高一数学期中（三角函数与解三角形、平面向量与复数、立体几何）【70个方法技巧】（原卷版）

高一数学期中70个方法技巧全归纳(三角函数与解三角形、平面向量与复数、立体几何)方法技巧01任意角 方法技巧02扇形的弧长及面积公式 方法技巧03三角函数的概念及应用 2方法技巧04同角三角函数的基本关系“知一求二”问题 2方法技巧05正余弦齐次式的计算 2 3方法技巧07诱导公式的应用 4方法技巧08和、差、倍角公式的直接应用 5方法技巧09和差角公式的逆用与变形 5方法技巧10角的变换问题 6方法技巧11三角函数式的求值 6方法技巧12三角函数的定义域和值域 方法技巧13三角函数的周期性、对称性与奇偶性 方法技巧14求三角函数的单调区间 8方法技巧15根据三角函数的单调性求参数 9方法技巧16比较三角函数值的大小 9方法技巧17函数y=Asin(wx+中)的图象及变换 方法技巧18由图象确定三角函数的解析式 1方法技巧19三角函数图象与性质的综合应用 方法技巧20三角函数模型的应用 方法技巧21三角函数中w的范围问题 方法技巧22复杂三角函数性质判断 方法技巧23利用正、余弦定理解三角形 方法技巧24判断三角形的形状 方法技巧25三角形面积的计算 方法技巧26三角形的中线问题 方法技巧27三角形的角平分线问题 方法技巧28三角形的高线问题 18方法技巧29己知三角形的一角求取值范围 方法技巧30已知三角形的一角及其对边求取值范围 方法技巧31已知三角形的一角及其邻边求取值范围 19方法技巧33测量距离问题 20方法技巧34测量高度问题 20方法技巧35测量角度问题 21方法技巧36和差正切公式在解三角形的应用 2方法技巧37平面向量的概念 23方法技巧38平面向量的线性运算 24方法技巧39向量共线定理的应用 24方法技巧40平面向量基本定理的应用 方法技巧41平面向量的坐标运算 方法技巧12向量共线的坐标表示 方法技巧43平面向量数量积的运算 方法技巧44平面向量数量积的应用 方法技巧45平面向量的应用 方法技巧16极化恒等式求数量积 方法技巧47极化恒等式求数量积的最值 方法技巧48复数的有关概念 方法技巧49复数的四则运算 方法技巧50复数的几何意义 3方法技巧51基本立体图形结构特征 3方法技巧52空间几何体的直观图 方法技巧53空间几何休的展开图 方法技巧54空间几何体的表面积与体积 方法技巧55简单几何休的外接球 方法技巧56简单儿何体的内切球 方法技巧57与球有关的截面问题 方法技巧58基本事实的应用 方法技巧59空间两直线位置关系的判定 方法技巧60异面直线所成的角 40方法技巧61空间几何体的截面、截线问题 方法技巧62截面分割体积比问题 方法技巧63直线与平面平行的判定 43方法技巧64线面平行性质定理的应用 4方法技巧65平面与平面平行的判定与性质 45方法技巧66平行关系的综合应用 46方法技巧67直线与平面垂直的判定与性质 方法技巧68平面与平面垂直的判定与性质 方法技巧69垂直关系的综合应用 方法技巧70三垂线定理及其逆定理 49(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围，(3)根据k的可能取值确定ma或的终边所在的位置.技巧：分母m是几，对k连取几个值判【典例1】(多选)与一835°终边相同的角有()【典例2】若α是第二象限角，则()A.一α是第一象限角B.是第三象限角a是第二象限角D.2a是第三或第四象限角或在v轴负半轴上应用弧度制解决问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长、面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【典例1】在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()【典例2】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC,再分别以点A,B.C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB的长为1,则莱洛三角形的周长是,其面积是. (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点的三角函数值，可以求出角α终边的位置.(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.A.cos2α>0B.c 5²,6²+8²=10²,9²+12²=15²,….;②5²-12²=13²,8²-15²=172,7²+24²=25²,…解题大招(1)形如asina+bcosa和asin²a+bsinacosa+ccos²a的式子分别称为关于sina,cosa的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosa或cos²a)求解。如果分母为1,可考虑将1写成sin²a+cos²a.①分式齐1次式②分式齐2次式③齐2次整式【典例1】已知则【典例2】若【典例3】己知向量a=(sinθ,cos0),b=(3,1),若a//6,则sin²θ+sin2θ的值为方法技巧06sina±cosa和sinacosa解题大招对于已知sina±cosa的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解、涉及的三角恒等式(sina+cosa)²=1+2sinacosa=1+sin2a(sina+cosa)²—(sina—cosa)²=4si(cosa-sina)(cosa+sinα)=cos²注：利用sin²a+cos²a=1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a所在象限确定符号；利用=tana可以实现角a的弦切互化；利用(sina±cosa)²=1±2sinacosa的关系可实现和积转化.方法技巧07诱导公式的应用解题大招常见的互余和互补的角互余的危互补的角与【典例2】(2025·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1.【典例3】(2023·新疆乌鲁木齐.统考三模)—2),则方法技巧08和、差、倍角公式的直接应用 应用公式化简求值的策略(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律.(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，方法技巧09和差角公式的逆用与变形三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.意公式的正用、逆用和变形使用.(3)注意特殊角的应用，当式子中出现√3等数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式.【典例1】在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值为()【典例2】(多选)下列等式成立的有()方法技巧10角的变换问题三角公式求值中变角的解题思路(2)求β-2α的值.其中值 三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解.(2)给值求值：解题的关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.值).(2)形如y=asin²x+bsinx+c(a≠0)的三角函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值的二次函数求值域(最值),注意求t的范围.方法技巧13三角函数的周期性、对称性与奇偶性 ②图象法.坐标的形式.②对称轴是直线，方程最终要写成“x=…”的形式.B.偶函数且图象关于直线对称D.偶函数且图象关于对称(1)求函数y=Asin(wx+φ)(A>0,@≠0)wx+4视作整体，代入y=sinx或y=coSx相关的(A>0,w<0),将y=Acos(wx+φ)(A>0,w<0)变形为y=Acos(-wx-φ)(A>0,w<0),【典例1】函数[0,π]上的单调递减区间为·【典例2】函数y=|tanx|的单调递增区间为.单调递减区间为__·解题大招解题大招【典例1】已知w>0.上单调递减，则w的取值范围是()取值范围为()方法技巧17函数y=Asin(wx+φ)的图象及变换(1)由y=sinwx的图象到y=sin(wx+φ)(w>0,φp>0)的图象的变换：向左平个单位长度.