安徽省蚌埠市2025-2026学年高二数学上学期期末学业水平监测试题【含答案】

安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末学业水平监测高二数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．2．顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（）A． B． C． D．3．如下图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（

）A． B． C． D．4．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（

）A． B． C．或 D．以上说法都不对5．若成等差数列；成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．6．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]7．在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（

）A． B． C． D．58．已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2二、多选题9．已知，则下列说法正确的是（

）A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1C．点在直线上 D．直线与直线MN平行10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（

）A． B．C．异面直线与所成的角为 D．11．英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为，用代替重复上面的过程得到，一直下去，得到数列，叫做牛顿数列.若函数，则下列说法正确的是（

）

A．函数有三个零点 B．若，则C． D．若，则数列是递增数列三、填空题12．已知双曲线，则其渐近线方程为．13．已知函数，其中且，则．14．蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是．四、解答题15．在平面直角坐标系中，已知直线.(1)求过点且和垂直的直线的方程；(2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.16．已知数列的前项和为，其中．(1)求数列的通项公式；(2)设，是数列的前项和，求证：．17．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，为PC中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.18．已知.(1)当时，求在处的切线方程；(2)若的最小值为2，求实数的值；(3)当时，若，求证：.19．有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为2，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点F，E所在的直线为轴，线段EF中点为原点，建立平面直角坐标系.(1)记折痕与ME的交点的轨迹为曲线，求曲线的方程.(2)若直线与曲线交于A，B两点.（i）当为何值时，为常数，并求出的值.（ii）以A，B为切点，作曲线的两条切线，设其交点为，当时，证明：.

参考答案1．D【详解】，故A错，故B错，故C错，故D正确故选：D2．C【详解】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为，又，则，故抛物线的标准方程为.故选：C3．A【详解】因为，为坐标原点，所以，又因为为长方体，所以，所以.故选：A.4．C【分析】分别根据直线在平面内和在平面外两种情况判断可得.【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意；若平面，则存在直线，且直线，所以.故选：C5．A【详解】设等差数列的公差为，则，所以，又由等比中项性质，，所以，又设公比为，，所以所以.故选：A.6．D【详解】由题得,圆心坐标为，半径.∴，圆心到直线的距离为.所以点到直线的最小距离为，最大距离为，所以的面积的最小值为，最大值为.所以的面积的取值范围为.故选：D.7．C【详解】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，，所以正六棱柱容器的容积为，由知，当时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故选：C8．B【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，，所以.在中，由余弦定理可得，化简得，所以，则，等号成立时，则，则的最小值为.故选：B9．AB【详解】由题意得，直线的斜率为，设直线MN的倾斜角为，则，得，故A正确；点到直线的距离为，故B正确；因为，所以点不在直线上，故C错误；直线的斜率为1，与直线的斜率相等，将点代入直线，有，说明点在该直线上，因此，直线与直线为同一条直线（重合），而非平行，故D错误.故选：AB10．AD【详解】对于A：，故A正确；对于B：因为，所以，所以，即，故B错误；对于C：因为，，所以，所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D：因为，，所以，所以，即，故D正确.故选：AD11．ACD【详解】对A：由，，令，得或，当或时，，当时，，所以在，上递增，在上递减，，.且当时，；当时，，所以由零点存在性定理及函数的单调性可得：函数在各有一个零点，共3个零点，故A正确；对于C，因为横坐标为的点处作曲线的切线为，令，得，即，故C正确；对于B，若，则，所以，故B错误；对于D，若，则，所以，显然.又因为当时，，且，所以.所以，即，所以数列是递增数列，故D正确.故选：ACD12．【详解】由双曲线得渐近线方程为.故答案为：.13．【详解】，故答案为：.14．【详解】设内切球球心为O，可知O为MN的中点，则，，，所以，设正四面体ABCD的棱长为a，外接球半径为R，如图所示，

可知H为正三角形ABC的外心，则，在和中，，解得，，设正四面体ABCD的内切球半径为r，内切球半径为图中OH，所以，解得，又的最大值为外接球半径R，最小值为内切球半径r，所以，进一步可得，即的取值范围为．故答案为：．15．(1)(2)【详解】（1）由题意，直线的斜率，则所求直线的斜率，代入点斜式方程得，∴过点且和垂直的直线的方程为.（2）设圆心为，半径为∵圆心在直线上，，则点为，由题意可得，则，解得，∴圆心的坐标为，半径，圆的标准方程为.16．(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，当时，，又满足，，数列的通项公式为．（2），，单调递增，，即，又，．17．(1)证明见解析(2)(3).【详解】（1）平面平面，，又∵正方形中，平面，平面，又平面，是PC的中点，，又平面，平面；（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，过点作于点，因为平面平面，平面，所以平面，则线段CM的长度就是点到平面的距离，，，由（1）可知，，即点到平面的距离为.（3）以点为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：，，，则，，设平面的法向量，则，从而，令，得到，由（1）与已知，又平面，则平面，则平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则.∴平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）时，．因为，所以切点为，因为，所以，所以在处的切线方程为，即.（2）因为，①若，则恒成立，所以在单调递减，无最小值，不符合题意；②若，令得，则的变化如下表所示，-0+极小值，即解得.即的最小值为2时，．（3）由题意知，所以，因为，所以.要证，只需证，即．令，则，所以在单调增，因为，所以，即，所以成立．19．(1)(2)（i），;（ii）证明见解析【详解】（1）（1）由题意可知，，所以点轨迹是以E，F为焦点，为长轴长的椭圆，即，所以，所以曲线的方程为.（2）（2）（i）由消元得，由