统计学第5章 时间序列（第二版）1

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王光玲《统计学》客观现象数量表现统计总体数量特征统计研究的程序统计研究目的统计设计推断分析描述分析收集数据整理数据2026/5/114引导案例——实践中的统计学2026/5/115表5-1国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)城镇居民家庭人均可支配收入（元）城镇居民家庭恩格尔系数(%)1996199719981999200020012002200320042005200671176.678973.084402.389677.199214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183867.9210871.01223891236261247611257861267431276271284531292271299881307561314484838.95160.35425.15854.06280.06859.67702.88472.29421.610493.011759.548.846.644.742.139.438.237.737.137.736.735.82026/5/116引导案例——实践中的统计学国内生产总值、年末总人口、城镇居民家庭人均可支配收入、城镇居民家庭恩格尔系数等统计数字，和以往我们介绍的统计综合指标有所不同，都是按时间顺序定期进行观测（每日、每月、每季度或每年）和记录的。按所发生的时间顺序收集并排列的数据称为时间数列。2026/5/117本章相关内容学习目标重点、难点教学内容参考资料

2026/5/118学习目标1.时间序列及其分解原理2.时间序列水平分析的方法3.时间序列速度分析的方法4.平稳序列的平滑和预测方法5.有趋势序列的的分析和预测方法6.复合型序列的综合分析2026/5/119重点、难点

重点：有趋势成分的序列的预测方法。

难点：线性趋势预测与非线性趋势预测模型的掌握。2026/5/1110教学内容5.1时间序列分析的基本问题5.2时间序列的水平分析5.3时间序列的速度分析5.4时间序列的趋势分析和预测5.5复合型序列的分解2026/5/11115.1时间序列分析的基本问题一、时间序列的概念二、时间序列的编制原则三、时间序列的分类(见P115)2026/5/1112一、时间序列(timesseries)1.将某一统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序编制所形成的序列,称为时间序列，亦称为时间数列或动态序列。2.时间序列的构成要素：一是现象所属的时间二是统计指标的具体数值3.表现形式：年份、季度、月份或其他任何时间形式4.作用：描述社会经济现象的发展状态、趋势和结果；掌握发展变化规律性；对发展方向和速度进行预测。2026/5/1113二、时间序列的编制原则

保证各期指标数值的可比性，是编制时间序列的基本原则。具体说，要注意以下问题：１、时间长短应尽量统一。时期数列中，指标值的大小与时间长短有直接的关系２、总体范围应一致。如：行政区划、隶属关系３、计算口径应统一。计算方法、计量单位等，如：劳动生产率可按实物量或价值量计算。４、指标涵义和经济内容应一致。如：盐税在1994年并入了资源税，资源税时间序列的编制应做调整。2026/5/1114三、时间序列的分类1.绝对数时间序列一系列总量指标按时间顺序排列而成反映现象在不同时间上所达到的绝对水平按总量指标反映的时间状态不同，分为：时期序列：现象在一段时期内总量的排序时点序列：现象在某一时点上总量的排序2.相对数时间序列一系列相对数指标按时间顺序排列而成3.平均数时间序列一系列平均数指标按时间顺序排列而成三、时间序列的分类2026/5/1116表5-1国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)城镇居民家庭人均可支配收入（元）城镇居民家庭恩格尔系数(%)1996199719981999200020012002200320042005200671176.678973.084402.389677.199214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183867.9210871.01223891236261247611257861267431276271284531292271299881307561314484838.95160.35425.15854.06280.06859.67702.88472.29421.610493.011759.548.846.644.742.139.438.237.737.137.736.735.82026/5/11175.2时间序列的水平分析一、发展水平与平均发展水平二、增长量与平均增长量（见P117）2026/5/1118一、发展水平与均发展水平2026/5/1119（一）发展水平（概念要点）发展水平：现象在不同时间上的观察值说明现象在某一时间上所达到的水平时间表示为t1，t2，…，tn，相应的观察值表示为Y1，Y2，…，Yn-1，Yn根据各观察值在时间序列中的位置，可分为：最初发展水平——时间序列中第一项指标值Y1最末发展水平——时间序列中最末一项指标值Yn报告期水平——所要分析的那个时期的指标值Ｙi基期水平——作为比较基础时期的指标值Ｙ02026/5/1120（二）平均发展水平（概念要点）平均发展水平将不同时期的发展水平加以平均而得到的平均数叫做平均发展水平，又称为序时平均数。说明现象在一段时期内所达到的一般水平不同类型的时间序列有不同的计算方法时间序列绝对数序列时期序列时点序列连续时点间隔相等间隔不等间断时点间隔相等间隔不等相对数序列平均数序列2026/5/11212026/5/11221.绝对数序列的序时平均数