注意：为负值时应先变成正值. 【典例3】为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象()方法技巧18由图象确定三角函数的解析式 【典例3】函的图象如图所示，图中阴影部分的面积为 _ _方法技巧19三角函数图象与性质的综合应用解题.B.若恒成立，则w的最小值为2【典例2】已知偶函数f(x)=sin(wx+φ)(w>0)的图象关于.中心对称，且在区间_ 二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.米(用a表示);当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是平方米.QB【典例2】(2024·广东佛山二模)近年来，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆0绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s,圆上两点A,B始终满足,随着圆0的旋转，A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方，则t=秒时，A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=方法技巧21三角函数中w的范围问题1.先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求w的取值范围.2.三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于w的不等式组，进而研究“w”的范围.3.利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于w的不等式，进而求出w的取值范4.三角函数相邻两【典例1】己知函数根据三角函数的零点个数，可以研究w的取值范围.其屮w>0.若f(x)在区问上单调递增，则w的取值范围是()点中心对称，则w的最小值为()2],则w的取值范围是()增，且f(x)在区上只取得一次最大值，则w的取值范围为()【典例6】已知函数f(x)=sinπwx-√3cosπwx(w>0)在[0,1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数w的取值范围是C.f(x)是以π为一个周期的周期函数D.f(x)在[0,π]上有4个零点解题大招解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理.以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用-√3cosA=2.取值范围为方法技巧24判断三角形的形状判定三角形形状的两种常用途径判定途径判定途径角化边进行判断A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定【典例2】在△ABC中，c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.直角二角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形方法技巧25三角形面积的计算三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.A.6方法技巧26三角形的中线问题方法技巧27三角形的角平分线问题 A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 的性质求解.【典例2】(2025·江苏南通模拟)已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,(2)的取值范围.解题大招【典例2】△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,(2)求AC边上高的最大值.z解题大招锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件.(ii)求△ABC面积的取值范围.【典例2】在锐角△ABC巾，内角A.B,C所对的边分别是a,b,c,c=2, 取值范围是 的平分线交AC于点D,BD=1且b=中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC周长的最小值为· 距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当.【典例1】(2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”,若要测量如图所示某蓝洞口边缘A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8nmile,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,A,B两点的距离为nmile.【典例2】如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平而上的山体方法技巧34测量高度问题解题大招间图形，一个平面图形.在大厦底部的射影为点O,两个测量基点B,C与O在同一水平面上，他测得BC=102√7m,∠BOC=120°,在点B处测得点A的仰角为θ(tanθ=2),在点C处测得点A的仰角为45°,则CC为α,则山的高度PQ为()方法技巧35测量角度问题解题大招解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义.(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值.(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点.提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键.【典例1】一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12√6nmile,灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为12√3nmile,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的()A.正西方向B.南偏西75°方向C.南偏西60°方向D.南偏西45°方向【典例2】(2025·广东广州模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14km/h的速度，沿北偏东45°+a方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时问内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为h,角α的正弦值为.解题大招向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的.(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.④是与非雾向量a同方向的单位向量.【典例1】(多选)如图，D,E,F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是()B.AB与DE共线【典例2】(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是() 用三角形法则.行比较，求参数的值.A.[3,7]B.(3,7)A.OA+OB=ABC.A0-OB=AB利用向量共线定理解题的策略(1)a//b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线⇔AB,AC共线.【典例1】(2025-浙江杭州模拟)已知向量，e₂是平面上两个不共线的单位向量，HAB=e₁+A.