，获得奖金的期望与挑战第三道题的获得奖金的期望，进而作差比较期望的大小判断即可.【详解】（1）解：零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.（2）解：（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题，所以（ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,400，，则的分布列为：0400所以；若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,200,800，，，则的分布列为0200800所以.令，故当时，，建议挑战第3道题；当时，，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，，建议不挑战第3道题.2．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．(1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．(2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．(3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．【答案】(1)0.028.(2)0.7224.(3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布的概率公式，即可求解；（2）通过由全概率公式得出即可；（3）的所有可能取值为，60，，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，所以，所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.（2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件，被检测的零件最终被判定为合格品是事件，则．由（1）知，又因为，，所以由全概率公式得，故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.（3）的所有可能取值为，60，．，，，则．因为，所以该工厂不会停止生产该零件．3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；(2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求．【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）设教练甲接球次数为，可取，再求出、的概率，根据得到的概率，写出分布列并计算期望即可；（2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率，则，即，进而得到，再由传给学员的概率相等，即可得到．【详解】（1）设教练甲接球次数为，可取，球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为，，，分布列为：012数学期望；（2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率，，且，即，则数列是首项为，公比为的等比数列，，即，又传给学员的概率相等，．4．（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；(2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可；（2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可.【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件，“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件，由题意可得，，，，.所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8.（2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，则，，令，则，令，则；令，则；令，则；所以或时，取最大值.5．（2026·山西晋中·模拟预测）晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金､罩漆､抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金､罩漆､抛光环节的成功率分别为（各环节相互独立）.若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功，则为精品.普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立.(1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率；(2)该工艺师共制作件漆器，记其中精品的数量为，普品的数量为，若，求的值；(3)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售，普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好.【答案】(1)(2)(3)100元，元，方案②更好【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式，将描金、罩漆、抛光三道工序成功的概率直接相乘，得到一件漆器为精品的概率；（2）先确定精品、普品件数服从二项分布，写出各自的期望表达式，再根据两者期望的差值建立方程，解出制作漆器的总数；（3）分别列出两种方案下单件漆器利润的分布列，计算各自的数学期望，通过比较期望大小判断更优方案【详解】（1）设事件为“描金成功”，事件为“罩漆成功”，事件为“抛光成功”，则，且相互独立.所以该工艺师制作的一件漆器为精品的概率为.（2）由题可知该工艺师制作一件漆器为精品的概率，为废品的概率，为普品的概率.由题可知，故.因为，所以，解得.（3）当采用方案①时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为-2580300所以（元）.当采用方案②时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为-2575320所以（元）.因为，所以对该工艺师来说，方案②更好.6．（2026·广东佛山·一模）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为．(1)求；(2)当时，求随机变量的分布列和数学期望；(3)求随机变量的数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）应用组合数及古典概型概率求法求概率即可；（2）确定对应的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；（3）首先求出各可能值对应的概率，再求对应可能值的概率，即可求期望.【详解】（1）依题意，.（2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3，所以，，所以的分布列为13数学期望为.（3）的取值为0，1，2，3．，，，．的取值为0，1，2，3．，，，，所以随机变量的数学期望为.7．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．【答案】(1)(2)分布列见解析，均值为(3)【分析】（1）根据古典概型概率求解即可；（2）先分析小芳投掷的次数的所有可能的取值，然后求出分布列与数学期望即可；（3）若第1次从小芳开始，则第次对小芳投掷骰子分两种情况讨论，然后结合互斥事件性质，以及数列的递推关系式分析求解即可.【详解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件为：，，，总数为36，事件包含的基本事件有：，共9个基本事件，所以.（2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为，由题意知可取值为，则：，，所以的分布列为：0123数学期望为：.（3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为，第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为，由于这两种情况彼此互斥，所以，所以，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.8．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀.(1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）；(2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望.附：若随机变量，则，，.【答案】(1)25241人(2)01230.7290.2430.0270.001【分析】（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出；（2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望.【详解】（1）因为，所以，，所以，则，所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人.（2）因为，且，所以，依题意，所以，，，，故随机变量的分布列为：01230.7290.2430.0270.001所以随机变量的期望.9．（2026·重庆·模拟预测）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束.(1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望；(2)在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2轮中有至少1轮结束时，你手里的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何回答？