2026版高三数学讲义第四章　4.6　正弦定理、余弦定理

4．6正弦定理、余弦定理

1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．

2．理解三角形的面积公式并能应用．

3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA；

abc

内容＝＝＝2Rb2＝c2＋a2－2cacosB；

sinAsinBsinC

c2＝a2＋b2－2abcosC

(1)a＝2RsinA，

b＝2RsinB，

＝；b2＋c2－a2

c2RsinCcosA＝；

a2bc

(2)sinA＝，

c2＋a2－b2

变形2RcosB＝；

b2ca

sinB＝，

2Ra2＋b2－c2

cosC＝

c2ab

sinC＝；

2R

(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

2.三角形解的判断

A为钝角

项目A为锐角

或直角

图形

关

bsinA<

系a＝bsinAa≥ba>b

a<b

式

解的一解两解一解一解

个数

3.三角形中常用的面积公式

1

(1)S＝aha（ha表示边a上的高）.

2

111

(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．

222

1

(3)S＝r(a＋b＋c)（r为三角形的内切圆半径）.

2

教材拓展

在△ABC中，常有以下结论：

(1)A＋B＋C＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)a>bA>BsinA>sinB，cosA<cosB.

A＋BC

(4)sin(⇔A＋B)＝⇔sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos

22

A＋BC

＝sin.

22

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

1

p＝(a＋b＋c)

(6)三角形的面积S＝p(p－a)(p－b)(p－c)2.

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(×)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则a>b.(√)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)

(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(×)

2．（人教A版必修第二册P48T2(2)改编）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，

6

则边c＝2＋.

3

2c6

解析：B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得＝，得c＝2＋.

sin60°sin75°3

3．（人教A版必修第二册P44T2改编）在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A

＝120°．

b2＋c2－a21

解析：因为cosA＝＝－，所以A＝120°.

2bc2

4．（人教A版必修第二册P53T10改编）在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC

的面积等于63．

32＋82－721π3

解析：因为cosA＝＝>0，所以A为锐角，所以A＝，sinA＝，所以△ABC

2×3×8232

113

的面积为bcsinA＝×3×8×＝63.

222

考点1利用正弦定理、余弦定理解三角形

命题角度1正弦定理

【例1】(1)（2024·全国甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

π9

若B＝，b2＝ac，则sinA＋sinC＝(C)

34

23939

A．B．

1313

7313

C．D．

213

π941

【解析】因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sinAsinC＝sin2B＝.由余弦定理可

3493

9131313

得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA·sinC＝，

44412

7

所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝，因为A，C为三角形的内角，所以sinA

4

7

＋sinC>0，则sinA＋sinC＝.故选C.

2

(2)（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角

形，其中有两解的是(BC)

A．b＝10，A＝45°，C＝60°

B．b＝15，c＝4，B＝60°

C．a＝3，b＝2，A＝45°

D．a＝8，b＝4，A＝80°

【解析】因为b＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，所以△ABC只有一解，故A错

×3

csinB425

误；因为b＝15，c＝4，B＝60°，所以由正弦定理得sinC＝＝2＝<1，因为

b155

b<c，即B<C，所以C>60°，所以△ABC有两解（60°<C<90°或90°<C<120°），故B正确；因

×2

abbsinA26

为a＝3，b＝2，A＝45°，所以由正弦定理得＝，即sinB＝＝2＝，

sinAsinBa33

263

因为<<，a<b，所以△ABC有两解（45°<B<60°或120°<B<135°），故C正确；因为a

232

bsinA4sin80°1

＝8，b＝4，A＝80°，所以由正弦定理得sinB＝＝<，由于b<a，故B<80°，

a82

所以△ABC只有一解，故D错误．故选BC.

(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2acosC＋b＝2ccosA，c＝3a，

则A＝(A)

ππ

A．B．

64

π2π

C．D．

33

【解析】方法一已知c＝3a，由正弦定理得sinC＝3sinA，所以sin2C＝3sin2A，

所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2acosC＋b＝2ccosA，得2sinAcosC＋sinB＝2sinC·cos

A，2sinAcosC＋sin(A＋C)＝2sinCcosA，3sinAcosC＝sinCcosA，9sin2Acos2C＝sin2C

1

cos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，由sinA≠0，解得sinA＝±，又0＜A＜π，且

2

π

A<C，所以A＝.故选A.

6

方法二由射影定理，得b＝acosC＋ccosA，代入2acosC＋b＝2ccosA，得3acosC

3

＝ccosA，又c＝3a，所以cosA＝cosC①，由c＝3a及正弦定理得3sinA＝sinC②，

3

π

110，π

①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝，又由①得A∈2，故A＝.故选A.

326

1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与

角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角（该三角形具有不唯一性，常根据三角函数

值的有界性和大边对大角定理进行判断）.

2．已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤

abbsinA

(1)由正弦定理＝，得到sinB＝.

sinAsinBa

(2)当sinB>1时，无解；当sinB＝1，且a<b时，B＝90°，有唯一解；当sinB<1时，若

a≥b，则有唯一解，若a<b，则有两个解．

任意三角形中的射影定理

设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB；

b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.

注：以“a＝bcosC＋ccosB”为例，b，c在a上的射影分别为bcosC，ccosB，故名

为射影定理．

证明：如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcosC＝CD，ccosB＝BD，

故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，

同理可证b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA．

【典例】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosB＝acos

C＋ccosA，则B的大小为(B)

ππ

A．B．

23

ππ

C．D．

46

1

【解析】因为2bcosB＝acosC＋ccosA，所以2bcosB＝b，解得cosB＝，又因为

2

π

B∈(0，π)，故B＝.故选B.

3

命题角度2余弦定理

【例2】(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且a2＋

π

b2－c2＝4S，则角C＝．

4

11

【解析】△ABC的面积S＝absinC，因为a2＋b2－c2＝4S，所以2abcosC＝4×absin

22

π

C，所以tanC＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.

4

(2)（2024·辽宁葫芦岛二模）在△ABC中，B＝45°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝10，

115

则AC＝52，cos∠MAC＝．

25

【解析】如图，在△ABM中，B＝45°，AB＝2，

AM＝10，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM，解得BM＝4，则MC

＝4，BC＝8，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，解得AC＝52，故cos∠MAC＝

AM2＋AC2－MC210＋50－16115

＝＝.

2·AM·AC2×10×5225

1．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与

角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一

的．

2．在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理．

【对点训练1】(1)（2024·湖南衡阳三模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对

边分别为a，b，c，若b＝c，D为AC的中点，bsin∠BAC＝2sin∠ABD，则BD＝(A)

A．1B．2

C．3D．2

11BDAD

解析：由已知得AD＝CD＝AC＝b，在△ABD中，由正弦定理得＝

22sin∠BACsin∠ABD

b

bsin∠BACbsin∠BAC

＝2，所以BD＝，又bsin∠BAC＝2sin∠ABD，故BD＝＝1.

∠∠

sin∠ABD2sinABD2sinABD

故选A.

(2)（2024·江西赣州一模）在△ABC中，AB＝7，AC＝2，C＝120°，则sinA＝(B)

721

A．B．

1414

57321

C．D．

1414

解析：∵AB＝7，AC＝2，C＝120°，∴AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC，∴BC2＋2BC

－3＝0，解得BC＝1或BC＝－3（舍去），

BC·sinC21

∴sinA＝＝.故选B.

AB14

考点2判断三角形的形状

【例3】(1)（2024·陕西渭南三模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，

c，若bcosC＋ccosB＝b，且a＝ccosB，则△ABC是(D)

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【解析】bcosC＋ccosB＝bsinBcosC＋sinCcosB＝sinBsin(B＋C)＝sinB，即

sinA＝sinB，故a＝b，a＝ccosBs⇒inA＝sinCcosBsin(B＋C)＝si⇒nCcosBsinBcosC＋

cosBsinC＝sinCcosBsinBcos⇒C＝0，因为B∈(0，⇒π)，所以sinB≠0，故c⇒osC＝0，因为

π

C∈(0，π)，所以C＝，⇒故△ABC为等腰直角三角形．故选D.

2

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a－ccosB＝b－ccosA，则

△ABC为(D)

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

a2＋c2－b2b2＋c2－a2

【解析】由a－ccosB＝b－ccosA，得a－c×＝b－c×，化简得

2ac2bc

a2＋b2－c2a2＋b2－c2

＝，当a2＋b2－c2＝0时，a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形；当a2＋

ab

b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形．综上，△ABC为等腰或直角三角形．故选D.

判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应

用A＋B＋C＝π这个结论．

【对点训练2】(1)（2024·河南新乡二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，且a＝7，b＝3，c＝5，则(C)

A．△ABC为锐角三角形

B．△ABC为直角三角形

C．△ABC为钝角三角形

D．△ABC的形状无法确定

b2＋c2－a232＋52－729＋25－49

解析：cosA＝＝＝<0，所以A为钝角，所以△ABC为钝

2bc3030

角三角形．故选C.

(2)（2024·河北秦皇岛三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B

＝2C，b＝2a，则(A)

A．△ABC为直角三角形

B．△ABC为锐角三角形

C．△ABC为钝角三角形

D．△ABC的形状无法确定

bc2aa2π

解析：由正弦定理得＝，即＝，所以cosC＝，所以C＝，则B

sinBsinCsin2CsinC24

π

＝，所以△ABC为直角三角形．故选A.

