2026版高三数学讲义第四章　4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式

4．2同角三角函数的基本关系及诱导公式

sinα

1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

cosα

2．掌握诱导公式及其应用．

1．同角三角函数的基本关系

sin2α＋cos2α＝1．

π

sinαα≠kπ＋，k∈Z

＝tanα2．

cosα

2．诱导公式

项目公式一公式二公式三公式四公式五公式六

α＋2kπππ

角π＋α－απ－α－α＋α

(k∈Z)22

与α终关于原关于x关于y关于直线

相同—

边关系点对称轴对称轴对称y＝x对称

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα

余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα

正切tanαtanα－tanα－tanα——

函数名改变，

记忆函数名不变，符号看象限

符号看象限

规律

奇变偶不变，符号看象限

3.同角关系的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．

π

α≠＋kπ，k∈Z

(2)sinα＝tanαcosα2.

sin2αtan2απ

(3)sin2α＝＝α≠＋kπ，k∈Z．

sin2α＋cos2αtan2α＋12

cos2α1π

(4)cos2α＝＝α≠＋kπ，k∈Z．

sin2α＋cos2αtan2α＋12

教材拓展

1．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系

(1)(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα.

(2)(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.

(3)(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.

(4)(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.

2．诱导公式的记忆口诀

π

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数

2

名称的变化．

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)

(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)

sinα

(3)若α∈R，则tanα＝恒成立．(×)

cosα

11

(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.(×)

33

π

－α1

2．(人教A版必修第一册P185T12改编)如果sin2＝，且α是第四象限角，那么

5

3π

α＋26

cos2＝－．

5

π

－α1

解析：由sin2＝cosα＝，又α是第四象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－

5

123π

26α＋26

1－5＝－，所以cos2＝sinα＝－.

55

35

3．(人教A版必修第一册P195T6改编)若θ是钝角，tanθ＝－2，则sinθ－cosθ＝．

5

sinθ

解析：因为tanθ＝－2，所以＝－2，即sinθ＝－2cosθ，因为sin2θ＋cos2θ＝1，所

cosθ

535

以5cos2θ＝1，因为θ是钝角，所以cosθ＝－，故sinθ－cosθ＝－3cosθ＝.

55

22sinθ－4cosθ

4．(人教B版必修第三册P26T5改编)若tanθ＝，则＝－1．

3sinθ＋2cosθ

2

2×－4

22sinθ－4cosθ2tanθ－4

解析：因为tanθ＝，则＝＝3＝－1.

3sinθ＋2cosθtanθ＋22

＋2

3

考点1同角三角函数的基本关系

命题角度1弦切互化

3

【例1】(1)(2024·河北邯郸模拟)已知tanα＝，α为第一象限角，则sinα的值为

4

(A)

34

A．B．

55

34

C．－D．－

55

3sinα316

【解析】因为tanα＝，所以＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2α

4cosα49

93

＝1，sin2α＝.因为α为第一象限角，所以sinα＝.故选A.

255

1

(2)(2024·四川攀枝花二模)若角θ的终边经过点(－1，2)，则sin2θ＋sin2θ的值为(A)

2

22

A．B．－

55

66

C．D．－

55

【解析】根据θ的终边经过点(－1，2)，则

1sin2θ＋sinθcosθtan2θ＋tanθ4－22

tanθ＝－2，则sin2θ＋sin2θ＝＝＝＝.故选A.

2sin2θ＋cos2θtan2θ＋14＋15

同角三角函数关系式的应用方法

sinα

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可实现角α的

cosα

弦切互化.

(2)当分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式时，往往转化为关于tanα的式子求

解．

命题角度2“和”“积”转换

1

【例2】(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是(ABD)

5

π

，π3

A．θ∈2B．cosθ＝－

5

37

C．tanθ＝－D．sinθ－cosθ＝

45

11

【解析】因为sinθ＋cosθ＝，所以sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝，所

525

π

24，π

以2sinθcosθ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ∈2，所以A正确；

25

497

又(sinθ－cosθ)2＝sin2θ－2sinθcosθ＋cos2θ＝，所以sinθ－cosθ＝，所以D正确；联立方

255

14

sinθ＋cosθ＝，sinθ＝，

55

程组7解得3所以B正确；由三角函数的基本关系，可

sinθ－cosθ＝，cosθ＝－，

55

sinθ4

得tanθ＝＝－，所以C错误．故选ABD.

cosθ3

“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用

sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，

(sinα＋cosα)2－11－(sinα－cosα)2

sinαcosα＝，sinαcosα＝.

22

sinα＋2cosα5

【对点训练1】(1)若＝，则tanα＝(C)

5cosα－sinα16

11

A．B．

32

11

C．－D．－

32

sinα＋2cosα5tanα＋251

解析：由＝可得＝，解得tanα＝－.故选C.

5cosα－sinα165－tanα163

(2)已知角α的终边在直线y＝－2x上，则cosα＝(C)

255

A．B．

55

525

C．±D．±

55

1

解析：由题设知，tanα＝－2，即sinα＝－2cosα，且sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

5

5

而α终边在第二或第四象限，所以cosα＝±.故选C.

5

π

－，01

(3)已知x∈2，sin4x＋cos4x＝，则sinx－cosx＝(B)

2

A．2B．－2

C．3D．－3

1

解析：∵sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x＝，

2

π

1－，0

∴sin2xcos2x＝，又x∈2，

4

1

∴sinx<0，cosx>0，∴sinxcosx＝－，sinx－cosx＝－(sinx－cosx)2＝

2

1

－

－sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝－1－2×2＝－2.故选B.

考点2诱导公式

2025π

＋α1

【例3】(1)已知sin2＝，则cos(π－α)的值为(C)

3

71

A．B．

93

17

C．－D．－

39

2025ππ

＋α＋α

π1

【解析】∵sin2＝sin1012π＋＋α＝sin2＝cosα＝，∴cos(π－α)

23

1

＝－cosα＝－.故选C.

3

3π

－α＋

tan(π－α)cos(2π－α)sin2

(2)＝－1．

cos(－α－π)sin(－π－α)

－tanα·cosα·(－cosα)tanα·cos2αsinαcosα

【解析】原式＝＝＝－·＝－1.

cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]－cosα·sinαcosαsinα

1．诱导公式的应用步骤

利用诱导公式利用诱导公式一

任意负角的三角函数――――――――→任意正角的三角函数―――――――――→0～2π

三或一

利用诱导公式二

的角的三角函数―――――――――→锐角的三角函数．

或四或五或六

2．诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

【对点训练2】(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(D)

A．sin(3π－x)＝－sinx

π－xx

B．sin＝－cos

22

5π

＋3x

C．cos2＝sin3x

3π

－2x

D．cos2＝－sin2x

解析：sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx，

πxπ3π

－＋3x－2x

π－xx5π

sin＝sin22＝cos，cos＋3x＝cos2＝－sin3x，cos2

222

＝－sin2x.故选D.

ππ

＋α4－α4

(2)已知cos4＝，则sin4的值为．

55

π

πππ＋απ

＋α4－α－4＋α4

解析：由cos4＝，得sin4＝sin2＝cos4＝.

55

考点3基本关系式与诱导公式的综合应用

3π3π

【例4】(1)(2024·山东泰安模拟)已知sin＋α＝且<α<π，则tanα＝(B)

222

3

A．－3B．－

3

3

C．D．3

3

3πππ

＋απ＋＋α＋α3

【解析】由诱导公式得sin2＝sin2＝－sin2＝－cosα＝，所

2

π

3，π1sinα3

以cosα＝－，又因为α∈2，所以sinα＝，所以tanα＝＝－.故选B.

