2026年高考数学终极冲刺：压轴02 利用导数研究不等式的4大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版）

压轴02利用导数研究不等式的4大核心题型1.导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.2.恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.题型01单变量函数不等式的证明技法技法指导利用导数证明或判定不等式问题常用方法(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变型构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.1.（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．2．（2026·菏泽一模）已知函数，．(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．(2)若，，证明：．题型02双变量函数不等式的证明技法技法指导证明含双参不等式的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.3．（2026·四川攀枝花·三模）已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)设函数的导函数为，若，证明：．4．（2026·安徽六安一模）已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若实数满足，求证：.题型03利用导数研究恒成立问题技法技法指导由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围.5.（2024全国甲（理）卷T21）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．6.（2026·山东青岛·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.7．（2026·湖南永州·一模）已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)若，且当时，恒成立，求的取值范围．题型04利用导数研究能成立问题技法指导不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法技法指导不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a>f(x)在x∈D上能成立，则a>f(x)min；若a<f(x)在x∈D上能成立，则a<f(x)max.(1)设，讨论的单调性；(2)设，若有解，求的取值范围．9．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数(1)求出函数在上的最值(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数（）.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围.2．（2025·山东聊城·三模）已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．3．（2025·广东肇庆二模）已知函数．(1)若，求的零点；(2)若，讨论的单调性；(3)若，证明：．4．（2025·福建龙岩三模）已知函数.(1)求的单调区间;(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：．6．（2025·广东·模拟预测）已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，；(3)若有两个零点，且，证明：.7.（2025·海南·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的单调区间与极值点；(2)已知有两个极值点，证明：．8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．10．（2026·河北保定·一模）已知函数(1)当时，求的极值.(2)已知.（i）证明:；（ii）若在上恒成立，求实数t的取值范围.11．（2026·河北张家口·一模）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：；(3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围．12．（25-26高三上·广西·期末）已知函数，．(1)求在内的单调性；(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，