（时期序列计算方法）计算公式：【例1】

根据表5-1中的国内生产总值序列，计算1996-2006年的年平均国内生产总值

（1）时期序列1.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）

（2）时点序列①连续时点序列：每天都登记a.间隔相等的连续时点：简单算术平均2026/5/1124【例2】

某企业一月份上旬每天人数为：405、405、408、408、408、407、409、410、410、410，则上旬平均每天人数为：1.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算举例）2026/5/1125b.间隔不等的连续时点：加权算术平均1.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）【例3】某企业6月份职工人数如表5-1所示，求6月份的日平均人数日期6.1～6.86.9～6.136.14～6.246.25～6.30人数

1200

1240

1220

12301.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算举例）表5-1

6月份职工人数统计表②间断时点序列：间隔在一天以上的时点序列a.间隔不等的间断时点序列Y1Y2Y3YnY4Yn-1T1T2T3Tn-11.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）2026/5/1128

※间隔不相等

时，采用加权序时平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初表5-2某种股票2010年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8【例4】设某种股票2010年各统计时点的收盘价如表5-2所示，计算该股票2010年的月平均价格1.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算举例）间隔相等(T1=T2=…=Tn-1)b.间隔相等的间断时点序列Y1Y2Y3YnYn-1T1T2Tn-11.绝对数序列的序时平均数

（时点序列计算方法）2026/5/1131

※间隔相等

时，采用简单序时平均法一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初b.间隔相等的间断时点序列2026/5/1132

※间隔相等

时，采用简单序时平均法一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初b.间隔相等的间断时点序列首末折半法!1.绝对数序列的序时平均数

（时点序列实例）日期6月末7月末8月末9月末人数136142140152【例5】

已知某企业2010年6月至9月各月末职工人数如表5-3所示，试计算第三季度平均人数。

表5-3

2.相对数序列和平均数序列

的序时平均数先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母bi的平均数再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数基本公式为2.相对数序列和平均数序列

的序时平均数⑴a、b均为时期数列时2026/5/1136月份一二三计划利润（万元）b200300400利润计划完成程度（﹪）Y125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如表5-4所示：因为所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：【例6】2.相对数序列和平均数序列

的序时平均数(2)a、b均为时点数列时2.相对数序列和平均数序列

的序时平均数2026/5/11⑶a为时期数列、b为时点数列时

相对数序列的序时平均数

（计算方法与实例）【例7】某企业2011年各季度销售收入和流动资金资料如下表所示。又知，该年末流动资金余额100万元。计算该企业2011年流动资金季平均周转次数。abc2026/5/1140月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300【例8】已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。2026/5/1141四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：2026/5/1142③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：2026/5/1143二、增长量和平均增长量（P120）2026/5/1144（一）增长量（概念要点）1.

报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量。2.有逐期增长量与累积增长量之分逐期增长量报告期水平与前一期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Yi-1(i=1,2,…,n)累积增长量报告期水平与某一固定时期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Y0(i=1,2,…,n)2026/5/1145逐期增长量与累积增长量

（关系）⑴各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量

即：∑(Yi-Yi-1)=Yn-Y0⑵相邻两组累积增长量之差等于相应的逐期增长量即：(Yi-Y0)-(Yi-1-Y0)=Yi-Yi-12026/5/1146（二）平均增长量（概念要点）⑴

观察期内各逐期增长量的平均数⑵描述现象在观察期内平均增长的数量⑶计算公式为

增长量的计算方法与实例【例9】根据表5-5数据。计算2001~2005年间，我国国内生产总值的逐期增长量、累积增长量和平均增长量表5-52001~2005年我国国内生产总值完成情况年份20012002200320042005国内生产总值(亿元)

逐期增长量累积增长量109655----12033310678106781358231549026168159878240555022318308523207734302026/5/1148练习题：P149第1、2、4、9题5.3

时间序列的速度分析一、发展速度和增长速度

二、平均发展速度与平均增长速度

2026/5/1150一、发展速度和增长速度(见P121)2026/5/1151（一）发展速度（要点）1.报告期水平与基期水平之比2.说明现象在观察期内相对的发展变化程度3.由于对比的基期不同，有环比发展速度与定基发展速度之分4.环比发展速度与定基发展速度

（要点）(1)环比发展速度报告期水平与前一期水平之比(2)定基发展速度报告期水平与某一固定时期水平之比5.环比发展速度与定基发展速度

（关系）（1）定基发展速度等于各环比发展速度的连乘积（2）两个相邻时期的定基发展速度之比，等于相应时期的环比发展速度2026/5/1154（二）增长速度（增长率）

(growthrate)1.报告期观察值与基期观察值之比减1，用%表示2.由于对比的基期不同，可以分为环比增长率和定基增长率2026/5/11553.环比增长率与定基增长率（1）环比增长率报告期水平与前一期水平之比减1（2）定基增长率报告期水平与某一固定时期水平之比减12026/5/11564.环比增长率与定基增长率关系所以:Π（环比增长速度+1）=定基增长速度+1因为:2026/5/1157如何由环比增长速度求定基增长速度？先将各环比增长速度加1，还原为环比发展速度；再将各环比发展速度连乘，得定基发展速度；后将定基发展速度减1，即得定基增长速度。发展速度与增长速度的计算

