2026年高考数学终极冲刺：限时预测02（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国二卷适用）（原卷版及全解全析）

1/19限时预测02（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且角为锐角.(1)求角的大小；(2)若，______，求△ABC的周长.从①△ABC的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面作答.16．（15分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：每周课外阅读时长频率0.10.20.30.250.15同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表：写作水平良好写作水平一般合计每周课外阅读时长不低于6小时50每周课外阅读时长低于6小时80合计200(1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；(2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.050.010.0013.8416.63510.82817．（15分）如图，正方体的棱长为2．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)求三棱锥的体积．18．（17分）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若有3个不同的零点．（i）求实数a的取值范围；（ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差19．（17分）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，．(1)求双曲线的标准方程；(2)求的最小值；(3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）等比数列中，且2，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．16．（15分）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）(2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望．17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线E的方程；(2)求证：；(3)若，求实数k的值．19．（17分）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，证明：对任意，都有；(3)证明：，.（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角，，的对边分别是，，，已知．（1）求证：，，成等比数列；（2）若，试判断△ABC的形状．16．（15分）在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求：(1)异面直线与所成角的余弦值；(2)点到平面的距离；(3)二面角的余弦值．17．（15分）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零；(3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.18．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：242.964617942268862.6570308表中；(1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由）根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程．(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为．①求取得最大值时对应的概率；②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：19．（17分）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．①求的值；②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．

限时预测02（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且角为锐角.(1)求角的大小；(2)若，______，求△ABC的周长.从①△ABC的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面作答.【详解】（1）由已知及正弦定理得，，，即，2分，，，故4分（2）若选①：，得，6分又，即，10分得，故，12分的周长为13分若选②：由，得，6分两边平方得，，10分又，，，，12分的周长为13分16．（15分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：每周课外阅读时长频率0.10.20.30.250.15同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表：写作水平良好写作水平一般合计每周课外阅读时长不低于6小时50每周课外阅读时长低于6小时80合计200(1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；(2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.050.010.0013.8416.63510.828【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人），每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表为：写作水平良好写作水平一般合计每周课外阅读时长不低于6小时503080每周课外阅读时长低于6小时4080120合计901102002分所以，依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关．5分（2）根据分层抽样原理，组抽取人数为（人），组人数为（人），7分则X的取值可能为，所以，12分则分布列如下所示：X012P所以．15分17．（15分）如图，正方体的棱长为2．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)求三棱锥的体积．【详解】（1）由正方体的性质可知，2分平面，平面，平面4分（2）设交于点，连接，由正方形的性质可知，且，因为正方体的棱长为2，，且，为平面与平面所成角的平面角，7分底面，，，即平面与平面所成角的正弦值为9分（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，11分设平面的一个法向量为，则，令可得，设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，13分又，根据体积公式得15分18．（17分）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若有3个不同的零点．（i）求实数a的取值范围；（ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差【详解】（1）解：当时，，当时，，所以．又，2分所以曲线在点处的切线方程为，即．4分（2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且．当时，，若，因为，所以，即在上单调递增，且，从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，7分若，令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，当时，所以要使有3个零点，则，即，解得．所以实数的取值范围为9分（ⅱ）由题可知，，，所以，则①，②．12分设公差为，即，由①可得，，由②可得，，则，化简得，解得（负值舍去），即公差．17分19．（17分）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，．(1)求双曲线的标准方程；(2)求的最小值；(3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率①，在中，当时，，故，即②

，2分又因③，联立①②③，解得，故双曲线的标准方程为4分（2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由，化简得，设，则，解得，7则，因，则，故，即.故的最小值为910分（3）如图，设与边切于点，由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，，即点与点重合，即与边切于点12分设与边切于点，则，在中，.设点，点，则，解得，即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点，其中，，15分设点关于直线的对称点为点，所以.因为点与点，点与点分别关于直线对称，所以，且，所以点均在上，且，所以17分（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）等比数列中，且2，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．【详解】（1）设数列的公比为．因为成等差数列，所以，即，2分所以，解得或（舍去），所以数列的通项公式．4分因为，所以，8分从而，10分所以．13分16．（15分）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）(2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望．【详解】（1）由题意，解得，2分成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3，因为，所以选报物理方向的最低分在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．5分（2）由题可知，成绩在区间的频数为，成绩在区间的频数为，利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为，8分再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为，，13分故的分布列为：012所以的数学期望为：．15分17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）证明：如图所示，连接，因为，且四边形为矩形，所以，又因为，所以，2分因为平面，平面，所以平面．4分（2）解：因为两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得，，，，，，6分则，，．设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，10分设直线与平面所成角为，可得，14分所以直线与平面所成角的正弦值为．15分18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线E的方程；(2)求证：；(3)若，求实数k的值．【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为，准线是，根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离，故最小距离即为顶点到焦点的距离，即，2分由条件得，解得，因此抛物线E的方程为；4分（2）当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去；5分当时，设，，联立直线与抛物线方程，将代入，整理得：，由韦达定理得：，，8分，又，，所以，因此，故，得证；10分（3）的面积，其中直线过点，故，因此：，所以，12分平方得：，又，，得：，解得，即17分19．（17分）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，证明：对任意，都有；(3)证明：，.【详解】（1）当时，，则，1分所以，，2分故当时，在点处的切线方程为4分（2）对任意的，当时，，故只需证对任意的恒成立，整理得，构造函数，其中，6分则，7分所以函数在上为减函数，故当时，，即，故对任意的，，故当时，对任意，都有9分（3）由（2）知，当时，，即，10分令，则，因为，所以，构造函数，其中，则，12分当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，即，当且仅当时，等号成立，令，得，即，13分整理得，则，即，15分所以，，，，累加得，故，17分（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角，，的对边分别是，，，已知．（1）求证：，，成等比数列；（2）若，试判断△ABC的形状．【详解】（1）由已知应用正弦定理得,即,3分由于,则故,,成等比数列．6分（2）若,则,8分由（1）知,则,即,12分所以,故△ABC为等边三角形．13分16．（15分）在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求：(1)异面直线与所成角的余弦值；(2)点到平面的距离；(3)二面角的余弦值．【详解】（1）以为原点，如图建立空间直角坐标系，因为，则2分所以.所以异面直线与所成角的余弦值为4分（2）因为，设平面的法向量为.则，两式相减得.令，则，所以6分因为，所以点到平面的距离为10分（3）因为平面，所以是平面的一个法向量，由于平面的法向量为12分所以二面角的余弦值为15分17．（15分）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零；(3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，1分所以，2分所以曲线在处的切线方程为：，即4分（2）函数的定义域为，.因为4是的极小值点，所以，即，解得6分当时，，，令，则，解得或8分当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，，故此时的极大值小于零10分（3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，11分即在上恒成立.在上恒成立，也即在上恒成立13分又，当且仅当，即时等号成立.所以，即实数的取值范围为15分18．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：242.964617942268862.6570308表中；(1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由）根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程．(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工