22cosα3

π

α＋

sin2α－3cos2cosα

(2)(2024·广东茂名一模)已知cos(α＋π)＝－2sinα，则＝(D)

cos2α＋1

247

A．－1B．－C．D．

558

1

【解析】由cos(α＋π)＝－2sinα，得cosα＝2sinα，则tanα＝，所以

2

π

α＋

sin2α－3cos2cosαsin2α＋3sinαcosα13137

＝＝tan2α＋tanα＝＋＝.故选D.

cos2α＋12cos2α22848

1．利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的

联系，灵活使用公式进行变形．

2．注意角的范围对三角函数符号的影响．

π

＋θ

【对点训练3】(1)已知sinθ－sin2＝2，则tanθ＝(B)

A．－2B．－1

C．1D．2

π

＋θ

解析：sinθ－sin2＝sinθ－cosθ＝2，由题意可得解得

2

sinθ＝，

2

sinθ

2因此，tanθ＝＝－1.故选B.

cosθ＝－，cosθ

2

9π

＋α

(2)已知sin(5π＋α)＝5sin2，则sin2α＋sin2α＝(C)

911

A．－B．

2626

1520

C．D．

2613

9π

＋α

解析：由sin(5π＋α)＝5sin2，

可得－sinα＝5cosα，即tanα＝－5，

sin2α＋sin2α

所以sin2α＋sin2α＝＝

sin2α＋cos2α

2sinαcosα＋sin2α2tanα＋tan2α

＝＝

sin2α＋cos2α1＋tan2α

2×(－5)＋(－5)215

＝.故选C.

1＋(－5)226

课时作业26(总分：100分)

π

1－α

1．(5分)(2024·四川成都二模)若角α的终边位于第二象限，且sinα＝，则sin2＝

2

(D)

11

A．B．－

22

33

C．D．－

22

13

解析：因为角α的终边位于第二象限且sinα＝，则cosα＝－1－sin2α＝－，所以

22

π

－α3

sin2＝cosα＝－.故选D.

2

2．(5分)(2024·福建泉州模拟)数学家泰勒给出如下公式：

x3x5x7

sinx＝x－＋－＋…，

3！5！7！

x2x4x6

cosx＝1－＋－＋…，

2！4！6！

这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．若根

π

－0.1

据以上公式估算sin2的值，则以下数值中最精确的是(C)

A．0.952B．0.994

C．0.995D．0.996

π

－0.10.120.140.16

解析：由题意可得sin2＝cos0.1＝1－＋－＋…≈0.995.故选C.

2！4！6！

π

3．(5分)(2024·四川自贡三模)已知α，β∈R，则“sinα＝cosβ”是“α－β＝”的(B)

2

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

ππ

－βπ－β

解析：因为sinα＝cosβ＝sin2，所以α＝－β＋2kπ或α＋2＝π＋2kπ，k∈Z，

2

πππ

所以α＋β＝＋2kπ或α－β＝＋2kπ，故“sinα＝cosβ”是“α－β＝”的必要不充分条件．故选

222

B.

π3π

α＋－α

1sin2－cos2

4．(5分)已知tanα＝，则＝(D)

2cos(－α)－sin(π－α)

A．－1B．1

C．－3D．3

π3π1

α＋－α1＋

sin2－cos2cosα＋sinα1＋tanα

解析：＝＝＝2＝3.故选D.

cos(－α)－sin(π－α)cosα－sinα1－tanα1

1－

2

5．(5分)若角α的终边不在坐标轴上，且sinα＋2cosα＝2，则tanα＝(A)

43

A．B．

34

23

C．D．

32

22

sinα＋cosα＝1，3

解析：cosα＝或cosα＝1，∵α的终边不在坐标轴上，∴cosα

sinα＋2cosα＝25

3⇒

＝，

5

34sinα4

∴sinα＝2－2×＝，∴tanα＝＝.故选A.

55cosα3

αα

6．(5分)(2024·辽宁沈阳三模)已知tan＝2，则sin2＋sinα的值是(D)

22

24

A．B．

55

68

C．D．

55

ααααα

sin2＋2sincostan2＋2tan

αα

解析：因为tan＝2，所以sin2＋sinα＝222＝22＝

22ααα

sin2＋cos2tan2＋1

222

22＋2×28

＝.故选D.

22＋15

7．(6分)(多选)下列化简正确的是(ABD)

A．tan(π＋1)＝tan1

sin(－α)

B．＝cosα

tan(2π－α)

π

－α

cos2

C．＝tanα

cos(π＋α)

cos(π－α)tan(－π－α)

D．＝－1

sin(2π－α)

sin(－α)－sinαsinα

解析：tan(π＋1)＝tan1，故A正确；＝＝＝cosα，故B正确；

tan(2π－α)－tanαsinα

cosα

π

－α

cos2sinαcos(π－α)tan(－π－α)(－cosα)(－tanα)

＝＝－tanα，故C错误；＝

cos(π＋α)－cosαsin(2π－α)－sinα

sinα

cosα·

＝cosα＝－1，故D正确．故选ABD.

－sinα

8．(6分)(多选)设α∈(0，π)，已知sinα，cosα是方程3x2－x－m＝0的两根，则下列等

式正确的是(BD)

4

A．m＝－

3

17

B．sinα－cosα＝

3

7

C．tanα＝

13

17

D．cos2α－sin2α＝－

9

1

sinα＋cosα＝，

3

2

解析：sinα，cosα是方程3x－x－m＝0的两根，则有m由(sinα＋

sinα·cosα＝－，

3

12m4

cosα)2＝sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α，得＝1－，解得m＝，A错误；由α∈(0，π)，得sinα>0，

933

m48

由sinα·cosα＝－＝－<0，得cosα<0，(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinα·cosα＋cos2α＝1＋＝

399

1

sinα＋cosα＝，

3

1717

，又sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，B正确；由17得

93sinα－cosα＝，

3

1＋17

sinα＝，

6

sinα9＋1722

1－17tanα＝＝－，C错误；cosα－sinα＝(cosα＋sinα)(cosα

cosα＝，cosα8

6

17

1－17

－sinα)＝×3＝－，D正确．故选BD.

39

1＋tanα7

9．(5分)(2024·湖北武汉模拟)已知＝3，则sin4α＋cos4α＝．

1－tanα8

1＋tanαcosα＋sinα1＋2cosαsinα

解析：由＝3，得＝3，平方可得＝3，故cosαsinα

1－tanαcosα－sinα1－2cosαsinα

12

17

＝，sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×4＝.

48

sin(π＋θ)＋2cosθ

10．(5分)已知点A(3，4)在角θ的终边上，则π＝2．

－θ

cos2－cosθ

sin(π＋θ)＋2cosθ

4

解析：因为点A(3，4)在角θ的终边上，则tanθ＝，所以π＝

3－θ

cos2－cosθ

4

－＋2

－sinθ＋2cosθ－tanθ＋2

＝＝3＝2.

sinθ－cosθtanθ－14

－1

3

11．(16分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，

4

且tanα＝－.

3

(1)求sinα＋cosα的值；

sin(π－α)＋2cos(π＋α)

(2)求3π3π的值．

－α＋α

sin2－cos2

y4

解：(1)∵tanα＝＝－，∴y＝－4，

33

43

∴sinα＝－，cosα＝，

55

1

则sinα＋cosα＝－.

5

410

－－2－

sinα－2cosαtanα－2

(2)原式＝＝＝3＝3＝－10.

－cosα－sinα－1－tanα41

－1＋

33

31

，

12．(17分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，A22为单位圆上一点，射线OA绕点

O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ).

π2π

(1)求f(θ)的表达式，并求f6＋f3；

πππ

θ－1－，

(2)若f6＝，θ∈22，求tanθ的值．

3

31

，3π

解：(1)因为点A的坐标为22，所以tan∠AOx＝，所以∠AOx＝，根据三角函

36

π

θ＋

数的定义，可得f(θ)＝cos6，

π2π

π5π131－3

所以f6＋f3＝cos＋cos＝－＝.

36222

πππ

θ－11－，22

(2)由f6＝，可得cosθ＝，因为θ∈22，所以sinθ＝±1－cos2θ＝±，当

333

ππ

220，sinθ22－，0

sinθ＝时，θ∈2，可得tanθ＝＝22；当sinθ＝－时，θ∈2，可得

3cosθ3

sinθ

tanθ＝＝－22.综上可得，tanθ的值为±22.

cosθ

13．(5分)1626年，阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号：sin，tan，sec(正割)，

1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos，cot，csc(余割)，但直到1748

π

110，

年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中secθ＝，cscθ＝，若α∈2，

cosθsinθ

31

且＋＝2，则tanα＝(C)

cscαsecα

3

A．1B．

3

C．3D．23