2026版高三数学讲义第六章　6.1　数列的概念

第六章数列

6．1数列的概念

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、公式法).

2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列

数列

数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项

的项

通项如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表

公式示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

前n数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作

项和Sn

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列an＋1>an

其中

项与项递减数列an＋1<an

n∈N*

间的大常数列an＋1＝an

小关系从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于

摆动数列

它的前一项的数列

3.数列的表示方法

表示方法定义

列表法列出表格表示n与an的对应关系

图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中

公通项公式把数列的通项用公式表示

式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

法表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

4.an与Sn的关系

S1，n＝1，

数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝

Sn－Sn－1，n≥2.

5．数列的最值

an≥an＋1，an≤an＋1，

若an最大，则(n≥2)；若an最小，则(n≥2).

an≥an－1an≤an－1

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×)

(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(×)

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)

*

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)

2．(人教A版选择性必修第二册P9T4改编)已知数列{an}满足a1＝3，a2＝6，且an＋2＝

an＋1－an(n为正整数)，则a308＝6．

解析：a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝

－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，即a7＝a1，a8＝a2，所以{an}是周期为6的数列，因为

308＝6×51＋2，所以a308＝a2＝6.

2

3．(人教A版选择性必修第二册P8T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋3n－1，则

3，n＝1，

它的通项公式为an＝．

2n＋2，n≥2

2

解析：由Sn＝n＋3n－1，可得当n＝1时，a1＝S1＝3；

22

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3n－1－(n－1)－3(n－1)＋1＝2n＋2，

此时，令n＝1，则2n＋2＝4≠3＝a1.

3，n＝1，

综上，可得an＝

2n＋2，n≥2.

14710

4．(人教A版选择性必修第二册P9T5改编)按一定规律排列的数据依次为，，，，…，

251017

88

按此规律排列，则第30个数是．

901

1＋3×01＋3×11＋3×21＋3×3

解析：1＝，4＝，7＝，10＝，…，

212＋1522＋11032＋11742＋1

1＋3×2988

所以第30个数为＝.

302＋1901

考点1由an与Sn的关系求通项公式

－2，n＝1，

2

【例1】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－4n＋1，则an＝．

2n－5，n≥2

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝－2；

22

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－4n＋1－[(n－1)－4(n－1)＋1]＝2n－5.此时，a1＝－2不

符合上式．

－2，n＝1，

所以an＝

2n－5，n≥2.

123

(2)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，a1＝3且Sn＋Sn＋1＝an＋1－，则an＝2n＋1．

22

1232

【解析】因为Sn＋Sn＋1＝an＋1－，即2(Sn＋Sn＋1)＝an＋1－3①，当n＝1时，2(S1＋S2)

22

22

＝a2－3，又因为a1＝3，即a2－2a2－15＝0，解得a2＝5或a2＝－3(舍去)，当n≥2时，2(Sn

2

－1＋Sn)＝an－3②，①－②得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an>0，可得an＋1－an＝2(n≥2)，

*

又a2－a1＝2，所以an＋1－an＝2(n∈N)，所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所

以an＝2n＋1.

S1，n＝1，

1．已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求

Sn－Sn－1，n≥2

通项公式．

2．Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

2

【对点训练1】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n＋3n，则数列{an}的通项公

式为an＝2n＋2．

222

解析：数列{an}中，Sn＝n＋3n，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋3n－(n－1)

－3(n－1)＝2n＋2，显然a1＝4满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.

1，n＝1，

a2a3ann*

(2)数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝3－2(n∈N，n≥1)，则an＝．

23n2n×3n-1，n≥2

a2a3ann*1

解析：因为a1＋＋＋…＋＝3－2(n∈N，n≥1)，当n＝1时，a1＝3－2＝1，当n≥2

23n

a2a3an－1n-1annn-1n-1n-1

时，a1＋＋＋…＋＝3－2，所以＝3－3＝2×3，所以an＝2n×3，当n＝1

23n－1n

1，n＝1，

时，an＝2≠1，所以an＝

2n×3n-1，n≥2.

考点2由数列的递推公式求通项公式

命题角度1累加法

【例2】(2024·陕西咸阳三模)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝(C)

A．43B．46

C．37D．36

【解析】方法一由题知an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋

(n－1)[(2n－3)＋1]22

(2n－5)＋…＋3＋1＋1＝＋1＝n－2n＋2(n≥2)，所以a7＝7－2×7＋2＝

2

37.故选C.