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线【典例3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线 CCA.3【典例4】在△ABC中，M是AC边上一点，且AM 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.C.3m+2n【典例2】如图，在△ABO中，已知OA=a,OB=b,0M=÷a,ON不能构成平面向量的基底的是()方法技巧41平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则(或运算律)进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(3)在特殊的平面图形中恰当建立直角坐标系，把向量的有关运算转化为坐标运算，有时更简单.【典例1】在平行四边形ABCD中，AD=(3,7),AB=(一2,3),对角线AC与BD则λ+μ=()C.0A.—2C.1 计算平面向量数量积的主要方法(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 1.求平面向量模的方法2.求平面向量的夹角的方法(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中.【典例3】若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a—3b与c的夹角为钝角，则k的A.—2量的坐标是()A.(-2,-2)【典例6】(多选)已知向量a=(2,m),b=(-1,3),则下列说法中正确的是()D.若向量a,b的夹角为钝角，则m的取值范围是表示出来A.若PAPB=PBPC=PCPA.则P是△ABC的垂心D.若NA+NB+NC=0,则N是△ABC的重心方法技巧46极化恒等式求数量积在平行四边形ABDC中，○是对角线的交点，则 cc 用点到直线的距离等求解.【典例1】己知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的的动点，且PC=1,则PA·PB的取值范围是()A.[一5,3]C.「一6.4]D.[-4.6]【典例2】(多选)(2024·广东惠州调研)已知复数则下列结论正确的是()A.z的虚部为1C.z2为纯虚数D.z在复平面内对应的点位于第一象限【典例3】(多选)已知z1,z2是两个虚数，则下列结论中正确的是()B.若z₁+z₂与z1z₂均为实数，则z₁=Z₂C.若z₁,Z₂均为纯虚数，则为实数D.老为实数，则z1,Z₂均为纯虚数方法技巧49复数的四则运算 (1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数.【典例1】(2024·新高考|卷)则z=()A.—1-iB.-1+i【典例3】(多选)若Z1,Z2是方程x²+ax+1=0(a∈R)的两个虚数根，则()A.a的取值范围为[一2,2]B.z₁的共轭复数是z解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.为()空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线B.各侧面都是正方形的四棱柱一定C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半.2,则下列说法正确的是()C.四边形ABCD的周长为4+2√2-2√3D.四边形ABCD的面积为6√2面化.A.2√2【典例2】如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1,路线为A→M→N→A,则蚂蚁爬行的最短路程是()A.Na²+9b2方法技巧54空间几何体的表面积与体积公式法把不规则的儿何体分割成规则的儿何体，或者补等体通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)A.6πB.16πC.26π轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2:3,则正六棱锥与正六棱柱的侧面积√3,则圆锥的体积为()A.2√3πC.63π袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()方法技巧55简单几何体的外接球点的情况确定球心的准确位置.(3)到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可.(4)分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心【典例1】已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在以0为球心的球面上，,AA:=BC=2,则球0的体积为()其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.100π【典例3】已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=√5,BC=V7,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为()四面体的外接球的体积为()【典例5】已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外而ABC,BC=3,PB=2√2,PC=√5.则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为方法技巧56简单几何体的内切球“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.球的半径面体的棱长)其半径R:r=3:1.(a为该正四【典例1】已知圆台的上、下底面的半径之比侧面积为9π,在圆台的内部有一球0,该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球0的表面积为()【典例2】(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.【典例3】若一个正四面体的表面积为S₁,其内切球的表面积为S₂,则.方法技巧57与球有关的截面问题(3)利用00¹²+r²=R²计算相关量.上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为()A.√3【典例2】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高是8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为() 合).这些点都在同一条特定直线上. 空间中两直线位置关系的判定方法空间两直线位置关系【典例1】已知三个平面α,β,γ,其中a∩β=a,β∩y=b,yna=c,论一定成立的是()C.b//c【典例2】在底面半径为1的圆柱001中，过旋转轴001作圆柱的轴截面ABCD,其中母线长AB=2,E是BC的中点，F是AB的中点，则()B.AE≠CF,AC与EF是共面直线D.AE≠CF,AC与EF是异面直线则下列直线中，始终与直线BP异面的是()C.AD₁ 求异面直线所成角的方法(1)平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解.(2)补体法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解.(3)坐标法：如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解.提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.DB₁所成角的余弦值为()线AB₁与BC所成角的余弦值等于()【典例3】如图，圆台001的上底面半径0₁A₁=1.下底面半径0A=2.母线长AA₁=2.过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C,则异面直线00₁与A₁C所成角的大小为 1.空间几何体的截面作图的常用方法(1)平行线法.用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平截面有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行.(2)延长线法.用延长线法解决截面问题的关键是：截面上至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内.2.作交线的两种方法(1)利用基本事实3作交线.(2)利用