2026版高三数学讲义第八章　8.2　两条直线的位置关系

8．2两条直线的位置关系

1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．

2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．

3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

1．两条直线的特殊位置关系

(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则l1∥l2k1＝k2．特别地，

当直线，的斜率都不存在时，与的位置关系为∥．

l1l2l1l2l1l2⇔

(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2k1k2＝－1．特

别地，若直线：＝，直线：＝，则与的位置关系为⊥．

l1xal2ybl1l2l1l2⇔

2．两条直线的交点坐标

A1x＋B1y＋C1＝0，

2222

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组(A1＋B1≠0，A2＋B2≠0).

A2x＋B2y＋C2＝0

若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无

公共点，此时两条直线平行．

3．三种距离公式

22

(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝(x2－x1)＋(y2－y1)．特

别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝x2＋y2．

22

(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)的距离d＝

|Ax0＋By0＋C|

．

A2＋B2

(3)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝

－

22|C1C2|

0(A＋B≠0，C1≠C2)间的距离d＝.

A2＋B2

教材拓展

1．两条直线平行、垂直的充要条件

2222

设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1＋B1≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2＋B2≠0)，

则

A1B2－A2B1＝0，

∥

(1)l1l2B1C2－B2C1≠0或A1C2－

⇔A2C1≠0.

(2)l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.

．常见直线系方程

2⇔

(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.

(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).

(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.

2222

(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0(A1＋B1≠0)与A2x＋B2y＋C2＝0(A2＋B2≠0)的交点的

直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0和A2x＋B2y＋C2＝0.

3．对称常用结论

(1)点(x，y)关于直线y＝x＋t的对称点为(y－t，x＋t)，关于直线y＝－x＋t的对称点为(－

y＋t，－x＋t).

(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).

(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2l1∥l2.(×)

若两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定等于－×

(2)l1l2⇒1.()

(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)

1

(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB

k

的中点在直线l上．(√)

2．(人教A版选择性必修第一册P102T2改编)已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：

3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则实数m＝(C)

A．－4B．1

8

C．－4或1D．－

5

解析：已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则

(m＋1)(m＋2)－6＝0，

解得m＝－4或m＝1.故选C.

(m＋2)＋3≠0，

3．(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两条平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：

6x＋8y－5＝0间的距离等于(B)

1

A．3B．

10

1

C．D．7

2

|－4－(－5)|1

解析：l1：3x＋4y－2＝0即为6x＋8y－4＝0，则两条平行直线间的距离为＝.

62＋8210

故选B.

4．(人教A版选择性必修第一册P102T4改编)若直线l过点(1，3)且与斜率为4的直线垂

直，则直线l的方程为(A)

A．x＋4y－13＝0B．4x－y－1＝0

C．x＋4y－8＝0D．4x－y－15＝0

1

解析：因为直线l与斜率为4的直线垂直，所以直线l的斜率为－，又直线l过点(1，

4

1

3)，所以直线l的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋4y－13＝0.故选A.

4

考点1两条直线的位置关系

【例1】(1)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0互相平行，

则实数m的值是(C)

A．－4或1B．1

C．－4D．6

mm＋2

【解析】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得＝，解得m

m－2－3

＝1或m＝－4.经检验，当m＝1时，两直线重合，不合题意，舍去，当m＝－4时符合题意．故

选C.

(2)已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为

(D)

－9，454，13

A．77B．77

38，1338，5

C．33D．77

y－23－(－2)

【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴×＝－1，∴x＋5y－9＝0.∵AB∥CD，

x＋11－0

y＋23－2

∴＝，∴x－2y－4＝0.

x1－(－1)

38

x＝，

x＋5y－9＝0，7

由解得5故选D.

x－2y－4＝0，y＝．

7

判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况．

(2)对于选择、填空题，可直接利用直线方程系数之间的关系得出结论，减少计算．

【对点训练1】(1)过点(2，－1)且与直线2x－3y＋9＝0平行的直线的方程为(A)

A．2x－3y－7＝0B．2x＋3y－1＝0

C．3x＋2y－4＝0D．2x－3y＋7＝0

解析：设与直线2x－3y＋9＝0平行的直线的方程为2x－3y＋λ＝0(λ≠9)，将(2，－1)代

入得2×2－3×(－1)＋λ＝0，解得λ＝－7，所以所求直线的方程为2x－3y－7＝0.故选A.

