2026版高三数学讲义第十章　10.7　二项分布、超几何分布与正态分布

10．7二项分布、超几何分布与正态分布

1．了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．

2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．

3．了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用．

1．二项分布

(1)伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所

组成的随机试验称为n重伯努利试验．

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示

kkn－k

事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnp(1－p)，k＝0，1，2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，

p)．

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不

kn－k

CMCN－M

放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，

n

CN

m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，

M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

3．正态分布

(1)定义

1

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参

σ2π

数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

1

②曲线在x＝μ处到达峰值；

σ2π

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．

教材拓展

1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．

2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题

对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．

3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重

伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了20次，是n重伯努利试验．(√)

(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分

布．(√)

(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个

数X服从超几何分布．(×)

(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(×)

2．（人教B版选择性必修第二册P83T4改编）已知离散型随机变量X～B(10，0.2)，则

E(X)＝(B)

A．8B．2

C．1.6D．0.8

解析：因为离散型随机变量X～B(10，0.2)，所以E(X)＝10×0.2＝2.故选B.

3．（人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编）若X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，

则P(X>0)＝(D)

A．0.10B．0.40

C．0.80D．0.90

解析：根据题意X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X<0)＝P(X>2)＝0.10，故P(X>0)

＝1－P(X<0)＝0.90.故选D.

4．（人教A版选择性必修第三册P78例5改编）设10件同类型的零件中有2件是不合

格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件数，则P(X＝1)＝(D)

12

A．B．

55

87

C．D．

1515

12

C2C8567

解析：根据超几何分布的概率公式有P(X＝1)＝＝＝.故选D.

3

C1012015

考点1二项分布

【例1】（2024·河北承德二模）某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活

动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：

成绩[30，[40，[50，[60，[70，[80，[90，

区间40）50）60）70）80）90）100]

频数201802002802208020

(1)求上表数据的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；

(2)根据样本估计总体的方法，用频率估计概率，从该市随机抽取3人参加党史知识竞赛，

记他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望．

2018020028022080

【解】(1)平均值x＝35×＋45×＋55×＋65×＋75×＋85×

100010001000100010001000

20

＋95×＝35×0.02＋45×0.18＋55×0.2＋65×0.28＋75×0.22＋85×0.08＋95×0.02＝63.2.

1000

(2)用频率估计概率，随机抽取1人成绩不低于60分的概率为

＋＋＋

2802208020＝600＝3，

100010005

3

3，

由题意可知，X～B5，X＝0，1，2，3，

23

8

则P(X＝0)＝5＝；

125

22

1336

P(X＝1)＝C35×＝；

5125

32

2254

P(X＝2)＝C3××5＝；

5125

33

27

P(X＝3)＝5＝.

125

所以X的分布列为

X0123

8365427

P

125125125125

39

E(X)＝3×＝.

55

二项分布问题的解题关键

(1)定性

①在每一次试验中，事件发生的概率相同．

②各次试验中的事件是相互独立的．

③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．

(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概

率．

【对点训练1】（2024·陕西西安二模）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个

数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学

生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成[60，80），[80，100），[100，120），[120，

140），[140，160），[160，180]这6组，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；

(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概

率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布

列与期望．

解：(1)因为(0.004＋0.012)×20＝0.32<0.5，0.32＋0.016×20＝0.64>0.5，所以该校学生比

赛成绩的中位数在[100，120）内．

设该校学生比赛成绩的中位数为m个，则(m－100)×0.016＋0.32＝0.5，

解得m＝111.25，即估计该校学生比赛成绩的中位数为111.25个．

(2)由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002＋0.008)×20＝0.2，

则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2.

由题意可知X～B(3，0.2)，

kk3-kkk3-k003

则P(X＝k)＝C3×0.2×(1－0.2)＝C3×0.2×0.8(k＝0，1，2，3)，即P(X＝0)＝C3×0.2×0.8

112221

＝0.512，P(X＝1)＝C3×0.2×0.8＝0.384，P(X＝2)＝C3×0.2×0.8＝0.096，P(X＝3)＝

330

C3×0.2×0.8＝0.008，

所以X的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

故E(X)＝3×0.2＝0.6.