2

考点3三角形的面积问题

【例4】（2024·新课标Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

sinC＝2cosB，a2＋b2－c2＝2ab.

(1)求B；

(2)若△ABC的面积为3＋3，求c.

a2＋b2－c22ab2

【解】(1)因为a2＋b2－c2＝2ab，所以cosC＝＝＝，结合C为三角

2ab2ab2

π21π

形的内角，可得C＝，所以sinC＝2cosB＝，所以cosB＝，结合B∈(0，π)，得B＝.

4223

5π

(2)由(1)可知A＝π－B－C＝，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB

12

115π

＝3R，c＝2RsinC＝2R，由S△ABC＝bcsinA＝3＋3，得·3R·2R·sin＝3＋3，即

2212

6R26＋2

·＝3＋3，解得R2＝4，所以R＝2（负值已舍去），所以c＝2R＝22.

24

三角形面积公式的应用原则

111

(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就利用哪一个

222

角及其两条边求面积．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

【对点训练3】（2024·福建厦门一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，

b，c，且a2cosB＋abcosA＝2c.

(1)求a；

2π

(2)若A＝，且△ABC的周长为2＋5，求△ABC的面积．

3

解：(1)由题设得a(acosB＋bcosA)＝2c，由正弦定理有a(sinAcosB＋sinBcosA)＝2sin

C，

所以asin(A＋B)＝2sinC，而A＋B＝π－C，故asinC＝2sinC，又sinC>0，所以a＝2.

b2＋c2－a2b2＋c2－41

(2)由(1)及已知，有cosA＝＝＝－，可得b2＋c2＋bc＝4，又a＋b

2bc2bc2

＋c＝2＋5，即b＋c＝5，

213

所以(b＋c)－bc＝5－bc＝4，所以bc＝1，故S△ABC＝bcsinA＝.

24

课时作业30（总分：100分）

1．（5分）（2024·北京东城区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

π7π

A＝，C＝，b＝2，则a＝(D)

412

A．1B．2

C．3D．2

2

2×

πabbsinA

解析：由题意可得B＝π－A－C＝，由正弦定理＝可得a＝＝2＝2.

6sinAsinBsinB1

2

故选D.

2．（5分）（2024·江西九江三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

已知2c－a＝2bcosA，则B＝(B)

ππ

A．B．

63

2π5π

C．D．

36

解析：∵2c－a＝2bcosA，∴2sinC－sinA＝2sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴2sin(A＋B)

－2sinBcosA＝sinA，∴2sinAcosB＝sinA.

1π

∵sinA>0，∴cosB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.故选B.

23

2π

3．（5分）（2024·四川成都二模）在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，则AB＝

3

(D)

A．53B．51

C．45D．7

解析：在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋32－

1

－

2×5×3×2＝49，所以AB＝7.故选D.

3

4．（5分）（2025·八省联考）在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC

5

的面积为(C)

A．6B．8

C．24D．48

3

解析：设AB＝x，又BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，根据余弦定理BC2＝AC2＋AB2

5

3

－2AC·AB·cos∠BAC，得82＝102＋x2－2×10×x×，即x2－12x＋36＝0，解得x＝6.由于

5

1

BC2＋AB2＝64＋36＝100＝AC2，故△ABC为直角三角形，则△ABC的面积S＝×6×8＝24.

2

故选C.

5．（5分）（2024·山东泰安三模）在△ABC中，内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边

bsin∠ABC(c－a)sin∠ACB

分别为a，b，c，且－a＝，延长BC至点D，使得BC＝CD，若

sin∠BACsin∠BAC

AD＝23，AB＝2，则a＝(C)

A．1B．3

C．2D．3

bsin∠ABC(c－a)sin∠ACB

解析：由－a＝，可得bsin∠ABC＝asin∠BAC＋(c－a)sin

sin∠BACsin∠BAC

a2＋c2－b2ac

∠ACB，由正弦定理得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos∠ABC＝＝

2ac2ac

1π

＝，又因为0<∠ABC<π，所以∠ABC＝，

23

如图所示，由题意知BD＝2a，AD＝23，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝4

π

＋(2a)2－2×2×2a×cos＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2或a＝－1（舍去）.故选C.

3

6．（5分）（2024·浙江绍兴三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

若2bcos(B＋C)－acosC＝ccosA，则A＝(D)

ππ

A．B．

64

π2π

C．D．

33

解析：因为2bcos(B＋C)－acosC＝ccosA，所以2bcos(π－A)＝acosC＋ccosA，即

1

－2bcosA＝acosC＋ccosA，acosC＋ccosA＝b，所以－2bcosA＝b，所以cosA＝－，

2

2π

又A∈(0，π)，所以A＝.故选D.