(2)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(A)

A．不论a为何值，l1与l2都互相垂直

B．当a变化时，l1与l2都互相平行

C．当a＝1时，l1与l2关于y轴对称

22

D．直线l1与圆x＋y＝1不能相切

解析：由直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，可得a×1＋(－1)×a＝0，所以不论a

为何值，l1与l2都互相垂直，所以A正确，B不正确；当a＝1时，直线l1：x－y＋1＝0，l2：

22

x＋y＋1＝0，如图所示，此时直线l1与l2关于x轴对称，所以C不正确；由圆x＋y＝1，可

得圆心为O(0，0)，半径为r＝1，当a＝0时，直线l1：y－1＝0，则原点到直线l1的距离为d

22

＝1＝r，此时直线l1与圆x＋y＝1相切，所以D不正确．故选A.

考点2两条直线的交点与距离问题

【例2】(1)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距

相等的直线方程为(C)

A．x＋y＋1＝0

B．x－y＋1＝0

C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0

D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0

【解析】设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝

7λ－67λ－67λ－67λ－616

0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.由＝，解得λ＝或λ＝.所以直线

2＋5λ3＋2λ2＋5λ3＋2λ37

方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.故选C.

(2)已知A，B，C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m(1<m<4)，4，当△ABC的

面积最大时，m的值为(B)

9

A．3B．

4

53

C．D．

22

1

【解析】由题意知，A(1，1)，B(m，m)，C(4，2)，易知直线AC的斜率为kAC＝，

3

1

故直线AC的方程为y－1＝(x－1)，即x－3y＋2＝0，点B到直线AC的距离为d＝

3

|m－3m＋2|11|m－3m＋2|1

，故S△ABC＝×|AC|×d＝×10×＝|m－3m＋2|＝

1022102

3

m－1

122－39

|4|.∵m∈(1，4)，∴当m＝，即m＝时，S△ABC有最大值．故选B.

224

1．求过两条定直线交点的直线方程，往往用设直线系方程求参的方法求解．

2．已知两平行直线方程求距离时，如果直接利用两平行直线间的距离公式求解，要注意

两平行直线方程中x，y的系数应对应相等．

【对点训练2】(1)已知直线l1∥l2，l1：2x＋y＋4＝0，l2：6x＋ay＋2＝0，则它们间的

距离为(D)

2525

A．B．

155

525

C．D．

53

2

解析：因为l1∥l2，所以2a＝6，解得a＝3，故l2：2x＋y＋＝0.所以l1，l2之间的距离

3

2

4－

|3|1025

为＝＝.故选D.

5353

(2)若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的

取值范围是(B)

π，ππ，π

A．63B．62

π，ππ，π

C．32D．32

y＝kx－3，

解析：联立

2x＋3y－6＝0，

6＋336＋33

x＝，>0，

2＋3k2＋3k

解得6k－23所以6k－23

y＝，>0，

2＋3k2＋3k

ππ

3，

解得k>，所以直线l的倾斜角的取值范围为62.故选B.

3

考点3对称问题

【例3】(1)已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则(x－1)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋y2的最小

值为(D)

A．5B．22

C．10D．25

【解析】(x－1)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋y2表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定

点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，

y0－1

＝1，

x0－1

设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则

x0＋1y0＋1

＋＋1＝0，

22

x0＝－2，

解得所以A′(－2，－2)，则|A′B|＝(－2－2)2＋(－2－0)2＝25，由图知

y0＝－2，

(x－1)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋y2的最小值为25.故选D.

12，－6

(2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，0)和点55重合，点(7，3)和点(m，n)重合，

则m＋n＝(A)

3436

A．B．

55

2832

C．D．

33

12，－6

【解析】设点O(0，0)和P55，线段OP中点为M，折痕所在直线即为线段OP

66

＋12－63－－0

060＋53，－5

的中垂线，则5＝，＝－，所以点M55，直线OP的斜率为＝－

52512

2－0

5

6

1x－3

，则折痕所在直线斜率为2，其方程为y＝25－y＝2x－3，由题知点(7，3)与点(m，

25

n)关于折痕所在直线对称，则两点的中点在折痕所在直线⇒上且两点连线与折痕所在直线垂直，

n－313

＝－，m＝，

m－725

所以解得所以＋＝34故选

n＋3m＋731mn.A.

＝2×－3，n＝，5

225

对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个

条件列方程组解题．

【对点训练3】(1)已知点M(1，－2)，N(m，2)，若M，N关于直线x＋2y－2＝0对称，

则实数m的值是(A)

A．3B．1

C．－2D．－7

解析：由题意得线段MN的中点在直线x＋2y－2＝0上，且直线x＋2y－2＝0与直线MN

1＋m－2＋2

＋2×－2＝0，

22

垂直，即1解得＝故选

2＋2－m3.A.