考点2超几何分布

【例2】某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中

装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出

3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄

球，则需要表演一个节目．

(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；

(2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和数学期望．

【解】(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，

可知有两种可能：“2个红球，1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，

21111

C3C1＋C4C3C115

所以P(A)＝＝.

3

C856

(2)由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，则

30211203

＝＝C5C3＝5，＝＝C5C3＝15，＝＝C5C3＝15，＝＝C5C3＝1，

P(X0)3P(X1)3P(X2)3P(X3)3

C828C828C856C856

可得X的分布列为

X0123

515151

P

28285656

5151519

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

282856568

1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分

布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类

个体数X的分布列．

2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．

【对点训练2】（2024·陕西西安三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018

年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现

从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：

[15，[25，[35，[45，[55，[65，

年龄段/岁

25）35）45）55）65）75]

被调查的

101520m255

人数

赞成的人

612n20122

数

1

(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[35，45）的概率为，求出表格中m，

5

n的值；

(2)若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行比例分配的分

层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，

记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

解：(1)因为总共抽取100人进行调查，所以m＝100－10－15－20－25－5＝25.

n1

因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35，45）的概率为＝，所以n

52＋n5

＝13.

(2)从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按比例分配的分层随机抽样抽取10人，赞成

20

的抽取10×＝8（人），不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的

25

可能取值为2，3，4，

22

则＝＝C8·C2＝2，

P(X2)4

C1015

31

C8·C28

P(X＝3)＝＝，

4

C1015

40

＝＝C8·C2＝1

P(X4)4.

C103

所以X的分布列为

X234

281

P

15153

28116

所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.

151535

考点3正态分布

22

【例3】(1)（多选）设X～N（μ，σ1），Y～N（μ，σ2），这两个正态密度曲线如图，则

下列说法正确的是(AC)

A．σ1<σ2

B．σ1＝σ2

C．对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)

*

D．若P(μ－k1σ1≤X≤μ＋k1σ1)>P(μ－k2σ2≤Y≤μ＋k2σ2)，k1，k2∈N，则k1<k2

【解析】因为σ越小图象越瘦高，所以σ1<σ2，故A正确，B错误；由题图可知，当m>μ

时，P(X>m)<P(Y>m)，所以P(X≤m)＝1－P(X>m)>P(Y≤m)＝1－P(Y>m)，故C正确；当k1＝2

时，P(μ－2σ1≤X≤μ＋2σ1)≈0.9545，当k2＝1时，P(μ－σ2≤Y≤μ＋σ2)≈0.6827，故D错误．故选

AC.

(2)（多选）（2024·新课标Ⅰ卷）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举

推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得

到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X

服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（x，s2），则（若

随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.8413）(BC)

A．P(X>2)>0.2B．P(X>2)<0.5

C．P(Y>2)>0.5D．P(Y>2)<0.8

【解析】依题意，X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12).对于X～N(1.8，0.12)，由于2＝1.8

＋2×0.1＝μ＋2σ，则P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)<P(X>μ＋σ)≈1－0.8413＝0.1587，A错误；

P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，B正确；对于Y～N(2.1，0.12)，由于2＝2.1－0.1＝μ－σ，则

P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正确；P(Y>2)＝P(Y>μ－σ)＝P(Y<μ＋σ)≈0.8413>0.8，D错误．故选

BC.

解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴为直线x＝μ.

(2)标准差为σ.

(3)分布区间．

由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出

所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0.

【对点训练3】(1)（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服

22

从正态分布N（μ1，σ1），N（μ2，σ2），其正态密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是

(ACD)

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826.

A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C．甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近

D．若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

解析：由题中图象可知，甲的图象关于直线x＝75对称，乙的图象关于直线x＝85对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故A正确，B错误；因为甲的

图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，甲同学的成绩比

乙同学的成绩更集中于平均值附近，故C正确；若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约

1－0.6826

为＝0.1587，故D正确．故选ACD.

