2026年数学计数原理测试题及答案

2026年数学计数原理测试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，共有（）种选法。A.10B.15C.20D.252.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从该班中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率为（）。A.$\frac{3}{7}$B.$\frac{4}{7}$C.$\frac{5}{7}$D.$\frac{6}{7}$3.有4位同学参加3项不同的比赛，每位同学必须参加一项比赛，则不同的参赛方法有（）种。A.81B.64C.24D.124.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）个。A.48B.60C.72D.965.从甲、乙等5名志愿者中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人都不能从事A工作，则不同的选派方案共有（）种。A.60B.72C.84D.966.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（）个。A.30B.32C.36D.487.从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取两个不同的数字，其和为偶数的概率是（）。A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$8.某城市的电话号码由8位数字组成，其中第一位数字不能为0，则该城市最多可以有（）个不同的电话号码。A.$9\times10^7$B.$9\times10^8$C.$10^8$D.$10^7$9.从5名男生和4名女生中选出3人，其中至少有1名女生的选法有（）种。A.74B.72C.70D.6410.从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个不同的数字，分别作为一个对数的底数和真数，则可以得到（）个不同的对数值。A.56B.53C.52D.50二、填空题（总共10题，每题2分）1.从5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在3块不同土质的土地上，共有______种不同的种法。2.某小组有8名男生，6名女生，现从中选出4人参加一项活动，要求至少有2名女生，则不同的选法有______种。3.用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数有______个。4.从10名学生中选3人参加数学竞赛，其中甲、乙两人至少有一人参加的选法有______种。5.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人2本，则不同的分法有______种。6.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，共有______个。7.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的有______个。8.从A，B，C，D，E五名学生中选2人担任正、副班长，则不同的选法有______种。9.从3名医生和6名护士中选出3人组成一个医疗小组，要求其中至少有1名医生，则不同的选法有______种。10.用红、黄、蓝三种颜色给图中的四个区域涂色，要求相邻区域的颜色不同，则共有______种不同的涂色方法。三、判断题（总共10题，每题2分）1.从3个不同的元素中取出2个元素的排列数与组合数相等。（）2.两个计数原理的区别在于分类加法计数原理是完成一件事有n类办法，分步乘法计数原理是完成一件事需要n个步骤。（）3.用1，2，3三个数字组成没有重复数字的三位数，共有6种不同的排法。（）4.从5名男生和3名女生中任选3人，其中至少有1名女生的选法有$C_{3}^{1}C_{7}^{2}$种。（）5.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字组成两位数，共有20种不同的组合。（）6.从A地到B地有3条路，从B地到C地有4条路，则从A地经过B地到C地共有12条不同的路线。（）7.6个人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻的排法有$A_{5}^{5}$种。（）8.从8个不同的元素中取出5个元素的排列数为$A_{8}^{5}=\frac{8!}{(8-5)!}$。（）9.用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共有$A_{5}^{4}$个。（）10.从10名学生中选3人参加比赛，其中甲、乙两人都不参加的选法有$C_{8}^{3}$种。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.某班有男生25人，女生20人，从中选4人参加某项活动，要求至少有1名女生，求不同的选法有多少种？2.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，其中大于3125的数有多少个？3.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有多少种？4.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？五、讨论题（总共4题，每题5分）1.试讨论排列与组合的联系与区别，并举例说明。2.结合生活实际，谈谈分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。3.如何理解“至少”“至多”等关键词在计数问题中的处理方法？请举例说明。4.从1-10这10个自然数中，任取4个数，求其中至少有2个数是连续自然数的概率。答案：一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.A7.B8.A9.A10.C二、填空题1.602.3103.724.645.906.72007.1088.209.6410.48三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.方法一（直接法）：-1女3男：$C_{20}^{1}C_{25}^{3}=\frac{20!}{1!(20-1)!}×\frac{25!}{3!(25-3)!}=20×2300=46000$（种）；-2女2男：$C_{20}^{2}C_{25}^{2}=\frac{20!}{2!(20-2)!}×\frac{25!}{2!(25-2)!}=190×300=57000$（种）；-3女1男：$C_{20}^{3}C_{25}^{1}=\frac{20!}{3!(20-3)!}×\frac{25!}{1!(25-1)!}=1140×25=28500$（种）；-4女：$C_{20}^{4}=\frac{20!}{4!(20-4)!}=4845$（种）。-所以共有$46000+57000+28500+4845=136345$（种）。方法二（间接法）：$C_{45}^{4}-C_{25}^{4}=\frac{45!}{4!(45-4)!}-\frac{25!}{4!(25-4)!}=148995-12650=136345$（种）。2.千位是4或5时：$2×A_{5}^{3}=2×\frac{5!}{(5-3)!}=2×60=120$（个）；千位是3，百位是2、4、5时：$3×A_{4}^{2}=3×\frac{4!}{(4-2)!}=3×12=36$（个）；千位是3，百位是1，十位是4、5时：$2×A_{3}^{1}=2×3=6$（个）；千位是3，百位是1，十位是2，个位是4、5时：2个。所以共有$120+36+6+2=164$（个）。3.第一棒从除甲、乙外的4人中选1人有$C_{4}^{1}$种选法，其余三棒从剩下的5人中选3人进行排列有$A_{5}^{3}$种排法。所以共有$C_{4}^{1}A_{5}^{3}=4×\frac{5!}{(5-3)!}=4×60=240$（种）。4.先从5个球中选出2个作为一组，有$C_{5}^{2}$种选法，再把这一组与另外3个球全排列，有$A_{4}^{4}$种排法。所以共有$C_{5}^{2}A_{4}^{4}=\frac{5!}{2!(5-2)!}×\frac{4!}{(4-4)!}=10×24=240$（种）。五、讨论题1.联系：排列是在组合的基础上对选出的元素进行排序。区别：组合只考虑元素的选取，不考虑顺序；排列既考虑元素的选取，又考虑元素的顺序。例如从3个不同元素a、b、c中选2个元素，组合有ab、ac、bc共3种情况；而排列有ab、ba、ac、ca、bc、cb共6种情况。2.分类加法计数原理：比如从家到学校有3种交通工具（公交、地铁、打车）可选择，每种方式都能独立完成从家到学校这件事，那么从家到学校的方式总数就是这3种方式的和。分步乘法计数原理：如组装一台电脑，需要选CPU、主板、内存等多个步骤，每个步骤都有不同的选择，完成组装电脑这件事需要依次完成这些步骤，那么总的组装方法就是各步骤选择数的乘积。3.“至少”“至多”等关键词在计数问题中常可以用直接法和间接法处理。例如从5名男生和3名女生中选3人，至少有1名女生。直接法可分1女2男、2女1男、3女这几种情况分别计算选法再相加；间接法用总的选法$C_{8}^{3}$减去没有女生（即3男）的选法$C_{5}^{3}$。4.先求从10个数中任取4个数的总组合数$C_{10}^{4}=\frac{10!}{4!(10-4)!}=210$种。再求没有2个数连续的情况：设取出的数为$a_1<a