×2＝－1，

m－1

(2)一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线

所在直线的方程为(B)

A．2x－y－1＝0B．x－2＝0

C．3x－y－3＝0D．4x－y－5＝0

解析：设点P(－1，5)关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P1(a，b)，则

b－51

×＝－1，

＋3

a1a＝2，

解得故反射光线经过点，－，，，则

a－1b＋5(24)(23)

－3×＋1＝0，b＝－4，

22

反射光线所在直线的方程为x－2＝0.故选B.

课时作业54

1．(5分)过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(D)

A．2x＋y＋5＝0B．2x＋y－7＝0

C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋4＝0

解析：设垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为x－2y＋m＝0，又直线过点A(2，3)，所

以2－2×3＋m＝0，解得m＝4，故所求直线的方程为x－2y＋4＝0.故选D.

2．(5分)已知直线l1：(m＋1)x＋3y－1＝0，l2：5x＋(m－1)y－m＋1＝0，则“m＝4”是

“l1∥l2”的(B)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2

解析：当l1∥l2时，(m＋1)×(m－1)＝3×5，即m＝16，解得m＝±4.当m＝4时，l1：5x

＋3y－1＝0，l2：5x＋3y－3＝0，此时l1∥l2；当m＝－4时，l1：－3x＋3y－1＝0，即l1：x

1

－y＋＝0，l2：5x－5y＋5＝0，即l2：x－y＋1＝0，此时l1∥l2.故“m＝±4”是“l1∥l2”的充

3

要条件，即“m＝4”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选B.

3．(5分)已知点A(－2，1)，B(3，2)，C(7，－5)，则点B到直线AC的距离为(C)

1326

A．B．

22

C．13D．26

1－(－5)2

解析：根据题意，直线AC的斜率为kAC＝＝－，所以直线AC的方程为y－1

－2－73

2|2×3＋3×2＋1|

＝－(x＋2)，即2x＋3y＋1＝0，点B到直线AC的距离为d＝＝13.故选C.

322＋32

4．(5分)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c

等于(D)

A．－12B．48

C．36或48D．－12或48

解析：将l1的方程3x＋4y＋5＝0变形为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.

|10－c|

由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或b＋c＝48.故选D.

62＋82

5．(5分)直线y＝4x－5关于点P(2，1)对称的直线方程是(C)

A．y＝4x＋5B．y＝4x－5

C．y＝4x－9D．y＝4x＋9

x0＋x

解析：设直线y＝4x－5上的点P(x0，y0)关于点(2，1)的对称点的坐标为(x，y)，所以

2

y0＋y

＝2，＝1，所以x0＝4－x，y0＝2－y，将其代入y＝4x－5中，得到2－y＝4(4－x)－5，

2

化简得y＝4x－9.故选C.

6．(5分)一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－

3，4)，则反射光线所在直线方程为(D)

A．2x－y＋13＝0B．6x－y＋22＝0

C．x－3y＋15＝0D．x－6y＋27＝0

解析：设点M(2，6)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(x，y)，

y－6

＝－1，

－

x2x＝3，

所以解得所以，，所以反射光线经过点，

x＋2y＋6M′(35)M′(3

－＋3＝0，y＝5，

22

5)与点N(－3，4)，所以反射光线所在直线的方程为x－6y＋27＝0.故选D.

7．(6分)(多选)已知直线l：y＝ax－a＋1，下列说法正确的是(BD)

A．直线l过定点(－1，1)

B．当a＝1时，l关于x轴的对称直线为x＋y＝0

C．直线l一定经过第四象限

D．点P(3，－1)到直线l距离的最大值为22

解析：直线l：y＝ax－a＋1＝a(x－1)＋1，所以直线l过定点Q(1，1)，故A错误；当a

＝1时，直线l的方程为y＝x，l关于x轴的对称直线为y＝－x，即x＋y＝0，故B正确；当

a＝1时，直线l的方程为y＝x，直线l不经过第四象限，故C错误；如图所示，过P作PH⊥l

于H，由图可知|PQ|≥|PH|，则点P(3，－1)到直线l距离的最大值为|PQ|＝(3－1)2＋(－1－1)2

＝22，故D正确．故选BD.