2

(2)（多选）（2025·山东聊城一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成

绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120

分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则(BCD)

A.μ＝80，σ＝400

m＋n

B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为

2

C．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测

－2

试成绩优秀的概率为1n

2

D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该

－

生测试成绩优秀的概率为1n

1＋m

解析：由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A错误；由μ＝80，σ2＝400，得

X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ

n－m

＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P(100≤X≤120)＝，则

2

n－mm＋n

P(60≤X≤120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成

22

m＋n1－n

绩及格但不优秀的概率为，故B正确；P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中（数

22

1－n

量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××1

2

1－n1－n21m1－n

－＝，故C正确；P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生

22222

－

中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为1＋m，该生测试成绩优秀的概率为1n，

222

1－n

1－n

则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为2＝，故D正确．故

＋

1＋m1m

22

选BCD.

课时作业74

1．（5分）（2024·湖南益阳三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X

近似服从正态分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，则实数a的值为(B)

A．1B．3

C．4D．9

解析：因为X～N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以a＋(1＋2a)＝2×5，解得a＝3.

故选B.

2．（5分）（2024·安徽合肥二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4

1

胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4∶2获胜的概

2

率为(C)

13

A．B．

6432

515

C．D．

3264

解析：根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4∶2获胜的概率

1312

315

为C5·2·2×＝.故选C.

232

3．（5分）（2024·广东江门二模）一箱苹果共有12个，其中有n(2<n<7)个是烂果，从这

3n

箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为，则n＝(B)

55

A．3B．4

C．5D．6

n(n－1)(12－n)

21

CnC12－n3n3n

解析：依题意可得＝，即2＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n

3

C125512×11×1055

6

＝4或n＝9，因为2<n<7，所以n＝4.故选B.

4．（5分）（2024·天津南开区一模）已知随机变量X～N(μ，σ2)，Y～B(6，p)，且P(X≥4)

1

＝，E(X)＝E(Y)，则p＝(D)

2

11

A．B．

64

12

C．D．

33

12

解析：由X～N(μ，σ2)，以及P(X≥4)＝可得μ＝4，由于E(X)＝E(Y)，故6p＝4，p＝.

23

故选D.

5．（5分）（2024·湖北荆州三模）上周联考的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)

＝0.2，负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在[70，

110]的人数为Y，则随机变量Y的方差为(C)

A．2B．2.1

C．2.4D．3

解析：由正态分布知，学生得分在[70，110]的概率为1－0.2×2＝0.6，抽取的10个学生

中得分在[70，110]的人数Y服从二项分布B(10，0.6)，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.

6．（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差（分别用X甲、X乙、X丙表示）

分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是(B)

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B．P（－1≤X乙≤0）<P（0≤X丙≤2）

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

解析：根据正态密度曲线的性质可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态密度曲线

的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，故A正确；乙品牌手表日

走时误差对应的正态密度曲线在区间[－1，0]之间与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误

差对应的正态密度曲线在区间[0，2]之间与x轴围成的面积相等，故B不正确；由正态密度

曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、

丙，故C正确；由三种品牌手表日走时的误差的均值都是0，σ甲<σ乙<σ丙，可得甲种品牌的手

表走时准且最稳定，质量最好，故D正确．故选B.

7．（6分）（多选）（2024·湖南长沙三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗

赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对

抗比赛．具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次．若甲组同学和

2125

乙组3名同学的命中率依次分别为，，，，则(BCD)

3256

13

A．乙组同学恰好命中2次的概率为

30

B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率

2

C．甲组同学命中次数的方差为

3

26

D．乙组同学命中次数的数学期望为

15

52

121－11－5

解析：设“乙组同学恰好命中2次”为事件M，则P(M)＝××6＋×5×＋

2526

－122

125921

2××＝，所以A错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件N，则P(N)＝C33×＝

56203

4942

，因为>，所以B正确；因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为X，

92093

2

3，212

则X～B3，可得D(X)＝3××＝，所以C正确；设乙组同学命中次数为随机变量Y，

333

125

1－1－1－1

则Y的所有可能取值为0，1，2，3，则P(Y＝0)＝2×5×6＝，P(Y＝1)＝

20

251512

11－1－1－21－1－1－519

×5×6＋2××6＋2×5×＝，P(Y＝2)＝P(M)＝，P(Y＝3)＝

256320

1251119126

××＝，故E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，所以D正确．故选BCD.

