2025~2026学年湖南长沙市华益中学上学期九年级第三次学情自测数学试卷

2025~2026学年湖南长沙市华益中学上学期九年级第三次学情自测数学试卷一、单选题1.已知和关于原点对称，则的值为（）

A．B．C．D．2.抛物线的顶点坐标（）

A．B．C．D．3.从边长为的立方体中挖去边长为的立方体，得到的几何体如图所示，它的左视图是（）

A．B．C．D．4.若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（）

A．B．C．D．5.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（）

A．竹篮打水B．水中捞月C．水涨船高D．守株待兔6.如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（）

A．1B．C．2D．无法计算7.已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）

A．B．C．D．8.如图，在菱形中，点是边上一点，且，连接交于点，若的面积为3，则的面积为（）

A．4B．C．16D．9.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）

A．B．C．D．10.如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，，交点为F，若，则的值为（）

A．B．C．D．二、填空题11.若二次函数的对称轴为直线，则______．12.已知m是方程的一个根，则的值为______________．13.在中，若，，则___．14.“立春、雨水、惊蛰、…、大寒”等24个节气中依次有6个节气分别属于春、夏、秋、冬四个季节，则从24个节气中随机选一个节气，这个节气恰好与今日同属于一个季节的概率是______．15.龙兴寺位于山西省新绛县城北街顶端的高崖上，初名“碧落观”，唐咸亨元年改称“龙兴寺”．龙兴寺中最为宝贵者为“舍利子宝塔”（如图1），它是我国最古老的宝塔之一．根据光的反射定律（如图2），小亮将一面镜子放在宝塔前50m的点E处，然后沿着直线后退到点C处．这时小亮恰好在镜子里看到宝塔的顶端A，通过测量得．已知小亮眼睛离地面的距离为1.5m，那么该宝塔的高度是______m．16.如图，四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________．三、解答题17.计算：．18.阅读材料，解答问题：解方程：解：设，则原方程可化为．解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个解：，，，．以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程：．19.已知：如图，在中，，求和的值．20.如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止．(1)经过多长时间，的面积为？(2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点．与反比例函数的图象交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积．22.类似在直角三角形中研究三角函数，我们新定义：等腰三角形中腰与底边的比叫做底角的邻对（），如图①，在中，，底角的邻对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：(1)分别计算，和的值；(2)如图②，已知在中，，，若的周长为，求的面积．23.如图，和都是以O为直角顶点的等腰直角三角形，连接，．(1)如图1，试判断与的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，若点D恰好在上，且D为的中点，，求的面积；(3)如图3，设与的交点为点E，若，，，直接写出的长．24.问题探究（1）如图1，在中，，点D是的中点，点P是上一动点，根据北师大版七年级下册123页的问题解决可知，有最小值，则的最小值为；（2）在（1）的条件下，点P是平面内一动点，，求的最小值．问题解决（3）如图3，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点F处，且，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点M处设置餐厅入口，在半圆与交点N处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点P为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长．25.已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．(1)若，A点坐标为