8．(6分)(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下

列结论正确的是(AD)

A．若l1∥l2，则a＝6

7

B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为

4

32

C．若l1⊥l2，则a＝

3

D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交

解析：直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，它们不重合，若l1∥l2，

则4a＝3×8，解得a＝6，经检验符合，故A正确；若l1∥l2，由A可知，l2：6x＋8y－11＝0，

|11＋24|7

直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为＝，故B不正

36＋642

32

确；若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，解得a＝－，故C不正确；由A知，当l1∥l2时，a＝6，

3

所以若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确．故选AD.

9．(5分)不论m取何值，直线l：(2m＋1)x＋(m－1)y＋3＝0恒过一定点，该定点坐标为

(－1，2)．

x－y＋3＝0，

解析：由(2m＋1)x＋(m－1)y＋3＝0x－y＋3＋(2x＋y)m＝0，令

2x＋y＝0

x＝－1，⇔⇒

即该直线过定点(－1，2).

y＝2，

10．(5分)已知A(－2，－3)，B(2，－1)，C(0，2)，则△ABC的面积为8．

y＋3x＋2

解析：由A(－2，－3)，B(2，－1)可得直线AB的方程为＝x－2y－4＝0，

－1＋32＋2

|－2⇒×2－4|8

|AB|＝(－2－2)2＋(－3＋1)2＝25，点C(0，2)到直线AB的距离为＝，所

12＋(－2)25

18

以△ABC的面积为×25×＝8.

25

11．(16分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条

件的a，b的值．

(1)直线l1过点(－4，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．

解：(1)因为直线l1过点(－4，－1)，

所以－4a＋b＋4＝0，

－4a＋b＋4＝0，a＝1，a＝4，

又因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0，所以解得或

a(a－1)－b＝0，b＝0b＝12.

aa

(2)因为l1∥l2且l2的斜率为1－a，所以l1的斜率也存在，则＝1－a，即b＝，

b1－a

4(a－1)a

故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.

a1－a

因为原点到l1与l2的距离相等，

a－1a

2

所以4|a|＝|1－a|，解得a＝2或a＝，

3

2

a＝2，a＝，

因此或3

b＝－2b＝2.

12．(17分)已知两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是

25.

(1)求直线l1关于直线l2对称的直线方程；

(2)求直线l1关于直线l3：3x－y－4＝0对称的直线方程．

解：(1)因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以n＝－2×2＝－4.

|2m＋6|

又两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x－4y－6＝0之间的距离是25，所以

4＋16

＝25，解得m＝7或m＝－13(舍去)，即直线l1：x－2y＋7＝0，l2：x－2y－3＝0.设直线l1

|－3－7||－3－c|

关于直线l2对称的直线方程为x－2y＋c＝0，则＝，

55

解得c＝－13或c＝7(舍去)，

故所求直线方程为x－2y－13＝0.

(2)设直线l1关于直线l3对称的直线为l4，

x－2y＋7＝0，x＝3，

由解得

3x－y－4＝0，y＝5，

所以直线l4经过点(3，5)，

在l1上取一点A(－7，0)，它关于l3对称的点设为A′(a，b)，

b＝－1，

a＋73

a＝8，

则有a－7b解得

3×－－4＝0，b＝－5，

22

5＋5

所以直线l4经过点(8，－5)，所以直线l4的斜率为＝－2，所以直线l4的方程为y－5

3－8

＝－2(x－3)，即2x＋y－11＝0.

13．(5分)已知直线l1：(sinα)x－(cosα)y＋1＝0，l2：(sinα)x＋(cosα)y＋1＝0，l3：(cosα)x

－(sinα)y＋1＝0，l4：(cosα)x＋(sinα)y＋1＝0.则下列说法中正确的有(C)

①存在实数α，使l1∥l2；

②存在实数α，使l2∥l3；

③对任意实数α，都有l1⊥l4；

④存在点到四条直线距离相等．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2

解析：当α＝0时，l1：y＝1，l2：y＝－1，故l1∥l2，①正确；由sinα·(－sinα)－cosα＝

－1≠0，故l2∥l3不成立，②错误；由sinα·cosα＋(－cosα)·sinα＝0恒成立，即l1⊥l4，③正

1

确；由各直线方程知坐标原点(0，0)到各直线距离均为＝1，④正确．所以共有

sin2α＋cos2α

3个正确说法．故选C.

14．(5分)已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5

＝0，且l1∥l2，当两条平行线间的距离最大时，λ＋k＝(C)

A．3B．4

C．5D．6

x＝1，

解析：l1：λ(x－y