方法二由题知a1＝1，an＋1－an＝2n－1，所以a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋…＋(a2－a1)＋

a1＝11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＝37.故选C.

命题角度2累乘法

【例3】(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，

n-2

则an＝(n＋1)·2．

n－1n

【解析】当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1，即Sn－1＝an，Sn＝an＋1，则Sn－

n＋1n＋2

nn－1an＋12(n＋2)an2(n＋1)an－12na22×3

Sn－1＝an＋1－an＝an，即＝，则有＝，＝，…，＝，

n＋2n＋1ann＋1an－1nan－2n－1a12

anan－1a2n-2n-2

则an＝××…××a1＝(n＋1)·2，当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2.

an－1an－2a1

1．形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法即可求数列{an}的通项公式．

an＋1

2．形如＝f(n)的数列，利用累乘法即可求数列{an}的通项公式．

an

【对点训练2】(1)若数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋2n(n≥1，n∈N)，则数列{an}的

2

通项公式是an＝n－n＋12．

解析：因为a1＝12，an＋1＝an＋2n(n≥1，n∈N)，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，…，an－

an－1＝2(n－1)，n≥2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝12＋2＋4＋…＋2(n

n(n－1)22

－1)＝12＋2×＝n－n＋12，n≥2，又a1＝12也满足上式，所以an＝n－n＋12.

2

n

(2)数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1，则数列{an}的通项公式为an＝．

nannan－1n-1an－2n-2a22

解析：因为an＝2an－1，n≥2，所以＝2，＝2，＝2，…，＝2，累乘

an－1an－2an－3a1

anan－1an－2a2an

得···…·＝2n·2n-1·2n-2·…·22，n≥2，n∈N*，所以＝＝，n≥2，

an－1an－2an－3a1a1

**

n∈N.由于a1＝1，所以an＝，n≥2，n∈N.显然当n＝1时，a1＝1满足an＝，

*

所以an＝，n∈N.

考点3数列的性质

命题角度1斐波那契数列及数列的周期性

【例4】(1)(2024·山东济宁三模)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，

*

n∈N)，则a2024＝(C)

A．－2B．－1

C．1D．2

*

【解析】由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3

－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1……则{an}是以

6为周期的周期数列，所以a2024＝a337×6＋2＝a2＝1.故选C.

(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)

＝x，则下列结论中一定正确的是(B)

A．f(10)>100B．f(20)>1000

C．f(10)<1000D．f(20)<10000

【解析】因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令

x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；令x＝5，得f(5)>f(4)

＋f(3)>5＋3＝8……不等式右侧恰好是斐波那契数列从第3项起的各项：3，5，8，13，21，

34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，显然f(16)>1000，所以f(20)>1000.所

以B正确，但无法证明A，C，D一定正确．故选B.

斐波那契数列

1．链接教材：(人教A版选择性必修第二册P10阅读与思考斐波那契数列)

斐波那契数列的定义：若一个数列，前两项等于1，而从第3项起，每一项是之前两项

之和，则称该数列为斐波那契数列．例：1，1，2，3，5，8，13，….

2．斐波那契数列的递推公式

F1＝F2＝1，

*

Fn－2＋Fn－1＝Fn(n≥3，n∈N).

3．斐波那契数列的通项公式

1＋5n1－5n

1

Fn＝2－2.

5

4．斐波那契数列的性质

222

(1)F1＋F2＋…＋Fn＝FnFn＋1.

(2)F1＋F3＋F5＋…＋F2n－1＝F2n.

(3)F2＋F4＋F6＋…＋F2n＝F2n＋1－1.

(4)F1＋F2＋F3＋F4＋…＋Fn＝Sn＝Fn＋2－1(Sn为斐波那契数列的前n项和).

*

【典例】(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N)，则称该数列

为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长

方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连

接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的

前n项和为Sn.下列结论正确的是(ABD)

A．a9＝34

B．a2024是奇数

C．a2＋a4＋a6＋…＋a2024＝a2025

S2023π

D．＝

a2023a20244

【解析】该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确；由斐

波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，且2024＝3×674＋2，所以a2024

是奇数，B正确；由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2024＝a2025－a2023，累

2222

加得a2＋a4＋…＋a2024＝a2025－a1，C错误；由an＝an－1＋an－2(n≥3)，得a1＋a2＋a3＋…＋a2023

2222222

＝a1a2＋a2＋a3＋…＋a2023＝a2(a1＋a2)＋a3＋…＋a2023＝a2a3＋a3＋…＋a2023＝a3(a2＋a3)＋…

22π2222π

＋a2023＝a3a4＋…＋a2023＝…＝a2023a2024，所以S2023＝(a1＋a2＋a3＋…＋a2023)＝a2023a2024，

44

S2023π

所以＝，D正确．故选ABD.