256620320615

8．（6分）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3

个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得

2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是

(BCD)

15

A．P(|Z－5|≤1)＝

24

B．E(X)<E(Y)

C．D(X)＝D(Y)

33

D．E(Z)＝

8

k3-k

解析：，均服从超几何分布，且＋＝，＝＋＝＋，＝＝C3·C5，

XYXY3Z2XY3XP(Xk)3k

C8

3

＝，，，，－＝－＝－＝＝－C5＝23，错误；＝3＝9，

0123P(|Z5|≤1)P(|X2|≤1)1P(X0)13AE(X)3×

C82888

15933

E(Y)＝3－E(X)＝，B正确；D(Y)＝D(3－X)＝D(X)，C正确；E(Z)＝3＋E(X)＝3＋＝，D

888

正确．故选BCD.

9．（5分）（2024·广东梅州二模）某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成

绩X近似服从正态分布N(150，σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟

跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为450．

300

解析：由题意可知，P(X>170)＝＝0.2，又因为X～N(150，σ2)，所以P(130≤X≤150)

1500

＝P(150≤X≤170)＝0.5－P(X>170)＝0.5－0.2＝0.3，所以跳绳成绩X在130～150次之间的人

数约为1500×0.3＝450.

10．（5分）（2024·安徽六安模拟）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向

25

上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是．

256

解析：因为移动6次仍回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次，

16

35

若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率为C6·4＝，若质子水平方向移动2次，

1024

16

2245

则回到原点的概率为A6C4·4＝，若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率为

1024

1616

224535

C4A6·4＝，若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率为C6·4＝，故移动

10241024

54545525

6次仍回到原点的概率为＋＋＋＝.

1024102410241024256

11．（15分）（2025·黑龙江大庆一模）2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家

卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中

一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准

备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料

11

的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；

43

2

而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.

9

(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的

分布列和数学期望．

13

解：(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P(A)＝，P（A）＝，

44

12

设“学生肥胖”为事件B，则P(B|A)＝，P（B|A）＝，

39

11231

由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P（B|A）P（A）＝×＋×＝，

34944

1

所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为.

4

1

3，

(2)由题意可知X～B4，且X的可能取值为0，1，2，3，则

13

1－27

P(X＝0)＝4＝，

64

－12

11127

P(X＝1)＝C3××4＝，

464

12－1

219

P(X＝2)＝C3×4×4＝，

64

13

1

P(X＝3)＝4＝，

64

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

13

X的期望E(X)＝3×＝.

44

12．（15分）（2024·湖南常德一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学

习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：

小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研

修先进个人”．

(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先

进个人的概率．

(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ为抽取的

10名教师学习时长数据的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；

②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则当ξ的均值

不小于32时，n的最小值为多少？

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ

＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

解：(1)由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1

12

C3·C73×2121

名教师是研修先进个人的概率为＝＝.

3

C1012040

1

(2)①直接计算可得μ＝×(35＋43＋90＋83＋50＋45＋82＋75＋62＋35)＝60.

10

11

所以P(X≥50)＝P(X≥μ－σ)＝＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.84135.

22

故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为1000×0.84135≈841.

②由于P(50≤X≤70)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，故E(ξ)＝0.6827n.

当E(ξ)≥32时，有0.6827n≥32，得n≥46.8727，

所以n的最小值是47.

13．（6分）（多选）（2024·辽宁沈阳三模）下列说法正确的是(BCD)

A．连续抛一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛硬币，设随机变量X表

3

示停止时抛硬币的次数，则P(X＝3)＝

8

B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随

4

机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数，则E(Y)＝

3

1

9，

C．若随机变量ξ～B3，则D(ξ)＝2

D．若随机变量η～N(μ，σ2)，则当μ减小，σ增大时，P(|η－μ|<σ)保持不变

12