（实例）表5-6我国国内生产总值速度计算表年份20012002200320042005国内生产总值(亿元)109655120333135823159878183085发展速度(%)环比定基—100109.7109.7112.9123.9117.7145.8114.5167.0增长速度(%)环比定基——9.79.712.923.917.745.814.567.0【例10】

根据表5-6国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以2001年为基期的定基发展速度和增长速度

2026/5/1159二、平均发展速度

与平均增长速度(P124)（一）平均发展速度

（要点）1.观察期内各环比发展速度的平均数2.说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度3.通常采用几何法(水平法)计算4.计算公式为:表5-7我国国内生产总值发展水平表年份20012002200320042005国内生产总值(亿元)109655120333135823159878183085环比发展速度(%)—109.7112.9117.7114.5【例11】

根据表5-7中数据，计算2002～2005年间我国国内生产总值的年平均发展速度（一）平均发展速度

（实例）2026/5/11621.从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平Yn2.按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致3.只与序列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关4.如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适（一）平均发展速度

（几何平均法的特点）2026/5/1163（二）平均增长速度

(要点

)1.描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度，也称为平均增长率。2.平均增长速度=平均发展速度-13.计算公式为【例12】见城镇居民家庭人均可支配收入数据

年平均增长率为：

2007年和2008年人均可支配收入的预测值分别为：

（二）平均增长速度

(实例

)2026/5/1165（三）速度分析中应注意的问题1.正确选择基期2.总平均速度与分段平均速度相结合(见P126)3.避免速度指标的误用、滥用。当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率。例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在有些情况下，要注意增长速度与绝对水平的结合分析增长率分析中应注意的问题

(例题分析)甲、乙两个企业的有关资料年份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2005500—60—2006600208440【例13】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表增长率分析中应注意的问题

(增长1%绝对值)

1.增长率每增长一个百分点而增加的绝对量2.用于弥补增长率分析中的局限性3.计算公式为甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元2026/5/1168练习题：P150第5、6题5.4时间序列的趋势分析(P127)一、时间序列的构成要素和模型二、线性趋势的分析与预测三、非线性趋势的分析与预测一、时间序列的构成要素及模型（一）时间序列的构成要素趋势(trend)

也称长期趋势(Seculartrend)呈现出某种持续向上或持续下降的趋势或规律2.季节性(seasonality)也称季节变动(Seasonalfluctuation)现象在一年内随着季节的更换而引起的有规律变动周期性(cyclity)

也称循环波动(Cyclicalfluctuation)

从低至高再从高至低的周而复始的变动随机性(random)

也称不规则波动(Irregularvariations)偶然性因素对时间序列产生影响含有不同成分的时间序列平稳趋势季节季节与趋势（二）时间序列的模型时间序列的构成要素长期趋势(T)季节变动(S)

循环波动(C)不规则波动(I)时间序列的分解模型乘法模型：Yi=T

i×Si×C

i×Ii加法模型：Y

i=T

i+S

i+C

i+I

i混合模型：Y

=T

·S

+I

或Y

=S

+T

·C

·I

2026/5/1174时间序列的构成要素与测定方法线性趋势构成要素与测定方法循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法指数平滑法线性模型法不规则波动非线性趋势

趋势剔除法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线二、线性趋势分析和预测2026/5/1176线性趋势(lineartrend)现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律由影响时间序列的基本因素作用形成测定方法主要有：移动平均法、指数平滑法、线性模型法等

（三）线性模型法(P132)2026/5/1178线性模型法

(线性趋势方程)

线性方程的形式为

—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时趋势值的平均变动数量线性模型法

(a和b的最小二乘估计)

1.趋势方程中的两个未知常数a和b按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线2026/5/1180线性模型法

(a和b的最小二乘估计)

线性模型法

(a和b的求解方程)2.根据最小二乘法得到求解a和b

的标准方程为解得：2026/5/1182线性模型法

(a和b的求解方程)1.根据趋势方程计算出各个时期的趋势值预测误差可用估计标准误差来衡量m为趋势方程中未知常数的个数

线性模型法

(例题分析)【例4】根据人均GDP数据，根据最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的人均GDP，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

线性趋势方程：估计标准误差：3.2005年人均GDP的预测值线性模型法

(例题分析)2026/5/1185年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知我国GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。解：预测：2026/5/11870

1234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点2026/5/1188当

t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…2026/5/1189年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.71822026/5/1190解：预测：2026/5/1191练习题：P149第3题2026/5/1192趋势线的选择(P141)1.观察散点图，按以下标准选择趋势线：一次差（逐期增长量）大体相同，配合直线二次差（增长量的二次差）大体相同，配合二次曲线对数的一次差（环比增长速度）大体相同，配合指数曲线2026/5/1193趋势线的选择(P141)一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线2.比较估计标准误差6.5复合型序列的分解一、季节性分析二、趋势分析三、周期性分析一、季节性分析(P142)季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动各年变化强度大体相同、且每年重现“季节”不仅是指一年四季，指任何一种周期性的变化测定目的确定现象过去的季节变化规律，制定当前经