3

7．（6分）（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确

的是(ABD)

A．若a＝2b，B＝30°，则△ABC有一个解

B．若a＝2b，B＝30°，则△ABC有两个解

C．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形

D．若sinA<cosC，则△ABC为钝角三角形

解析：由正弦定理得sinA＝2sinB＝1，因为30°<A<150°，因此A＝90°，有唯一解，故

2

A正确；由正弦定理得sinA＝2sinB＝，因为30°<A<150°，所以A＝45°或A＝135°，有

2

两解，故B正确；因为0°<A<180°，0°<B<180°，sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝

180°，即A＝B或A＋B＝90°，因此△ABC为等腰或直角三角形，故C错误；当A为钝角时，

△ABC为钝角三角形，当A为直角时，不满足条件，当A为锐角时，sinA＝cos(90°－A)<cos

C，因此90°－A>C，A＋C<90°，因此△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ABD.

C1

8．（6分）（多选）（2024·广西桂林三模）在△ABC中，sin＝，BC＝1，AC＝5，则

22

(ABD)

1

A．cosC＝

2

B．AB＝21

5

C．△ABC的面积为

2

D．△ABC外接圆的直径是27

C111

解析：cosC＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确；由A知cosC＝，由余弦定理得AB2

2422

1

＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×5×＝21，故AB＝21，故B正确；由于在△ABC

2

2131

中，C∈(0，π)，故sinC>0，所以sinC＝1－cosC＝1－＝，所以S△ABC＝BC·ACsinC

422

1353AB21

＝×1×5×＝，故C错误；设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝＝

224sinC3

2

＝27，故D正确．故选ABD.

9．（5分）（2024·北京昌平区二模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

37

c，a＝4，b＝2c，cosA＝－，则S△ABC＝．

42

b2＋c2－a24c2＋c2－163

解析：cosA＝＝＝－，解得c＝2，所以b＝2c＝22，又因为cos

2bc4c24

3271177

A＝－，所以sinA＝1－cosA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×22×2×＝.

442242

10．（6分）（2024·北京西城区三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

π3

若c＝2，a＝3，A＝，则sinC＝，b＝3±2．

63

3

解析：ac2322

由正弦定理＝，有π＝，所以sinC＝，由余弦定理a＝b＋

sinAsinCsinsinC3

6

π

c2－2bccosA，有（3）2＝b2＋22－2×2bcos，解得b＝3±2.

6

11．（16分）（2024·天津红桥区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，

1

c，已知a＝6，cosB＝，且bsinA＝3csinB.

3

(1)求c；

(2)求b；

π

2B＋

(3)求cos6的值．

解：(1)因为bsinA＝3csinB，所以ab＝3cb，所以a＝3c，又a＝6，所以c＝2.

1

(2)因为b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝62＋22－2×6×2×＝32，

3

所以b＝42（负值已舍去）.

122

(3)因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝，所以sin2B＝2sinBcosB

33

12π

2214272B＋π

＝2××＝，cos2B＝2cos2B－1＝2×3－1＝－，所以cos6＝cos2Bcos－

33996

π7342173＋42

sin2Bsin＝－×－×＝－.

6929218

12．（16分）（2024·北京卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A

3

为钝角，a＝7，sin2B＝bcosB.

7

(1)求∠A；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求

△ABC的面积．

条件①：b＝7；

13

条件②：cosB＝；

14

53

条件③：csinA＝.

2

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分．

3

解：(1)由题意得2sinBcosB＝bcosB，因为A为钝角，

7

3b2a73

则cosB≠0，则2sinB＝b，则＝＝＝，解得sinA＝，

7sinB3sinAsinA2

7

2π

因为A为钝角，则A＝.

3

3332ππ

(2)若选①，结合(1)得sinB＝b＝×7＝，因为A＝，则B为锐角，则B＝，

1414233

此时A＋B＝π，不合题意，故不选择条件①.

若选②，因为B为三角形的内角，则

132

33

sinB＝1－14＝，

14

2π

3333＋B

代入2sinB＝b，得2×＝b，解得b＝3，因为sinC＝sin(A＋B)＝sin3＝

7147

1

2π2π313－3353

sincosB＋cossinB＝×＋2×＝，

332141414

1153153

则S△ABC＝absinC＝×7×3×＝.

22144

53353

若选③，由csinA＝，得c×＝，解得c＝5，

222

ac7553

则由正弦定理得＝，即＝，解得sinC＝，

sinAsinC3sinC14

2

5322π

11＋C

因为C为三角形的内角，则cosC＝1－14＝，则sinB＝sin(A＋C)＝sin3

14

1

2π2π311－53331133

＝sincosC＋cossinC＝×＋2×＝，则S△ABC＝acsinB＝×7×5×

3321414142214

153

＝.

4

1

13．（5分）在△ABC中，AB＝32，cos∠BAC＝－，AD⊥AC，且AD交BC于点D，