圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台类比多面体旋转体体

积表面积一：复习巩固，导入新课特殊与一般转化与化归圆柱、圆锥、圆台、球空间几何体表面积体

积二：新知探究，类比学习探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积问题1围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面，如何计算这些曲面的面积呢?化曲为直平面问题空间问题转化探究1

圆柱、圆锥、圆台的表面积问题2

圆柱的侧面展开图是什么形状?如何求

圆柱的表面积?圆柱侧

=2πn圆柱

=2πr²+2πrl=2πr(r+l)(r是底面半径，l是母线长)矩形2πrSSS

圆锥

=π

r²+πrl=πr(r+l)(r

是底面半径，l

是母线长)I。o探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积问题3

圆锥的表面积该如何表示?2πr扇形探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积问题4

圆台的表面积该如何表示?S

圆台

=π

r²+πr²+S圆台

侧?圆台的侧面积公式的推导：圆台的侧面积转化

两个扇形的面积之差因为

△PO'A

'一△POA,所

以

化简得

因

此S

圆台侧B=πl(r'+r)S

圆台侧=π

l(r'+r)探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积S

圆台

=π

r²+πr²+S圆台

侧=πr'2+πr²+πl(r'+r)=π(r'2+r²+r'l+rl)S

圆

台

=

π

(r'²+r²+r'l+rl)(r',r分别是上、下底面半径，l是母线长)探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积问题4

圆台的表面积该如何表示?扇环0探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积S

圆柱=2πr(r+l)(

r

是底面半径，l

是母线长)圆锥=π

r(r+l)(r是底面半径，l

是母线长)S圆台

=π(r'²+r²+r'l+rl)(r',r分别是上、下底面半径，

L是母线长)思考1

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?◎国柱、国性、国位的表面Fgg文件编辑

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区▼30绘图区■▼鲁

c

▼

3

第

印R=3h=5r=1.5☑体□轴截面主视图原视角探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积上底扩大

上底缩小r'=rr'=0S

圆

台=

π

(r²+r²+r'l+rl)

三探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积s

圆锥=πr(r+l)S

圆

柱

=

2πr(r+l)探究2圆柱、圆锥、圆台的体积圆柱的体积公式

V

圆柱=πr²h(r

是底面半径，h是高)圆台的体积公式

(,分别是上、下底面半径，h是高)圆锥的体积公式

V

圆锥(r是底面半径，h

是高)推导所以圆锥SO’的

高圆锥SO的

高

所以圆台00'的体积为：Vo₀=Vso-Vso探究圆柱、圆锥、圆台的体积圆台体积公式的推导：因

为

△SA'O'∽△SO所以即有解得·思考2

圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱

台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、

锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系?锥体A0CA‘探究2圆柱、圆锥、圆台的体积台体=Sh柱体=2πr(r+1),V圆柱=πr²h小结：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积S

圆锥

=π

r

,

V圆锥探究3球的表面积和体积问题5

球的表面积能否也通过展开成一个

平面图形得到呢?展开·O不能探究3

球的表面积和体积球的表面积：S

球

=

4πR².三：例题练习，学以致用例1

如图1所示，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m,

圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层

防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标

涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)解：

一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.15²=0.8478(m²),所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).图

1思考3

在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表

面积公式推导出球的体积公式吗?割圆术极限思想Sm=πr²探究3球的表面积和体积刘徽πT探究3球的表面积和体积球的体积公式推导：第一步分割：整个球体被分割成n

个“小锥体”;ADBcO探究3球的表面积和体积球的体积公式推导：第二步近似求值：当n

越大，

“小锥体”越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.当n趋向于正无穷大时，这n个“小锥体”

的底面积之和就等于球的表面积.球的体积公式推导：第三步求和，取极限：探究3球的表面积和体积探究3球的表面积和体积球的体积公式推导：第四步球的体积：求球与圆柱的体积之比.解：设球的半径R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.四：初步应用，巩固知识例2如图2所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，V圆

柱

=

πR²·2R=2πR³,图

2体会转换的思想学以致用体会极限的思想平面展开图表面积公式体积公式应

用表面积公式体积公式应

用简单几何体的表面积和体积圆五：归纳小结，形成结构类比球棱柱

棱锥

棱台圆

柱圆

锥

圆

台类比六：布置作业，练习巩固

基础作业1.已知圆锥的表面积为am²,且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等?提升训练3.将一个棱长为6cm

的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最

大零件的体积.4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm