2026版高三数学讲义第十章　10.9　概率统计与其他知识的综合问题

10．9概率统计与其他知识的综合问题

会综合利用概率统计知识解决概率统计与数列、函数、导数等知识的综合问题．

考点1概率统计与数列的综合问题

【例1】一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10

个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球．解答下列问题：

(1)若取出的小球不再放回．

①求最后抽取的小球是黄球的概率；

②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；

③设随机变量X为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求E(X).

(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取n次球，设随机变量

3n

Y为取球次数，求证：E(Y)＝4－.

4n-1

【解】(1)①最后抽取的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄球，设事件A为第

101

40次取球恰好为黄球，则P(A)＝＝.

404

②设事件B为最后抽取的小球是黄球，事件C为最后抽取的小球是绿球，事件D为红球

比其余两种颜色小球更早取完．

102020105

P(D)＝P(BD)＋P(CD)＝P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝×＋×＝.

4030402012

③X的可能取值为10，11，12，…，40.

99－！

Ck－1Ck－1191(k1)

P(X＝k)＝，E(X)＝错误!＝错误!Ck－1＝错误!＝

10101010

C40C40C40C409！(k－10)！

10k！

错误!＝

10.

C4010！(k－10)！

101010111011410

因为＝10＋11＋…＋40＝41，所以＝41＝

CCCCE(X)10C.

C4011

1

(2)证明：设p＝，则Y的分布列为

4

Y123

112

11－11－1

P4×4×

444

Y…n－1n

1n－2

1－1－1n－1

P…4×1

44

323n－23n－1

1233n－1

E(Y)＝1×＋×＋×4＋…＋×4＋n4，

44444

32333n－13n

31323n－1

E(Y)＝×＋×4＋×4＋…＋×4＋n4，

444444

32333n－23n－1

11131113n＋1

两式相减可得E(Y)＝＋×＋×4＋×4＋…＋×4＋×4

44444444

3n－1

3n3n－13n3n3n3n

11－43n＋1

－n＝×＋×－n＝1＋(n－1)×－n＝1－，

4344444

41－4

4

3n

3n

所以E(Y)＝4－4×4＝4－.

4n-1

高考中有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统

计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中

所涉及的事件，明确其所属的事件类型．

【对点训练1】现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有2个红球和1个白球，乙

盒中装有1个红球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，

*

重复n(n∈N)次这样的操作后，记甲盒中红球的个数为Xn，甲盒中恰有1个红球的概率为an，

恰有2个红球的概率为bn（注：所有小球大小、形状、质地均相同）.

(1)求a1，b1的值；

1

(2)设cn＝2an＋bn，求证：cn＋1＝cn＋1；

6

(3)求Xn的数学期望E(Xn).

21121111

解：(1)由题可知a1＝×＝，b1＝×＋×＝.

32332322

(2)证明：n次操作后，甲盒有3个红球的概率P(Xn＝3)＝1－an－bn，

112111

由全概率公式知an＋1＝an＋bn，bn＋1＝an＋bn＋1·(1－an－bn)＝1－an－bn，∴2an＋1

333232

1

＋bn＋1＝(2an＋bn)＋1，

6

1

∴cn＋1＝cn＋1.

6

1

(3)由(2)得cn＋1＝cn＋1，

6

6

61cn－

∴cn＋1－＝5，

56

661

又∵c1－＝2a1＋b1－＝－，

5530

6

cn－11

∴数列5是以－为首项，为公比的等比数列，

306

1n－1

16

∴cn＝－·6＋，

305

1n

91

∴E(Xn)＝1·an＋2·bn＋3·(1－an－bn)＝3－(2an＋bn)＝＋·6.

55

考点2概率统计与函数、导数的综合问题

【例2】（2024·河北衡水模拟）已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)个红球和2个白球，

乙口袋有n(n≥1，n∈N*)个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸

出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．

(1)当m＝4，n＝2时．

(ⅰ)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；

(ⅱ)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望．

(2)当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，

P最大？

21

【解】(1)小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为＝，从乙口袋

4＋23

21

有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为＝.

2＋22

(ⅰ)设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出

12

1－11

的都是红球”为事件A，且P（A）＝3×1－2＝，所以P(A)＝1－P（A）＝1－

29

18

＝.

99

(ⅱ)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

－1－12

11111

由(ⅰ)，得P(X＝0)＝P（A）＝，P(X＝1)＝C2×3××2＋

93

－12－112－12－1212

11111111

3×C2×2×＝，P(X＝2)＝3×2＋3×2＋C2×1－

23

－112－1－112

11111131111111

××C2×2×＝，P(X＝3)＝3×C2×2×＋C2×3××2＝，P(X

33236236

1212

1

＝4)＝3×2＝，

36

1113115

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

93366363

(2)由m＝n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独

立重复试验．

3334

设小明每次摸出一个红球的概率为k(0<k<1)，则P(k)＝C4k(1－k)＝4(k－k).

3

k－

因为P′(k)＝－16k24，

33

所以当0<k<时，P′(k)>0；当<k<1时，P′(k)<0，

44

33

0，，1

所以P(k)在区间4上单调递增，在区间4上单调递减，

3

所以当k＝时，P(k)最大，

4

m3

此时k＝＝，解得m＝6，

m＋24

故当m＝6时，P最大．

在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选

择是将概率最大（最小）或均值最大（最小）的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不

等式或数列的有关性质去实现．

【对点训练2】第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月

27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，

也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会．为迎接这一盛会，内蒙古某大学组织大学生

举办了一次冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决

赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛．

(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道

题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰．已知大学生甲

答对每道题的概率均为1，且回答各题的结果相互独立．

2

(ⅰ)求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；

(ⅱ)设甲在初赛中答题的道数为X，求X的分布列和数学期望．

(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否

则被淘汰．已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为x(0<x<1)，

1

3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为f(x)，

8

求f(x)的最小值．

14

1

解：(1)(ⅰ)由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为2＝，

16

13

3111

甲回答了5道题进入决赛的概率为C4×2××＝，

228

113

所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为＋＝.

16816

(ⅱ)由题可知X的可能取值为4，5，6，7，则

14

1

P(X＝4)＝2×2＝，

8

13

3111

P(X＝5)＝2×C4×2××＝，

224

13121313

31535

P(X＝6)＝2×C5×2×2×＝，P(X＝7)＝C6×2×2＝，

21616

所以X的分布列为

X4567

1155

P

841616

115593

则E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.

84161616

21221

(2)设乙答对第3道题的概率为y，则xy＝，所以f(x)＝xy＋x(1－y)＋C2x(1－x)y＝－

8

1118x3－1(2x－1)(4x2＋2x＋1)

2x2y＋x2＋2xy＝x2＋－，0<x<1，则f′(x)＝2x－＝＝，

4x44x24x24x2

11

所以当0<x<时，f′(x)<0；当<x<1时，f′(x)>0，

22

11

0，，1

所以f(x)在2上单调递减，在2上单调递增，

1

1111

所以f(x)min＝f2＝＋－＝.

4242

课时作业76

1．（13分）（2024·山东菏泽模拟）已知A，B两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每

次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记n次交换后，B盒子中有一黑一白两个

小球的概率为Pn，A盒子中黑球的个数为Xn.

(1)求Pn；

(2)求Xn的数学期望E(Xn).

解：(1)依题意，第一次交换共有4种情况，其中有2种情况交换后，B盒子中仍为一黑

一白两个小球，

另外2种情况交换后，B盒子中有两个黑球或两个白球，再次交换后，B盒子中必为一

黑一白两个小球，

2

11121Pn－

则P0＝1，P1＝，Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝1－Pn，即有Pn＋1－＝－3，

22232

2

Pn－2112

因此数列3是以P1－＝－为首项，－为公比的等比数列，即Pn－＝

3623

1n－11n

1－21－

－×2，所以Pn＝＋×2.

633

(2)依题意，Xn的可能取值为0，1，2，

1111

P(Xn＝0)＝Pn－1，P(Xn＝1)＝Pn－1＋1－Pn－1＝1－Pn－1，P(Xn＝2)＝Pn－1，

4224

1

11－Pn－11

所以E(Xn)＝0×Pn－1＋1×2＋2×Pn－1＝1.

44

2．（13分）（2024·安徽合肥三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒

展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦

想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论

哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场

2

和第二场竞技获胜的概率分别为p(0<p<1)，，且各场比赛互不影响.