a2023a20244

命题角度2数列的单调性

2

【例5】(2024·浙江宁波二模)已知数列{an}满足an＝λn－n，对任意n∈{1，2，3}都

有an>an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an<an＋1，则实数λ的取值范围是(C)

1，11，1

A．148B．147

1，11，1

C．157D．158

【解析】因为对任意n∈{1，2，3}都有an>an＋1，所以数列{an}在[1，4]上是递减数列，

因为对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an<an＋1，所以数列{an}在[7，＋∞)上是递增数列，所以

λ>0，

1711

>，11，

2λ2解得<λ<，所以实数λ的取值范围是157.故选C.

157

115

<，

2λ2

命题角度3数列的最值

2

【例6】(2024·辽宁大连一模)数列{an}中，a1＝5，a2＝9，若数列{an＋n}是等差数列，

则{an}的最大项为(D)

A．3B．3或4

45

C．D．11

4

222

【解析】若数列{an＋n}是等差数列，则数列的首项为a1＋1＝6，公差为(a2＋2)－(a1

222

＋1)＝7，所以an＋n＝6＋(n－1)×7＝7n－1，则an＝－n＋7n－1，所以an＋1－an＝[－(n＋

22

1)＋7(n＋1)－1]－(－n＋7n－1)＝－2n＋6，则当n＝1，2，3时，an＋1－an≥0，则a4＝a3>a2>a1；

当n≥4时，an＋1－an<0，故此时数列{an}单调递减，则a4>a5>a6>a7>….综上，{an}的最大项

为a3＝a4＝11.故选D.

1．解决数列单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列．

an＋1

(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断．

an

(3)结合相应函数的图象直观判断．

2．求数列的最大项或最小项的常用方法

(1)函数法，利用函数的单调性求最值．

an≥an－1，an≤an－1，

(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．

an≥an＋1an≤an＋1

3．解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

2

【对点训练3】(1)(2024·天津南开区二模)设数列{an}的通项公式为an＝n＋bn，若数

列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(A)

A．(－3，＋∞)B．(－2，＋∞)

C．[－2，＋∞)D．[－3，＋∞)

22

解析：由题意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)＋b(n＋1)－n－bn＝2n＋1＋b>0，即b>

－2n－1，又n≥1，则－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞).故选A.

(2)(2024·四川宜宾二模)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝1，且满足an＋2＋an＝an＋1，则数

列{an}的前2024项的和为(A)

A．3B．2

C．1D．0

解析：由题意得an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，即an＋6＝

－an＋3＝an，所以数列{an}是以6为周期的周期数列．又a1＝2，a2＝1，所以a3＝－1，a4＝

－2，a5＝－1，a6＝1.所以数列{an}的前2024项和S2024＝337(a1＋a2＋…＋a6)＋a1＋a2＝3.

故选A.

n

(3)在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(D)

n2＋14

141

A．B．

288

32

C．D．

2315

n11

解析：由题意可得an＝＝.根据对勾函数与复合函数的单调性，y＝在(0，

21414

n＋14n＋x＋

nx

14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减，所以在{an}中，a1<a2<a3，a4>a5>a6>…，当n

142331415232

＝3时，n＋＝，a3＝；当n＝4时，n＋＝，a4＝.因为<，所以an的最大值

n323n2152315

2

是.故选D.

15

n

【例】(2024·浙江温州期末)定义为n个正数p1，p2，p3，…，pn的

p1＋p2＋p3＋…＋pn

1

“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，则a10＝(C)

5n

A．85B．90

C．95D．100

1n1

【解析】因为数列{an}的前n项的“均倒数”为，所以＝a1

5na1＋a2＋a3＋…＋an5n

222

＋a2＋a3＋…＋an＝5n，于是有a1＋a2＋a3＋…＋a10＝5×10，a1＋a2＋a3＋…＋a9＝5×9⇒，

两式相减，得a10＝5×(100－81)＝95.故选C.

本题主要考查学生学习新概念，并利用新概念解题的能力，平稳中有新意，灵活中见能

力，实践中出真知，体现新高考的变化和趋势．

课时作业38

1．（5分）（2024·山东济南三模）若数列{an}的前n项和Sn＝n(n＋1)，则a6＝(C)

A．10B．11

C．12D．13

解析：a6＝S6－S5＝6×7－5×6＝12.故选C.