【答案】(1)012数学期望为1；(2)愿意接受这样的游戏规则.【分析】（1）求出的所有可能取值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.（2）求出每次交换后小明手中两张牌相同的概率，再求出至少1轮结束小明手里的两张牌是相同的概率即可.【详解】（1）交换1次后，随机变量的所有可能取值为0，1，2，，，，所以随机变量的分布列为012随机变量的期望.（2）记事件为每轮小明第次交换后，他手里的两张牌相同，则，又，因此，，则小明获胜的概率，所以如果我是小明，我愿意接受这样的游戏规则.10．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：第一组第二组第三组第四组第五组年龄人数30150906030(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列；(3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值．【答案】(1)(2)分布列见解析(3)【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算.（2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，进而得到的可能取值，求其概率，可得的分布列.（3）先得到答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值.【详解】（1）估计平均年龄为.（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），年龄在第二组内的有（人），则的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，则的分布列为：01234（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，设，由，且得，所以，显然，，令，当时，有，，即，此时；当时，有，，即，此时，即，所以．11．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．(1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率；(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率．（i）求；（ii）证明：．【答案】(1)(2)（i），（ii）证明见解析【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）（i）利用正难则反思想计算，利用分类讨论结合正难则反思想计算；（ii）分类讨论结合全概率公式得，利用递推关系作差即可证明.【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对，其概率为：；（2）（i）；当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形，可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错；第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对），故；（ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形，则由题意可如下分类：①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为；②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为；③第n题答对，第题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为；④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为，由全概率公式：①，因此②，，所以当时，，故．12．（2026·陕西西安·一模）2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率.(1)从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求.【答案】(1)分布列见解析，；(2).【分析】（1）运用二项分布的知识求解即可；（2）利用错位相减法解决“等差数列等比数列”的求和模型.【详解】（1）由题意知，每个家庭“只有电动车”的概率为，“既有电动车又有其他交通工具”的概率为.则X的可能取值为3，4，5，6.，，，，所以X的分布列为x3456P所以.（2）因为这户的合计得分为分，所以其中恰有户为“既有电动车又有其他交通工具”，其余户均为“只有电动车”.所以，设，即①，则②，①②得，即，所以，即.13．（2026·四川宜宾·一模）2025年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实验室的多模态大模型在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试题能得1分的可能性为，能得2分的可能性为，假设每道试题得分情况相互独立.(1)从所有测评试题中随机抽取4道试题，记这4道题得分总数为，求的分布列和数学期望；(2)从所有测评试题中随机抽取n道试题，记这n道题得分总数为的概率为，求的值；(3)已知王老师班有20名学生分别用模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？【答案】(1)分布列见解析，5；(2)；(3)25朵.【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可；（2）由题意可得n道试题中只有1道得到2分，所以，利用错位相减法求和即可；（3）设得到1分的人数为，则得到的总分为，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可.【详解】（1）由题意知得分总数的所有可能取值为4，5，6，7，8，其中，，，，，所以的分布列为45678.（2）因为n道题得分总数为，所以其中只有1道题得到2分，所以，则，所以，两式相减得，所以．（3）在这20名学生中，设得到1分的人数为，则得到2分的人数为，所以得到的总分，此时得到的总分的概率为，所以，整理得，解得，而，，所以，所以，所以若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，王老师应该提前准备25朵小红花比较合理.14．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记1分，未命中记分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖．现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为．(1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望；(2)当时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)；(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．【答案】(1)分布列见解析，期望为；(2)；(3).【分析】（1）写出的取值可能为2,3,4，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案；（2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案；（3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值.【详解】（1）由题可知：的取值可能为2,3,4，，,,故的分布列为234所以．（2）记事件：甲同学获奖，显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖，则，所以，令，所以，两式相减：，,即，所以．（3）记表示乙同学的得分，，记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率，显然，又,由全概率公式知：，所以,那么,即，同理：，，，，累加有，所以，即，即，即，由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为得：，由，即，解得，故的最小值为．15．（2026·广东肇庆·二模）学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为．(1)当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率．(2)若．①求最终拿到编号不小于的奖品的概率；②用表示出期望．(3)当时，证明：期望．【答案】(1)，(2)①，；②答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据古典概型的概率计算即可.（2）根据对立事件、互斥事件等概率计算公式及数学期望计算公式计算即可.（3）求出数学期望的表达式，结合导数与单调性证明即可.【详解】（1）拿到编号为1的奖品，，即至少有一次抽到1，所以.拿到编号为2的奖品，，即没有抽到1，且至少有一次抽到2，没有抽到1的概率为，没有抽到1且全抽到3的概率为，.所以拿到编号1的盲盒对应奖品的概率是，拿到编号2的盲盒对应奖品的概率是．（2）①拿到编号不小于，，即每次抽到的编号都大于等于.所以，.②因为事件与事件互斥，所以，即所以随机变量的期望（3），随机变量的期望.设，，，当时，，等号成立；当时，，等号成立；当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，设，因为，所以，所以.综上所述，.16．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响．(1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求；(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）分别按照，，求出概率，根据互斥事件概率的加法公式，可得的值.（2）的可能取值为，分别求出相应的概率，列出的分布列，根据数学期望的公式求出的值.【详解】（1）的取值为3,2,0,对应