3

1

(1)若p＝，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

3

(2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p)，试

求当p取何值时，f(p)取得最大值．

解：(1)由题可知，ξ的可能取值为2，3，4，5.

121222411112

因为p＝，所以P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝5)＝×

333933933933

＝2，

9

故ξ的分布列为

ξ2345

2412

P

9999

241210

ξ的数学期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

99993

21

(2)设“一天得分不低于4分”为事件A，则P(A)＝p×＋p×＝p，

33

33232

则f(p)＝C5p(1－p)＝10p(1－p)，0<p<1，

则f′(p)＝30p2(1－p)2－20p3(1－p)＝10p2(1－p)(3－5p)，

33

当0<p<时，f′(p)>0；当<p<1时，f′(p)<0，

55

33

0，，13

所以f(p)在5上单调递增，在5上单调递减，故当p＝时，f(p)取得最大值．

5

1

3．（17分）（2024·广东汕头三模）假设甲同学每次投篮命中的概率均为.

2

(1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率．

(2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次

数X的概率分布列及数学期望．

(3)为提高投篮命中率，甲同学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投n(n∈N*，n≤33)

个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投(100－3n)个．试问n为何值时，该同

学投篮次数的期望值最大．

12－12

213

解：(1)依题意，甲同学投篮4次，恰好投中2次的概率为C42·2＝.

8

(2)投篮次数X的可能取值为2，3，4，

111

P(X＝2)＝×＝，

224

1111

P(X＝3)＝××＝，

2228

115

P(X＝4)＝1－－＝，

488

所以X的分布列为

X234

115

P

488

11527

所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.

4888

(3)设甲同学投篮次数为Y，则Y的可能取值为n，n＋100－3n＝100－2n，n∈N*，n≤33，

11

于是P(Y＝n)＝，P(Y＝100－2n)＝1－，

2n2n

1

11－3n－100

数学期望E(Y)＝n·＋(100－2n)·2n＝－2n＋100.

2n2n

3n－1003n－97

令f(n)＝－2n＋100，n∈N*，n≤33，则f(n＋1)＝－2n＋98，f(n＋1)－f(n)

2n2n+1

－－n+2

＝1033n2，

2n+1

因为g(x)＝103－3x－2x+2，x∈R显然为单调递减函数，

则数列{103－3n－2n+2}是递减的，

当n≤4时，103－3n－2n+2>0，f(n＋1)>f(n)，当n≥5时，103－3n－2n+2<0，f(n＋1)<f(n)，

即有f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)>f(6)>f(7)>…，因此f(5)最大，

所以当n＝5时，甲同学投篮次数的期望值最大．

4．（17分）（2024·山东济南二模）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成

10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进

行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为2，乙发球时甲得分的概率为1，各球的比赛结果

32

相互独立．在某局比赛双方打成10∶10平后，甲先发球．

(1)求再打2球该局比赛结束的概率；

(2)两人又打了X个球该局比赛结束，求X的数学期望E(X)；

(3)若将规则改为“打成10∶10平后，每球交换发球权，先连得2分者获胜”，求该局

比赛甲获胜的概率．

解：(1)10∶10平后，设事件Ai＝“第i个球甲得分”，则Ai＝“第i个球乙得分”，

设M＝“再打2球该局比赛结束”，则M＝A1A2＋A1A2，所以P(M)＝P（A1A2＋A1A2）

21111

＝P(A1)P(A2)＋P（A1）P（A2）＝×＋×＝.

32322

(2)X的可能取值为所有正偶数2，4，6，…，2k，…(k∈N*)，

考虑第(2k－1)个球与第2k个球(k＝1，2，3，…)，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，

则比赛结束；如果这两球甲、乙各得1分，则比赛相当于重新开始．由(1)得这两球甲、乙各

1

得1分的概率为1－P(M)＝，

2

1

所以P(X＝2)＝P(M)＝，

2

111

P(X＝4)＝×＝，

224

12

11

P(X＝6)＝2×＝，…，

28

1k－1

11

P(X＝2k)＝2×＝，…，

22k

1111

所以E(X)＝2×＋4×＋6×＋…＋2k×＋…，

222232k

1111

记Sk＝2×＋4×＋6×＋…＋2k×，

222232k

111111

则Sk＝2×＋4×＋6×＋…＋(2k－2)×