*

2．（5分）在数列{an}中，若a1a2…an＝(n∈N)，则a3的值为(D)

A．1B．3

C．9D．27

4-49-6a1a2a3

解析：当n＝2时，a1a2＝3＝1，当n＝3时，a1a2a3＝3＝27，所以a3＝＝27.

a1a2

故选D.

3．（5分）（2024·陕西榆林三模）现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学进行循环报数游戏，

从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数

的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为(A)

A．2B．4

C．6D．8

解析：报出的数字依次是1，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8，2，6，…，除了首项以

外是个周期为6的周期数列，去掉首项后的新数列第1项为2，因为2023＝337×6＋1，所

以原数列第2024个被报出的数应该为2.故选A.

4．（5分）（2024·福建厦门一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子

来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22

被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为(C)

A．51B．70

C．92D．117

解析：由题图及五边形数知后一个数与前一个数的差依次为4，7，10，13，16，19，22，…，

所以五边形数依次为1，5，12，22，35，51，70，92，…，即第8个数为92.故选C.

5．（5分）已知数列{an}满足a1＝9，an＋1－an＝2n，则a4＝(A)

A．21B．23

C．25D．27

解析：由题设知an－an－1＝2(n－1)，…，a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1，累加可得an－a1

2

＝2(n－1＋…＋2＋1)＝n(n－1)且n≥2，则an＝n－n＋9，显然a1＝9也满足上式，所以a4

＝42－4＋9＝21.故选A.

n

an＋1n·2

6．（5分）已知数列{an}满足＝，其中a1＝1，则a8＝(C)

ann＋1

A．28B．220

C．225D．228

a21a32a87a2a3a8

解析：由题意，得＝×21，＝×22，…，＝×27.由累乘法，得××…×＝

a12a23a78a1a2a7

1+2+…+7

112277a81127225

×2××2×…××2，即＝×2×2×…×2＝＝＝2，又a1＝1，所

3

238a182

25

以a8＝2.故选C.

2

7．（5分）已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝－n＋2n＋m，则实数m的取值范

围是(A)

A．(－2，＋∞)B．(－∞，－2)

C．(2，＋∞)D．(－∞，2)

22

解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1＋2＋m＝1＋m；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n＋2n＋

2

m－[－(n－1)＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，∴当n≥2时，数列{an}中an随着n的增大而减小，

若使{an}为递减数列，只需满足a2<a1，即－2×2＋3<1＋m，解得m>－2.故选A.

2025n

8．（8分）（多选）已知数列{an}满足an＝(n＋1)·2026，则当an取得最大值时n的值

为(BC)

A．2023B．2024

C．2025D．2026

an＋12025(n＋2)2024－n

解析：∵＝＝1＋，

an2026(n＋1)2026(n＋1)

an＋1an＋1an＋1

∴当n>2024时，<1，当n<2024时，>1，当n＝2024时，＝1，∴当n＝2024

ananan

或n＝2025时，an取得最大值．故选BC.

2*

9．（8分）（多选）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n(n≥2，n∈N)，Sn为其前n项

和，则(ABC)

A．a4－a2＝7B．a10＝55

C．S5＝35D．a8＋a4＝28

22222

解析：因为a1＝1，a2＋a1＝2，a3＋a2＝3，a4＋a3＝4，a5＋a4＝5，a6＋a5＝6，…，

2222222

a10＋a9＝10，所以a4－a2＝4－3＝7，a6－a4＝6－5＝11，a8－a6＝8－7＝15，a10－a8＝

222

10－9＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝2－a1＋52＝3＋52＝

22

55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋5＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所

以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46.故选ABC.

9*

10．（8分）（多选）（2024·河北石家庄二模）已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N)，

2n－9

前n项和为Sn，则下列说法正确的是(ABD)

A．数列{an}有最小项，且有最大项

B．使an∈Z的项共有5项

C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个

D．使Sn取得最小值的n为4

－

9*9918

解析：因为an＝(n∈N)，所以an＋1－an＝－＝，令an＋1

2n－92n－72n－9(2n－7)(2n－9)

79*

－an>0，即(2n－7)(2n－9)<0，解得<n<，又n∈N，所以当n＝4时an＋1－an>0，则当1≤n≤3

22

9999

或n≥5时an＋1－an<0，令an＝>0，解得n>，所以a1＝－>a2＝－>a3＝－3>a4＝－9，

2n－9275

a5>a6>a7>…>0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且有最大项a5＝9，故A正确；由an∈Z，

9*

则∈Z，又n∈N，所以n＝3或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有

2n－9

5项，故B正确；要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负

数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误；因为

n≤4时an<0，n≥5时an>0，所以当n为4时Sn取得最小值，故D正确．故选ABD.

11．（8分）（多选）（2024·浙江杭州二模）若无穷数列{an}由Ψ唯一确定，则称递推公式

Ψ是专一的．下列递推公式中专一的有(AC)

an＝2n－1，

A．n∈N*

an＋1＝2n＋1，

a1＝a2＝1，

B．n∈N*

2

(an＋2－an＋1)＝an，

a2＝2，

C．n∈N*

an＋1an＝an＋an＋1，

an＋an＋1＝2n，

D．n∈N*

anan＋2＝3n，

an＝2n－1，

**

解析：因为n∈N，可得an＝2n－1，n∈N，所以递推公式是专一的，

an＋1＝2n＋1，

a1＝a2＝1，

*22

故A正确；因为n∈N，令n＝1，可得(a3－a2)＝a1，即(a3－1)＝1，

2

(an＋2－an＋1)＝an，

a2＝2，

*

解得a3＝2或a3＝0，所以递推公式不是专一的，故B错误；因为n∈N，

an＋1an＝an＋an＋1，

1111111111

可得＋＝1，令n＝1，可得＋＝＋＝1，可得a1＝2，且＋＝1，可得＝，

anan＋1a1a2a12an＋1an＋2anan＋2

即an＝an＋2，可知数列{an}是以2为周期的周期函数，且a1＝a2＝2，则an＝2，所以递推公式

an＋an＋1＝2n，

*

是专一的，故C正确；因为n∈N，由an＋an＋1＝2n可得a1＋a2＝2，a2

anan＋2＝3n，

a1＝1，a1＝－3，

＋a3＝4，则a3－a1＝2，由anan＋2＝3n可得a1a3＝3，解得或所以递

a3＝3a3＝－1，

推公式不是专一的，故D错误．故选AC.

2

12．（6分）（2024·上海奉贤区三模）若数列{an}满足对任意整数n有错误!i＝2n－n成

立，则在该数列中小于100的项一共有25项．

2

解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－n，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，

22

an＝Sn－Sn－1＝2n－n－2(n－1)＋(n－1)＝4n－3，当n＝1时，上式也成立，所以an＝4n－3，

103

令an＝4n－3<100，则n<，所以在该数列中小于100的项一共有25项．

4

13．（6分）围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死

活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项公式的递推方法

来计算．假设大小为n的眼有an口气，大小为n＋1的眼有an＋1口气，an与an＋1满足的关系

*

是a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N)，则{an}的通项公式为an＝

1，n＝1，

n2－3n＋6．

，n≥2

2

解析：当n≥2时，an＋1－n＝an－1，即an＋1－an＝n－1，利用累加法可得an＝(an－an－1)

＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，即an＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋1＋1＝

(n－2)(n－1)n2－3n＋6n2－3n＋6

＋2＝，经检验a1＝1不满足an＝，

222

1，n＝1，

2

故an＝n－3n＋6

，n≥2.

2

2n－1，n≤4，

14．（6分）数列{an}的通项公式为an＝若a5是{an}中的最大

－n2＋(a－1)n，n≥5，

项，则a的取值范围是[9，12]．

n

解析：当n≤4时，an＝2－1单调递增，因此n＝4时，取得最大值为a4＝15，当n≥5

a－1

－22

2n(a－1)

时，an＝－n＋(a－1)n＝－2＋，因为a5是{an}中的最大项，所以

4

a－1

≤5.5，

2解得9≤a≤12.故a的取值范围是[9，12].

－25＋5(a－1)≥15，

2

15．（5分）（2024·江西南昌二模）已知数列{an}的首项a1为常数且a1≠，an＋1＋2an＝

3

n*

4(n∈N)，若数列{an}是递增数列，则a1的取值范围为(B)

－2，2

A．33

－2，22，4

B．33∪33

2

0，

C．3

224

0，，

D．3∪33

－1×n

n1n+1an422

解析：因为an＋1＋2an＝4，所以an＋1－×4＝－26，由于a1≠，即a1－≠0，

633

4n2

n－1－

a21nan-1

可得数列6是首项为a